06彎曲變形第六章

1、第六章彎曲變形6-16-26-36-46-56-66-7梁的撓度和轉(zhuǎn)角撓曲線近似微分方程積分法求梁的變形 疊加法求梁的變形 簡(jiǎn)單超靜定梁梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)彎曲應(yīng)變能目錄6-1工程中的彎曲變形梁的撓度和轉(zhuǎn)角1.吊車(chē)梁變形如果過(guò)大，小車(chē)會(huì)出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象，并引起較嚴(yán)重的振動(dòng)。加以限制7-1汽車(chē)上的疊板彈簧變形越大，緩沖減震的效果就會(huì)越好。加以利用2.基本概念轉(zhuǎn)角 撓曲線：變形后梁的軸線撓曲線撓曲線方程：撓度 撓度w：截面形心在y方向上為正向的位移。 轉(zhuǎn)角：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。（撓曲線與y軸的逆時(shí)針為正夾角=撓曲線切線與x軸夾角）由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計(jì)。撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：

2、7-2(a)(b)梁彎曲時(shí)的撓度和轉(zhuǎn)角這兩個(gè)位移不但與梁的彎曲變形程度(撓曲線曲率的大小)有關(guān)，也與支座約束條件有關(guān)。圖a和圖b所示兩根梁，如果它們的材料和尺寸相同，所受的外力偶矩Me也相等，顯然它們的變形程度(也就是撓曲線的曲率大小)相同，但兩根梁相應(yīng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角則明顯不同。6-2撓曲線近似微分方程1.撓曲線的近似微分方程的導(dǎo)出等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲情況下中性層的曲率為：1 MEI這也就是位于中性層內(nèi)的撓曲線的曲率的表達(dá)式。在橫力彎曲下，梁的橫截面上除彎矩外還有剪力。但工程上常用的梁其跨長(zhǎng)l 往往大于橫截面高度h的10倍，此時(shí)剪力FS對(duì)梁變形的影響可忽略不計(jì)，則有 1 M x xEI

3、從幾何方面來(lái)看，平面曲線的曲率可寫(xiě)作w1 w2 3/ 21x 式中，等號(hào)右邊有正負(fù)號(hào)是因?yàn)榍?/r為度量平面曲線(撓曲線)彎曲變形程度的非負(fù)值，而w是 = w 沿x方向的變化率，是有正負(fù)的。圖示坐標(biāo)系中，正彎矩對(duì)應(yīng)正的w ，負(fù)彎矩對(duì)應(yīng)負(fù)的w ，故由上兩式有w M x1 w2 3/ 2EI由于梁的撓曲線為一平坦的曲線，上式中的w2與1相比可略去，于是得撓曲線近似微分方程w M xEIEIw M x6-3積分法求梁的變形當(dāng)全梁各橫截面上的彎矩可用一個(gè)彎矩方程表示時(shí)(如圖)EIw M xEIw M xd x CEIw M xd x d x Cx D上兩式中的積分常數(shù)C，D由邊界條件確定后即可得出梁

4、的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程。邊界條件(即支座的約束條件)的示例如下圖：彈簧變形A若由于梁上的荷載不連續(xù)等原因使得梁的彎矩方程需分段寫(xiě)出時(shí)，各段梁的撓曲線近似微分方程也就不同。而 對(duì)各段梁的近似微分方程積分時(shí)，都將出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。要確定這些積分常數(shù)，除利用支座約束條件外，還需利用相鄰兩段稱(chēng)為邊界條件。交界處的光滑連續(xù)條件。這兩類(lèi)條件統(tǒng)AAwFB例題6.1求梁的轉(zhuǎn)角和撓曲線方程，并求最大轉(zhuǎn)角、最大撓度，EI已知。Axx解：列彎矩方程M (x) F (l x) F (x l)列撓曲線近似微分方程并積分EIw M (x) F (x l)lEIw EI 1 F ( x l)2C積分一次2EIw 1 F (

5、x l)3 Cx D6再積分一次w確定積分常數(shù)FBx 0, 0 x 0,解得A 0 ;wAAx1216C D 23Fl ,FlB確定轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程EI 1 F (x l)2 1 Fl 222EIw 1 F (x l)3 1 Fl 2 x 1 Fl3626確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度Fl2Fl3x l,max (2EI （）3EI),wmaxxwBl例題6.2求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求最大轉(zhuǎn)角、最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，ab。wAFCx解：由梁整體平衡得：BF Fb , F Fax1FFByAyByxllAy2ab 列彎矩方程AC 段：x Fb x , 0 xM x F a1Ay

6、111lCB 段：x F (x a) Fb x F (xM x F a),a x l2Ay22222l 列撓曲線近似微分方程并積分0 x1 aAC 段：wAFCEIw M (x ) Fb xx111BlEIw EI Fb x2 CxFAyFBy11112lx12FbabEIw1 x C1 x1 D136l1CB 段：a x2 lEIw M (x ) Fb x F (xa)2222lEIw EI Fb x2 F (x a)2 C22222l22 Fb x3F (x a)3 C x DEIw222226l62確定積分常數(shù)支座約束條件wAFCx1 0,x2 l,w1(0) 0 xBw2 (l) 0

7、xFAyFBy1x光滑連續(xù)條件2abx x a,(a) (a)1212x1 x2 a,w1(a) w2 (a)代入求解，得Fb31C1 C2 6 Fbl D1 D2 06l確定轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程0 x1 aAC 段：wAFCEI Fb x2Fb (l 2xB b2 )12lFb6lFb1xFAy1FByxEIw b2 )x2x3(l 2ab116l6l1CB 段：a x2 lEI Fb x2 F (x a)2 Fb (l 2 b2 )2222l26l Fb x3F (x a)3 Fb (l 2 b2 )xEIw22226l66l確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度d1得， Fab l b( 0)令wAFC

8、Adx6lEI1 xBd2FabDB 0 （l a）()令得， B6EIldx2Awmaxb a bmax =B根據(jù)圖示撓曲線的大致形狀可知，最大撓度wmax在左段梁內(nèi)。a b2 )3(l 2b2l 2Fbdw 0 x ()1,w令得，1maxdx393EIl1在工程計(jì)算中，只要簡(jiǎn)支梁的撓曲線上沒(méi)有拐點(diǎn)都可用跨中撓度代替最大撓度。積分法求變形優(yōu)缺點(diǎn)？作業(yè)：6-56-4疊加法求梁的變形彈性和小變形范圍內(nèi)，梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系。當(dāng)梁上有若干載荷作用時(shí)，梁某個(gè)截面處的撓度和轉(zhuǎn)角就等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用下該截面撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算梁位移的疊加原理。在簡(jiǎn)單載荷作用下，懸臂梁端的撓度和

9、轉(zhuǎn)角表達(dá)式，及跨中撓度和支座截面轉(zhuǎn)角的表達(dá)式已在附錄中給出。根據(jù)這些資料靈活運(yùn)用疊加原理，往往可較方便地計(jì)算復(fù)雜載荷情況下梁指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角。7-4，q、l、EI例題6.3圖示均已知。求wC 、B。解：wC1將梁上的載荷分解查表：5ql 4ql3 B124EI384EIql 4ql3 48EIB 216EIwC 2ql4ql316EIB3 3EIwC 3 應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷作用時(shí)的結(jié)果求和5ql4ql 4ql 43 wCi 384EI()wC48EI16EIi111ql 4384EIql3ql3ql33 i1BBi24EI16EI3EI11ql3 ()48EI例題6.4圖示懸臂梁，q、

10、l、EI均為已知。求wC和C。解：將載荷變?yōu)橛斜砜刹闉槔昧喝L(zhǎng)受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)；為不改變?cè)d荷的作用效果，在AB 段加上集度相同、方向相反的均布載荷。 計(jì)算兩種載荷下的wC和C 。ql 4ql3 8EIwC1C1 6EI l2ql3ql3w w C 2B 2B 2C 248EIql 4 l2128EI48EI 將結(jié)果疊加41ql 4wC wC1 +wC 2 ()384EI7ql3 C1 +C 2 (48EI)C例題6.5 試用疊加法求圖示等直外伸梁的、 wA和wD。B解：為利用附錄中簡(jiǎn)支梁和懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角，將外伸梁看作由懸臂梁和簡(jiǎn)支梁連接而成。原來(lái)的外伸梁

11、在支座B左F LM qa22qaL側(cè)截面上的剪力 SB和彎矩應(yīng)當(dāng)作為外力B和外力偶矩施加在懸臂梁和簡(jiǎn)支梁上，它們的指向和轉(zhuǎn)向也LLBF 、Mbc應(yīng)與的正負(fù)相對(duì)應(yīng)，如圖、所示。SB圖c中所示BC的受力情況以及支座約束情況與原外伸梁BC段完全相同。注意：B支座左側(cè)的外力2qa將直接傳遞給支座B而不會(huì)引起彎曲?？芍磮Dd和圖e所示情況求Bq， BM 和 wDq，wDM 并疊加后得原外伸梁的 B和wD。q 2a3qa2 2a1 qa3B Bq BM 24EI3EI3 EIq 2a4qa2 2a2qa451 wDq wDM 38424()wDEI16EIEI圖b所示懸臂梁AB的受力情況與原外伸梁AB段相

12、同，但要注意：原外伸梁的B支座截面是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的，其轉(zhuǎn)角就是上面求得的 B，由此引起的A端撓度w1= Ba應(yīng)疊加到圖 b所示懸臂梁的A端撓度w2上去才是原外伸梁的A端撓度wA ：wA w1 w22q a4 1 qa3 3 a EI8EI4 7 qa12 EI疊加法求變形優(yōu)缺點(diǎn)？作業(yè)：6-176-5簡(jiǎn)單超靜定梁基本概念超靜定梁：支反力數(shù)大于平衡方程數(shù)的梁多余約束：從維持平衡角度而言多余的約束超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目靜定基：撤除多余約束后得到的基本靜定系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)求解步驟解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)（優(yōu)先以懸臂比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件靜定基）計(jì)算變形，

13、并帶入變形協(xié)調(diào)條件求出多余約束力利用靜力平衡條件求其它約束反力7-6例題6.6試作圖示梁的內(nèi)力圖。解：該梁為一次超靜定去掉B處的多余約束，以懸臂梁為靜定基，并代之以多余約束力FB，得原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。 比較變形，列出變形協(xié)調(diào)條件相當(dāng)系統(tǒng)在B點(diǎn)的撓度應(yīng)為零wB (wB )F (wB )F 0B 由物理關(guān)系求出多余約束力ql 4F l3 wBwBqB3EIFB8EIql 4F l 3wB wBq wBF 0B3EI8EIB3 ql FB8 由整體平衡求其它約束反力F 5 ql M 1 ql 2 逆AyA88 作梁的內(nèi)力圖作業(yè)：6-286-6梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)1.梁的剛度校核 w wma

14、x l maxl w 式中，l為跨長(zhǎng)， l 為許可撓跨比，為許可轉(zhuǎn)角。 w 11土建工程中通常只限制梁的撓跨比， l 2501000 。在機(jī) w 1110000 ；對(duì)于傳動(dòng)軸還要械工程中，對(duì)于主要的軸， l 5000求限制在安裝齒輪處和軸承處的轉(zhuǎn)角， 0.005 0.001 rad 。2. 提高梁的剛度的措施(1) 增大梁的彎曲剛度EI由于不同牌號(hào)鋼材的彈性模量大致相同(E210 GPa)，故從增大梁的彎曲剛度來(lái)說(shuō)采用高強(qiáng)度鋼并無(wú)明顯好處。為增大梁的彎曲剛度，橫截面宜采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠(yuǎn)的形狀，以增大截面對(duì)于中性軸的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。(2) 調(diào)整跨長(zhǎng)和改變

15、結(jié)構(gòu)的體系跨長(zhǎng)為l 的簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布均布荷載時(shí)，最大彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為ql 2.0125ql2M max85ql4ql 4 384EI 0.013EI()wmax如果將兩個(gè)鉸支座各內(nèi)移一個(gè)距離a而成為圖示外伸梁，且a=0.207l，則不僅最大彎矩減小為M AMBmaxCqa22.00214ql2而且跨中撓度減小為ql 4 wC 0.000616 EI ()wmax而此時(shí)外伸端D和E的撓度也僅為ql 4wD wE 0.000207 EI ()所謂改變結(jié)構(gòu)的體系來(lái)提高梁的剛度，是指增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁。例如在懸臂梁的端增加一個(gè)鉸支座，又如在的跨中增加一個(gè)鉸支座。6-7彎曲應(yīng)變能1等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲時(shí)，其曲率 M為EI常量，撓曲線為一圓弧，梁的兩個(gè)端面在彎曲后對(duì)應(yīng)的圓心角為l Ml eEIEI下圖中表示出了Me與q的線性關(guān)系。斜直線下的三角形面積即代表外力偶之矩由零增大到最終值Me 過(guò)程中，外力偶所作的功：12e它在數(shù)值上就等于梁在純彎曲時(shí)的應(yīng)變能：V 1 M 1 Me