力學(xué)電子第3章

1、第3 章第三章能量守恒定律 第3 章3.1 功和能3.1.1 動能定理 已知力是位矢函數(shù) F(r),試求質(zhì)點從 A點(r = rA)經(jīng)過路徑L到B點(r = rB)的速率v(rB)牛頓第二定律： F(r) = mdv/dt F(r)dr = (mdv/dt)dr = mdvdr/dt = mvdv = m(vxdvx + vydvy + vzdvz ) = mvdv經(jīng)過路徑L: AB LF(r)dr = VaVb mvdv = mvB 2/2 - mvA2/2第3 章 LF(r)dr = mvB 2/2 - mvA2/21、功： dA = F(r)dr = Fds cos = Ft ds A

2、= LF(r)dr = L Ft ds 功率：P = dA/dt = F(r)dr/dt = F(r) v2、動能：Ek= mv 2/2 = P2/2m (與參考系有關(guān))在SI制中功單位焦耳(J)，功率單位瓦特(W) 動能和功的單位是一樣的，但意義不同。功 Work 反映力的空間積累，其大小取決于過程，是個過程量；動能 Kinetic Energy 表示物體的運動狀態(tài)，是個狀態(tài)量。第3 章 3、動能定理 質(zhì)點： A = EkB - EkA質(zhì)點系： A外力+ A內(nèi)力 = Ek - Eko 其中 Eko 和 Ek 分別表示質(zhì)點系的初態(tài)和末態(tài)總動能第3 章例3-2 一彈簧放在水平位置上，如圖所示，把

3、質(zhì)量為 m的質(zhì)點向右移動一距離 L，然后釋放。當質(zhì)點離平衡位置的距離為 x 時，試求它的動能。解：當彈簧伸長一距離 x 時，彈簧對質(zhì)點的作用力： F = - kx ( k為倔強系數(shù) ) 當質(zhì)點被釋放時，x=L，F(xiàn)= - kL，v0= 0，因而初動能為零。Fm0Xkx第3 章 令 v 表示在中間位置 x上的速率，把質(zhì)點從 L 移至 x 時對質(zhì)點所作的功為 A = Lx Fdx = Lx - kx dx = k(L2 - x2)/2根據(jù)動能定理可得： mv2/2 - 0 = k(L2 - x2)/2因此上式表明，只要 x 的絕對值相同，速率便具有相同的值；也就是說，質(zhì)點的運動對稱于O點。在 x 處

4、的速度 vx =v，說明該處的質(zhì)點可向左或向右運動。同時表明質(zhì)點的運動將限于在 x = -L 和 x = +L 的范圍內(nèi)。第3 章例 3-2 一鏈條總長為 L，質(zhì)量為 m，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的長度為 a。設(shè)鏈條與桌面之間的摩擦系數(shù)為，令鏈條由靜止開始運動，則 (1) 鏈條離開桌面的過程中，摩 擦力對鏈條作了多少功 ？(2) 鏈條離開桌面時的速率是多少 ？解：設(shè)鏈條線密度為= m/L1、建立坐標 OX 軸，鏈條下 垂一端的長度為 x ，則 摩擦力：f =g（L - x）OL - xxX第3 章 f = mg（L - x）/ L摩擦力作功：Af = -aL f dx = -aL mg

5、（L-x）/ Ldx = -mg（L-a）2 / 2L2、重力作功：AG =aL mgx/Ldx = mg（L2 -a2 ）/ 2L動能定理：Af + AG = mv2 / 2 - mvo2 / 2因為 vo = 0 OL - xxX第3 章例3-1 一對作用與反作用力所作的功設(shè) 質(zhì)點 質(zhì)量 位矢 位移 作用力 1 m1 r1 dr1 F12 2 m2 r2 dr2 F21其中 F12 為質(zhì)點 2 對 1 的作用力 F21 為質(zhì)點 1 對 2 的作用力 F12 和F21是一對作用和反作用力，由牛頓第三定律可知： F12 = - F21 這對作用和反作用力所作的功為： dA = F12 dr1

6、+ F21 dr2 = F12 ( dr1 - dr2 ) = F12 dr12第3 章 dA= F12 dr12上式表明： 一對作用和反作用力所作的功只與 F12 和相對位移 dr12 有關(guān)，而這兩者都是不隨參考系而變化的，由此得出結(jié)論： 任何一對作用力所作的功與參考系選擇無關(guān)，而一般單個力所作的功與參考系有關(guān)。第3 章3.1.2 勢能 Potential Energy1、保守力 Conservative Force 與勢能 如果一個力僅取決于質(zhì)點的位矢 r，并且力所作的功 A 可用 Ep(r) 這個量在始點處和終點的量值之差來表示，而與所經(jīng)歷的路徑無關(guān)，則該力稱為保守力，量 Ep(r)稱為

7、勢能，它是質(zhì)點位置的函數(shù)。因此 A = AB F(r)dr = - ( EpB - EpA )此式表示保守力作功等于勢能增量的負值。 勢能通常被定義為含有任意常數(shù)，我們可將勢能的零點定在任何方便的位置處。第3 章 如果路徑是閉合，亦即 A 和 B 是同一點，則 EPA= EPB ，于是凈功等于零，即 A閉合 =F dr = 0積分符號上的圓圈表示路徑是閉合的。 因此，對于保守力沿任一閉合路徑的功為零。反之可以證明F dr = 0 的條件也可作為保守力的又一定義。 設(shè) EpA= 0根據(jù) A = AB F(r)dr = - ( EpB - EpA ) 得 EpB = - AB F(r)dr 或 E

8、pB = BA F(r)dr 積分關(guān)系第3 章3-4 質(zhì)點在隨位置而變的外力F = 2y i+4x2 j (N)作用下,從原點運動到 c (2,1) (m)點。試分別計算 F 沿下列路徑所做的功：(1)沿路徑oac； (2)沿路徑obc； (3)沿路徑oc；(4) F 是保守力還是非保守力？試解釋之。解：(1) 路徑 oac：oa：y=0 （0 x 2) ac：x=2 （0 y 1) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2y dx + o1 4x2dy = o2 0 dx + o1 4 22dy = 16 ( 1- 0 ) = 16 Jcoabyx第3 章(2) 路徑

9、obc：ob：x=0 （0 y 1) bc：y=2 （0 x 2) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2y dx + o1 4x2dy = o2 22 dx + o1 0 dy = 4 ( 2 - 0 ) = 8 J(3) 路徑 oc：y = x/2 （0 x 2) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2y dx + o1 4x2dy = o2 x dx + o1 16 y2dy = x2/2o2 + 16y3/3o1 = 2 + 16/3 = 22/3 J第3 章 2、力與勢能關(guān)系 S 方向上的分量：FS = - dEp/ds其中 dEp/d

10、s 叫做 Ep的方向?qū)?shù)。 證明：在 S方向上作位移 ds，保守力作功： FS ds = - (Ep + dEp ) - Ep = - dEp 故 FS = - dEp/dsdsEP+dEPEFSIII第3 章 當一矢量在任一方向上的分量等于一個函數(shù)在該方向上的方向?qū)?shù)時，這個矢量就叫做這個函數(shù)的梯度 Gradient。 因此，我們說 F是 Ep的梯度的負值，寫成一般形式： F = - grad Ep = - Ep 微分關(guān)系式中“grad”代表梯度。直角坐標分量:FxxeEPe=FyyeEPe=Fzzee=EP第3 章例3-3 恒力所作的功與勢能解：設(shè)質(zhì)點 m 在一大小和方向都恒定的力 F作用

11、下運動，當質(zhì)點沿路徑從 A 運動到 B 時，恒力 F 所作的功為： A = AB F(r)dr = FAB dr = F( rB - rA ) = F rB - F rA 結(jié)論: 恒力 F 所作的功與路徑無關(guān)。第3 章 舉例: 重力為一恒力，F(xiàn) = mg = - mg j ( j 為豎直向上的單位方向矢量 )，則重力作功： A = F rB - F rA = - mg j ( rB - rA ) = - mg ( hB - hA ) = mghA - mghB 顯然，重力作功與質(zhì)點的路徑無關(guān)，只取決于路徑二端點的高度差 hB - hA，因此重力是保守力。重力勢能： Ep= mgh第3 章例3-

12、4 有心力作功與勢能解：設(shè)有心力的力心為參考系原點O，一般有心力可表示為 F(r) = F(r) ro 其中 ro 為 r 的單位矢量。有心力作功為： A = AB F(r)dr = AB F(r) rodr = rA rB F(r)dr （路徑無關(guān)） 所以有心力為保守力，并且相應(yīng)的勢能僅取決于質(zhì)點至力心的距離，即 Ep= Ep(r) = - F(r)dr 第3 章Ep = - F(r)dr例如：(1) F(r) = k /r2 Ep = - F(r)dr =k /r2dr = k /r + C對于與 r 成反比的勢能，在決定 C時，習(xí)慣上取 r=處的 Ep=0，所以C=0，因而有： Ep=

13、k /r 此式在研究萬有引力和庫侖力時十分有用。 （2）一維有心力 F = - kx （彈性力） Ep= - Fdx = kxdx = kx2 /2 + C習(xí)慣上令 x= 0時，Epo= 0，所以 C=0，因而 Ep= kx2 /2 這個式子在討論振動時是很有用的。第3 章3.2 能量守恒定律3.2.1 功能原理 假定內(nèi)力是保守的，則存在內(nèi)勢能 Epi 內(nèi)勢能 每對質(zhì)點勢能、與參考系無關(guān) 當時刻 t0 t，內(nèi)力作功Ai和 Epi 存在關(guān)系 Ai = Epi,0 - Epi Ae + Ai = Ek - Ek0 ( 質(zhì)點系動能定理 ) Ae + Epi,0 - Epi = Ek - Ek0Ae

14、= ( Ek + Epi ) - ( Ek0 + Epi,0 ) 即功能原理： Ae = U - U0 Ek = i mivi2/ 2 Epi = ijij Epij 系統(tǒng)原能： U = Ek + Epi第3 章 3.2.2 能量守恒定律 考慮孤立系統(tǒng)或外力作功為零(Ae= 0)于是 U = Ek + Epi =恒量即：一個孤立質(zhì)點系的動能和內(nèi)勢能之和(即原能)恒保持不變。這個重要結(jié)論稱為能量守恒定律。 到目前為止，這個定律是作為動量守恒和內(nèi)力為保守力這個假設(shè)的結(jié)果而出現(xiàn)的。然而，我們在宇宙中所觀察到的所有過程中，這個定律都是成立的，因此可認為它已超出了我們在敘述它對所曾采用過的特殊假設(shè)而是普

15、遍成立的定律。第3 章 若作用在質(zhì)點系上的外力也是保守力Ae = Epe,o - Epe式中 Epe 和 Epe,o分別為時間 t 和 to時與外力相關(guān)的勢能。因此： Epe,o - Epe = U - Uo U + Epe = ( U + Epe )。質(zhì)點系總能量：E =U + Epe= Ek+ Epi+ Epe結(jié)論：當質(zhì)點系在保守內(nèi)力和保守外力作用下運動時，其總能量保持為恒量。第3 章 例如：兩個質(zhì)點 m1和 m2，它們被一彈性系數(shù)為k的彈簧聯(lián)結(jié)在一起，如果該系統(tǒng)被拋在空中（無其他外力作用）， 動能：Ek = m1v12 / 2 + m2v22 / 2 內(nèi)勢能：Epi = k x2/ 2

16、（ x是一彈簧的形變）外勢能：Epe = m1gh1 + m2gh2h1、h2 分別是 m1和 m2 在地球表面上的高度系統(tǒng)原能：U = m1v12 / 2 + m2v22 / 2 + k x2/ 2 總能量：E = m1v12 / 2 + m2v22 / 2 + k x2/ 2 + m1gh1 + m2gh2 在運動過程中：總能量必須保持為常量。第3 章 3.2.3 克尼希定理 資用能1、克尼希定理(1)內(nèi)動能 Eki ：相對于C-參考系的動能(2)內(nèi)能 Ui ：內(nèi)動能和內(nèi)勢能之和。即 Ui = Eki + Epi = ( Ek + Ep ) i(3)克尼希定理 在相對運動為 V 的兩個參考

17、系 K，K之間作速度變換： vi = vi + V Ek = mi vi2 /2 = mi (vi + V)2 /2 = mi (vi 2 + V2 + 2 vi V) /2 = Ek + MV2 / 2 + mivi V第3 章 Ek = Ek + MV2 / 2 + mivi V 如果 K系是 C-質(zhì)心系，則 miviC = 0，V = vC ， Ek記為 Eki 稱為內(nèi)動能，則Ek = Eki + MvC2 / 2系統(tǒng)平動動能或軌道動能：EkC= MvC2 / 2 表示質(zhì)量為 M =mi 的質(zhì)點以該系質(zhì)心的速度運動時的動能?？四嵯６ɡ恚嘿|(zhì)點系的總動能等于相對于質(zhì)心系的動能 Eki與系統(tǒng)平

18、動動能 EkC 之和。結(jié)論：系統(tǒng)的運動可以分成兩部分， 之一是以質(zhì)心速度運動的平移運動， 之二是相對于質(zhì)心的內(nèi)運動。第3 章 讓我們再來考慮一下（1）投擲手拋出一個旋轉(zhuǎn)球的情形 球?qū)Φ孛娴目倓幽苁窍鄬τ谫|(zhì)心的內(nèi)動能 ( 它對應(yīng)于旋轉(zhuǎn)動能 ) 與相對于地面的平動動能 ( 它對應(yīng)于軌道動能 )這二者之和。（2）單個分子運動 一般說來，我們感興趣的是內(nèi)運動，由于這個原因，在許多過程的描述中，我們采用 C - 參考系。第3 章 對于由兩質(zhì)點組成的質(zhì)點系，引入相對速度的觀念 u = v1- v2 = v1- v2 是方便的。因為在質(zhì)心系中m1v1C+ m2v2C = 0可解得：v1C = m2 u /(

19、m1+ m2) v2C = - m1 u /(m1+ m2)從而相對于質(zhì)心系的動能為： Eki = m1v1C2 / 2 + m2v2C2 / 2 = (m1m22 + m2m12) u2 / 2(m1+ m2) 2 = m1m2 /(m1+ m2) u2 / 2 = u2 / 2 E相對其中 = m1m2 /(m1+ m2) 稱為折合質(zhì)量第3 章2、資用能 近代高能物理學(xué)為了研究微觀粒子的結(jié)構(gòu)、相互作用和反應(yīng)機制，需要使用加速器把粒子加速到很高的能量去碰撞靜止靶子中的粒子，以觀測反應(yīng)的結(jié)果，與理論互相印證。能量越高，越能反映出更深層次的信息。然而，在實驗室參考系內(nèi)EKi是不參與粒子之間反應(yīng)的

20、，真正有用的能量，即資用能，只是高能粒子與靶粒子之間的 E相對 。 若 m1 = m2 = mo，M = 2mo ， = mo/ 2，vC = u / 2，則 E相對 = EK / 2，即資用能只占總能量的一半。第3 章 3.2.4 能量的形式(1)機械能：宏觀上機械運動相聯(lián)系的動能和 勢能(2)熱 能：與分子運動相聯(lián)系的動能(3)化學(xué)能：與電子所引起的，原子和分子的 重新分布相聯(lián)系的能量(4)電 能：與帶電粒子的運動所引起的能量 總之，能量是物理學(xué)一個極為普遍，極為重要的物理量，它具有機械能，熱能、電磁能、化學(xué)能、生物能、核能等多種形式，各種形式的能量可以相互轉(zhuǎn)換。能量這一概念的重大價值，在

21、于它轉(zhuǎn)換時的守恒性。第3 章 物理學(xué)史上不止一次地發(fā)生過這樣的情況。在某類新現(xiàn)象里似乎有一部分能量消失了或憑空產(chǎn)生出來，后來物理學(xué)家們總能夠確認出一種新的能量形式，使能量的守恒律得以保持。雖然我們不能給能量下個普遍的定義，但這決不意味著它是一個可以隨意延拓的含糊概念。關(guān)鍵的問題是科學(xué)家們確定了能量轉(zhuǎn)換的各種當量，從而使得能量守恒定律可以用實驗的方法加以定量地驗證或否定。此外，每確認出一種新形式的能量之后，在其基礎(chǔ)上建立起來的理論，又能定量地預(yù)言一大批新效應(yīng)，后者經(jīng)受住了新實驗的檢驗。第3 章3.2.5 機械能守恒定律 機械運動：宏觀物體在宏觀上的運動從宏觀上看: 內(nèi)力中可能有非保守內(nèi)力例如：摩

22、擦力是非保守內(nèi)力因為: (1)滑動摩擦永遠與相對位移的方向相反，它所作的功取決于運行的路徑，而且即使路徑閉合，功也不為零。 (2)流體的摩擦與相對速度的方向相反，它取決于速度而不是位置。 但我們絕不能認為，由于象摩擦這類非保守力的存在，就必須意味著在基本粒子間也可能有非保守性相互作用的存在。第3 章 我們說摩擦力并不是相當于兩個質(zhì)點之間的某種相互作用，它實際上是一種統(tǒng)計的概念.舉例來說: 滑動摩擦是兩個相互接觸的物體大量分子間的許多個別相互作用的結(jié)果。每一個個別的相互作用都可以用一個保守力來表示，但宏觀效應(yīng)卻是非保守性的。其原因是雖然當一物體完成了某一閉合軌道時，從宏觀上看，它回到了原來的位置

23、，但是就大量的個別分子而言，它們并沒有恢復(fù)到各自原來的狀態(tài)。所以從微觀上來看，最終狀態(tài)和初始狀態(tài)并不一樣，甚至在統(tǒng)計意義上也不是等效的。第3 章 宏觀上：內(nèi)力 = 保守內(nèi)力 + 非保守內(nèi)力 保守內(nèi)力作功： Aic = Epio - Epi非保守內(nèi)力作功： Aid 保守外力作功： Aec = Epeo - Epe非保守外力作功： Aed 質(zhì)點系動能定理： Ae + Ai = Ek - Ek0 Aed + Aec + Aid + Aic = Ek - Eko Aed + Epeo- Epe + Aid + Epio - Epi = Ek - Eko Aed+Aid = (Ek + Epi + Ep

24、e ) - (Eko+ Epio+Epeo) = ( Ek + Ep ) - (Eko+ Epo) = EM - EMo第3 章 1、機械運動的功能原理： Aed + Aid = EM - EMo宏觀上，總勢能：Ep = Epi + Epe 總動能：Ek 總機械能：EM = Ek + Ep物理意義： 非保守力（非保守外力和非保守內(nèi)力）所作的總功等于系統(tǒng)總機械能的增量。2、機械能守恒定律： 如果非保守力作功為零( Aed + Aid = 0)，則系統(tǒng)的總機械能( Ek + Ep)保持不變。第3 章3.3 一維勢能的討論OXEPABDCFGHIK第3 章例3-5 處于保守力場中的某一質(zhì)點被限制在

25、x 軸上運動，它的勢能Ep(x)是 x 的函數(shù)，它的總機械能 E 是一常數(shù)，設(shè) t = 0 時，質(zhì)點位置為 x0 。如果質(zhì)點在以后運動過程速度方向恒指向 x 軸正方向，試求質(zhì)點位置 x 與時間 t 的關(guān)系。解：在 t 時刻，質(zhì)點位置為 x ，速度為 v。機械能守恒定律： E= mv2/ 2 + Ep(x) = m(dx/dt)2/ 2 + Ep(x)第3 章第四節(jié)碰 撞 第3 章3.4 碰撞 Collision3.4.1 碰撞的定義 當兩個質(zhì)點(或系統(tǒng))相互接近時，它們的相互作用改變它們的運動，從而引起動量和能量的交換，這時我們說發(fā)生了碰撞。 它表示當兩個質(zhì)點靠近時開始出現(xiàn)相互作用，這種相互作

26、用在較短的時間內(nèi)使它們的運動發(fā)生可測量的變化。并不一定表示這兩個質(zhì)點象兩個臺球或兩輛汽車之間的宏觀那樣，在微觀意義上發(fā)生過直接接觸。例 1：如果一個電子或者一個質(zhì)點接近一個原子，則電力開始發(fā)生作用，使質(zhì)點的運動發(fā)生顯著的擾動。第3 章 例 2：慧星接近太陽系時，它的路徑發(fā)生彎曲，這也是一種碰撞。例 3：在某些碰撞中，最后的質(zhì)點或系統(tǒng)不與最初的相同。 例如，在原子A和分子BC之間的碰撞中，最后的結(jié)果可能是分子AB和原子 C。 在某些碰撞中，最后的粒子或系統(tǒng)與最初相同，有時用散射這個詞表示碰撞。 由于在碰撞中只有內(nèi)力發(fā)生作用，所以動量和總能量都守恒。雖然我們在碰撞中僅提到能量守恒和動量守恒，但必須

27、記住，在碰撞中角動量也是守恒的。注意：在碰撞中機械能并不守恒第3 章 在實驗室的碰撞實驗中，碰撞前各質(zhì)點的運動通常是準確地知道的，因為這些運動取決于這實驗是如何準備的。例如一個質(zhì)點可以是一個在靜電加速器中被加速的質(zhì)子或電子，而另一個質(zhì)點可以是一個實際上在實驗室中靜止的原子，然后觀察未態(tài)，即這兩個質(zhì)點在離開它們的碰撞區(qū)域很遠處的運動。如果我們知道這兩個質(zhì)點之間的作用力，那么，只要我們知道初態(tài)，就能算出末態(tài)，因此，對這種實驗進行分析，就能夠得到關(guān)于碰撞質(zhì)點之間的相互作用的重要信息。這是物理學(xué)家對碰撞實驗如此感興趣的原因之一。第3 章3.4.2 碰撞分類1、碰撞特征量 Q Q = Ek - Ek =

28、 Epi - Epi(1)彈性碰撞：Elastic Collision Q = 0 動能、內(nèi)勢能沒有變(2)非彈性碰撞： Inelastic Collision Q 0 第一類非彈性碰撞 Endoergic ： Q0 動能減少而內(nèi)勢能增加 第二類非彈性碰撞 Exoergic ： Q0 動能增加而內(nèi)勢能減少(3)完全非彈性碰撞：兩物體結(jié)合在一起。第3 章 2、恢復(fù)系數(shù) e Coefficient of restitution 牛頓碰撞定律： e = (v2 - v1)/(v10 - v20 ) v10- v20 表示 物體 1 接近物體 2 速度 ； v2 - v1 表示 物體 2 分離 物體

29、1 速度 ?；謴?fù)系數(shù) e 由兩物體的質(zhì)料決定 。 e = 0 完全非彈性碰撞 e = 1 彈性碰撞 0 e 1 非彈性碰撞v10v20碰撞前v1v2碰撞后第3 章例3-7：測定恢復(fù)系數(shù)：將一種材料制成小球，另一種材料制成平板，水平放置，使小球從高度 H 處自由落下。設(shè)小球反跳的高度為 h，求該材料的恢復(fù)系數(shù)。解：小球在碰撞前后的速度分別為： v10 =( 2gH )1/2, v1 = -( 2gh )1/2 .而平板在碰撞前后的速度分別為：v20 = 0, v2 = 0 .兩種材料的恢復(fù)系數(shù)為： e = (v2 - v1 )/( v10 - v20 ) =( 2gh )1/2/( 2gH )1/2 = ( h/H )1/2Hhv10v1第3 章例3-8 設(shè)質(zhì)量為 m1的粒子 1以速度 V1與原來靜止的粒子 2發(fā)生對心的彈性碰撞，粒子2的質(zhì)量為 m2，碰撞后粒子2的速度為V2。又設(shè)粒子 1仍以速度 V1與原來靜止的粒子 3發(fā)生對心的彈性碰撞，粒子 3的質(zhì)量為 m3，碰撞后粒子 3的速度為V3。求粒子 1的質(zhì)量 m1。解：考慮粒子 1與粒子 2的碰撞動量守恒: m1V1 + m2 V2 = m1V1 + m2 V2 彈性碰撞 e = 1： V1 - V2