高中數(shù)學題型全面歸納（教師版）：10.3拋物線及其性質44

1、第三節(jié) 拋物線及其性質考綱解讀 掌握拋物線的定義、標準方程、幾何圖形和及其簡單幾何性質.命題趨勢探究 拋物線是圓錐曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查拋物線的方程、焦點、準線及其幾何性質，題形上，選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，以考查學生的運算、數(shù)形結合和分析能力為主. 預測2019年高考主要考查拋物線標準方程和性質的應用，焦點弦是重點考查的內(nèi)容.知識點精講一、拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線. 注 若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點.二、拋物線的方程、圖形及性質 拋物線的標準方程有4種形式：，其中一次項與對

2、稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向（如表10-3所示）表10-3標準方程yxOFlyxOFlFyxOl圖形yxOFl對稱軸軸軸頂點原點焦點坐標準線方程三、拋物線中常用的結論1. 點與拋物線的關系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）.（2）在拋物線上.（3）在拋物線外.2. 焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.3. 的幾何意義為焦點到準線的距離，即焦準距，越大，拋物線開口越大.4. 焦點弦若為拋物線的焦點弦，則有以下結論：（1）.（2）.（3）焦點弦長公式1：，當時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為.焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）.（4）的面積公式：（為

3、直線與對稱軸的夾角）.5.拋物線的弦若AB為拋物線 的任意一條弦， ，弦的中點為 ，則弦長公式： 直線AB的方程為 線段AB的垂直平分線方程為 6求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法（法） （1） 焦點為 ，準線為 (2) 焦點為 ，準線為 如，即，焦點為 ，準線方程為7參數(shù)方程 的參數(shù)方程為 （參數(shù)）8切線方程和切點弦方程 拋物線的切線方程為為切點 切點弦方程為點在拋物線外 與中點弦平行的直線為此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結果。題型歸納及思路提示題型143；拋物線的定義與方程思路提示求拋物線的標準方程的步驟為

4、：先根據(jù)題設條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點位置：根據(jù)題目條件列出P的方程解方程求出P，即得標準方程 已知拋物線的準線與圓相切,求的值為（ ）A B C 2 D4解析；拋物線的準線為，圓的標準方程為 ，由與圓相切，知，解得，故選C評注 準線 是拋物線的重要性質，要熟記準線方程。變式1 【2016高考浙江理數(shù)】若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_解析 評注 當題目中出現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離時，一般會想到轉化為拋物線上的點到準線的距離解答本題時轉化為拋物線上的點到準線的距離，進而可得點到軸的距離變式2 設 為拋物線上一點，為拋物線的焦點，以為圓心，為半徑的

5、圓和拋物線的準線相交，則的取值范圍是（ ）A B C D解析 圓心到拋物線準線的距離，即因為準線與圓相切，所以，即，故選C 若點到直線的距離比它到點的距離小 ，則點的軌跡為（ ）A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解析 解法一：（直接法）設 依題意有 ，當 時， ，整理得 當 時， ，顯然不成立，故點的軌跡方程為解法二：（定義法）由題意可知，點只能在的右側，點到直線 的距離等于它到點的距離，根據(jù)拋物線的定義知，點的軌跡是拋物線，故選D變式1 設圓 與圓 外切，與直線 相切，則的圓心軌跡為（ ）A拋物線 B雙曲線 C橢圓 D圓解析 依題意，圓心C不可能在軸下方，設圓C的半徑為，則圓心C到直線的距離為

6、r，由兩圓相切可得，圓心C到點的距離為，即圓心C到點的距離比到直線的距離大1，故點C到點的距離和它到直線的距離相等，故點C的軌跡為拋物線變式2 【2016高考天津理數(shù)】設拋物線，（t為參數(shù)，p0）的焦點為F，準線為l.過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B.設C（p,0），AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面積為，則p的值為_.解析 拋物線的普通方程為，又，則，由拋物線的定義得，所以，則，由得，即，所以，所以，評注 1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉化為到準線距離處理2若P(x0，y0)為拋物線y22px(p0)上一點，由定義易得|PF|x0eq f(p,2

7、)；若過焦點的弦AB的端點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|x1x2p，x1x2可由根與系數(shù)的關系整體求出；若遇到其他標準方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結合的方法類似地得到 設拋物線上一點 到 軸的距離是 ，則點拋物線焦點的距離是（ ）A4 B6 C8 D12解析 由焦半徑公式 知點到焦點的距離為6，故選B變式1 已知拋物線關于 軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點 ，若點 到該拋物線焦點的距離為3，則（ ）A B C4 D 解析 由題設可設拋物線方程為，焦點，由定義知，所以，故，故選B變式2 已知是拋物線的焦點， 是該拋物線上的兩點， 則線段的中點到軸的距離為

8、（ ）A B C D 解析 因為，所以線段AB的中點到軸的距離為，故選C變式3 設為拋物線的焦點， 為該拋物線上三點，若 ，則（ ）A9 B6 C4 D3 解析 設，且，由得，即，故，故選B 過拋物線 的焦點作傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點（點 在軸上方），則 解析 如圖10-10所示，由題意得準線，作 于點，于點，于點，則 ， ，因為在三角形中，所以 ，即 ，得變式 1 已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于 兩點，設，則與的比值等于 xBAyCDFH圖10-60解析 如圖10-60所示，由題意得準線，作于C，于D，于H ，則，因為在直角三角形AHB中，所以，得變式2 【2016年高

9、考四川理數(shù)】設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且=2,則直線OM的斜率的最大值為( )（A）（B）（C）（D）1解析 設（不妨設），則由已知得，故選C.題型144 與拋物線有關的距離和最值問題 思路提示 拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進行轉化，從而把兩條線段長度之和的問題轉化為兩點間的距離問題或點到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質”，若求拋物線上的點到定直線（并非準線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解。已知直線 和直線，拋物線上一動點 到直線和的距離之和的最小值是（ ）A B3 C D分析

10、 畫出圖形，利用等價轉化，將距離之和的最小值轉化為點到直線的距離。解析 作輔助線如圖10-11所示，連接 拋物線方程為，為其準線，焦點為 ，由拋物線的定義可如 ，故選A評注 本題考查拋物線的定義及轉化與化歸的數(shù)學思想變式 1 已知點是拋物線 上的一個動點，則點到點與到該拋物線準線的距離之和的最小值為（ ）A B3 C D解析由拋物線定義知，故選A變式2 已知點在拋物線上，那么當點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為（ ）A B C D解析 拋物線上點P到焦點F的距離等于到拋物線的準線的距離，過P作PE垂直準線于點E，過Q作QH垂直準線于點H，則，故點P到Q的距離與點P到焦

11、點的距離之和取最小值時，PQ垂直于準線，此時P點的縱坐標，由此得，故選A變式3 【2017課標1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A16B14C12D10解析 設，直線方程為聯(lián)立方程得同理直線與拋物線的交點滿足由拋物線定義可知當且僅當（或）時，取得等號.【答案】A題型145 拋物線中三角形，四邊形的面積問題思路提示 解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點焦點的距離轉化為到準線的距離，并構成直角三角形或直角梯形，從而計算其面積或面積之比。例10.28 在

12、直角坐標系中，直線過拋物線的焦點，且與該拋物線相交于兩點，其中點在軸上方，若直線的傾斜角為，則的面積為 解析 解法一：直線的方程為 沒，代入得 解得 得 解法二： 如圖10-12所示，由題意得拋物線的準線，過作于，于，連接，則，又，故三角形為正三角形，因為 ，所以 ，所以 評注 解法一求出了交點 的坐標，從而求得 的面積；解法二利用了拋物線的定義及三角形的性質，得出中邊 的高，計算量較小，方法更簡捷變式1 過拋物線 的焦點的直線交拋物線于 兩點，點是坐標原點，若，則的面積為（ ） B C D解析 不妨設，由，可得，進而得，直線AF1：，與拋物線聯(lián)立解得，則變式2 【2015高考浙江，理5】如圖

13、，設拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，其中點，在拋物線上，點在軸上，則與的面積之比是（ ）A. B. C. D. 解析 ，故選A.評注 本題主要考查了拋物線的標準方程及其性質，屬于中檔題，解題時，需結合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比這一性質，結合拋物線的性質：拋物線上的點到準線的距離等于其到焦點的距離求解，在平面幾何背景下考查圓錐曲線的標準方程及其性質，是高考中小題的熱點，在復習時不能遺漏相應平面幾何知識的復習.例10.29 拋物線的焦點為，準線為 ，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點，垂足為，則的面積是（ ）A B C D分析 作出圖形，利用數(shù)形結合思想

14、，在圖中找到三角形的底和高從而使問題得以解決。解析 解法一：如圖10-13所示，由題意可知，準線方程為，由 ，解得 ，故，因為直線的斜率，所以，則，又，則為正三角形，的底為 ，高為，所以 解法二： 由焦點到準線的距離為2，因為直線的斜率為 ，所以，則，又，則為正三角形，則，則 ，所以，選C變式1 已知拋物線的焦點為，準線與 軸的交點為，點在 上且，則的面積為（ ）A B C D解析 由題意知，準線為，即，過點A作AB垂直于準線，垂足為B，由拋物線定義知，由題設知，所以在直角三角形ABK中，所以，且軸，軸，則，所以，故選B變式2 【2017天津，理19】設橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知

15、是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設上兩點，關于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.分析：由于為拋物線焦點，到拋物線的準線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標準方程和拋物線方程；則，設直線方程為設，解出兩點的坐標，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立解出點坐標，寫出所在直線方程，求出點的坐標，最后根據(jù)的面積為解方程求出，得出直線的方程.解析：（）解：設的坐標為.依題意，解得，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（）解：設直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，

16、或.由點異于點，可得點.由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因為的面積為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.最有效訓練題44 最有效訓練題44（限時45分鐘）1拋物線上有一點，它的橫坐標是3,它到焦點的距離是5,則拋物線的方程為( )A B C D2.若點到直線 的距離比它到點 的距離大1,則點的軌跡為( )A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線 3.已知拋物線 ,以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是( )A相離 B相切 C相交 D不能確定4. 已知雙曲線的離心率為2,若拋物線 的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2,則拋物線 的方程為( )A B C D5. 等軸雙曲線

17、的中心在原點,焦點在 軸上, 與拋物線的準線交于兩點, ,則的實軸長為( )A B C D6. 已知 為拋物線 上兩點,點的橫坐標分別為,過分別作拋物線的切線,兩切線交于點 ,則點的縱坐標為( )A B C D7. 已知以為焦點的拋物線 上的兩點 滿足，則弦 的中點到準線的距離為 8若點是拋物線的一條弦的中點，且這條弦所在直線的斜率為2，則 9已知點 ，動點在拋物線上運動，則取得最小值時的點的坐標是 10已知拋物線的焦點是，點是拋物線上的動點（1）若有點，求的最小值，并求出取最小值時點的坐標（2）若點的坐標為，求的最小值（3）若點在軸上的射影是，點的坐標是，求的最小值.11已知拋物線方程 （1

18、）若拋物線焦點坐標為，求拋物線的方程 （2）若動圓過，且圓心在該拋物線上運動，是圓和軸的交點，當滿足什么條件時，是定值？12如圖10-14所示，已知點，均在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點重合。（1）寫出該拋物線的方程及焦點的坐標 ； （2）求線段的中點的坐標； （3）求所在直線的方程.最有效訓練題441A 解析 依題意，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，則有，故，拋物線的方程為，故選A2D 解析 依題意，動點P的軌跡到點的距離等于到直線的距離，故點P的軌跡滿足拋物線的定義，故選D3B 解析 設過焦點的弦與拋物線交于點A，B，則(A1，B1為過點A，B向拋物線的準線作垂線的垂足)，所以，結合梯形中位線的定義可知以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切，故選B4D 解析 由雙曲線的漸近線方程為，因為，所以，則雙曲線的漸近線方程為，拋物線的焦點到直線的距離，得，拋物線C2的方程為，故選D5C 解析 設等軸雙曲線C的方程為，雙曲線C與直線 相交于A，B兩點，且，得，故，則雙曲線C的方