南京市2020屆高三年級數(shù)學(xué)第三次模擬考試

1、南京市2020屆高三年級第三次模擬考試注意事項:.本試卷共4頁，包括填空題（第 1題第14題）、解答題（第 15題第20題）兩部分.本試卷滿分為 160分，考試時間為120分鐘.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、學(xué)號寫在答題卡的密封線內(nèi).試題的答案寫在答題卡 上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi).考試結(jié)束后，交回答題卡. 一、填空題（本大題共 14小題，每小題5分，計70分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答題卡的指定位置上） TOC o 1-5 h z .已知集合 A= x2 vx4, B= x|1 vx0,萬 巾0, b0）的右焦點為F.若以F為a b圓心，a為半徑的圓交該雙曲線的一條漸近線于A,

2、B兩點，且AB= 2b,則該雙曲線的離心率為 .若正方體 ABCP ABGD的棱長為2,則三棱錐 A-BCD的體積為 .若g（x-1） 1,則x的取值范圍為.已知函數(shù) f=；(+jx)：；0, g(x)=f( TOC o 1-5 h z .在平面直角坐標系 xOy中，A, B是圓Q x2+y2=2上兩個動點，且 OA，OB.若A, B 兩點到直線l： 3x + 4y10= 0的距離分別為d1, d2,則d1 + d2的最大值為.若對任意aCe, +8）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），不等式xb0）經(jīng)過點（2,0）和（1a b橢圓C上三點A, M B與原點O構(gòu)成一個平行四邊形 AMBO（1）求橢圓C的方

3、程；（2）若點B是橢圓C的左頂點，求點 M的坐標；（3）若A, M B, O四點共圓，求直線 AB的斜率.(本小題滿分16分)x已知函數(shù)f(x)=Te(aCR),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).x ax+ a(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(2) f(a),求a的取值范圍；(3)證明：對任意 aC(2, 4),曲線y = f(x)上有且僅有三個不同的點，在這三點處的 切線經(jīng)過坐標原點.(本小題滿分16分)an若數(shù)列an滿足n2, nCN*時，小金0,則稱數(shù)列( nC N*)為an的“L數(shù)列”. an+1(1)若a1=1,且an的“L數(shù)列”為，,求數(shù)列a

4、n的通項公式；(2)若an=n+k-3(k0),且an的“L數(shù)列”為遞增數(shù)列，求 k的取值范圍；(3)若an=1+pn,其中p1,記an的“L數(shù)列”的前n項和為S,試判斷是否存在等差數(shù)列Cn,對任意nCN*,都有CnVSVCn + 1成立，并證明你的結(jié)論.南京市2020屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)附加題注意事項：.附加題供選修物理的考生使用.本試卷共40分，考試時間30分鐘.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、學(xué)號寫在答題卡的密封線內(nèi).試題 的答案寫在答題卡 上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi).考試結(jié)束后，交回答題卡. 21 .【選做題】在 A、B C三小題中只能選做 2題，每小題10分，共計20分

5、.請在答卷 卡指定區(qū)域內(nèi) 作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. A.選修42:矩陣與變換1 1已知矩陣A=, ae R.若點R1 , 1）在矩陣A的變換下得到點 P （0 , 2）.a 0（1）求矩陣A;（2）求點Q0, 3）經(jīng)過矩陣A的2次變換后對應(yīng)點 Q的坐標.B.選修44:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系 xOy中，曲線C的參數(shù)方程為xlSi：C0s （ e為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為、=丫3） （t為參數(shù)），求曲線C上的點到直線l的距離的最大值.y= 1 +1C.選修45:不等式選講已知a, b為非負實數(shù)，求證：a3+b3/ab(a2+b2).【必做題】第22題、第23題，每

6、題10分，共計20分.請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi) 作答.解 答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(本小題滿分10分)如圖，在直三棱柱 ABC ABC 中，ABAC AB= 3, AC= 4, BC,AC.(1)求AA的長.(2)試判斷在側(cè)棱 BB上是否存在點P,使得直線PC與平面AACC所成角和二面角 B-AC-A的大小相等，并說明理由.(第22題圖).(本小題滿分10分)口袋中有大小、形狀、質(zhì)地相同的兩個白球和三個黑球.現(xiàn)有一抽獎游戲規(guī)則如下：抽獎?wù)呙看斡蟹呕氐膹目诖须S機取出一個球，最多取球2n+1(nCN)次.若取出白球的累計次數(shù)達到n + 1時，則終止取球且獲獎，其它情況均不獲獎.記獲獎概

7、率為R.(1)求 R;(2)證明：p1+1 P!.南京市2020屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案及評分標準說明：.本解答給出的解法供參考.如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容 比照評分標準制訂相應(yīng)的評分細則.對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容 和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果 后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù).只給整數(shù)分數(shù)，填空題不給中間分數(shù).、填空題（本大題共 14小題，每小題5分，計70分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答

8、題紙的指定位置上）1. x1 x5 a/5 2= 3l5.10, 550114分答：x的最小值為(3。5)小時.18.(本小題滿分16分)解:22(1)因為橢圓點+看1= 1(ab0)過點(2, 0)和(1 ,所以 a=2, 02卜432= 1,解得2b2=1,所以橢圓C的方程為Ryj.(2)因為B為左頂點，所以 B ( -2,0).因為四邊形 AMBO；平行四邊形，所以 AM/ BQ且A陣BO= 2.設(shè)點 Mx。, y。)，則 A(xo+2, yo).2T- + y，=1 , 因為點M, A在橢圓C上，所以 ，、2 (X0+2)2 d4+y0 = 1X0= - 1 ,解得 ,3 丫。=上，所

9、以M 1, 土平). 因為直線AB的斜率存在，所以設(shè)直線 AB的方程為y=kX+m, a(X1,，)B(X2,y= kX+ m由 X22 消去 y,得(4 k2+1)X2+8kmX+ 4n2 4=0,z+y = 1，2,門上一8km 4m4貝有 X1 + X2= 2 , X1X2= 2 .1 + 4k1 + 4k一 一.， . . 、 一 _ -一 一 一因為平行四邊形 AMBQ所以QMh QA+ QB=(X1 + X2, y1+y2).因為 X1 + X2=-km, 所以 y1 + y2= k( X1 + X2) + 2m= k , -km + 2m= 1 + 4ky y1 + 4k2mT2

10、1 + 4k 8km 2m、 所以me10分因為點M在橢圓C上，所以將點 M的坐標代入橢圓 C的方程,化彳導(dǎo)4m= 4k2 + 1.12分因為A, M B, Q四點共圓，所以平行四邊形 AMBQb矩形，且 QAL QB所以 OA QB=X1X2+ yy = 0.2,、2 m2- 4 k 2因為 yiy2=(kxi+m)(kxi +m)= k X1X2 + km( xi +X2)+m=2,1 + 4k4m 4 m4k22所以 X1X2 + yiy2= -2-+ -2-= 0,化得 5m=4k+4.1 + 4k1 + 4k由解得k2=?, m2 = 3,此時 0,因此k=手.所以所求直線AB的斜率

11、為土卑.19.(本小題滿分16分)X e 解：(1)當 a=1 時，f(X) =x2_x+1 ,X ,所以函數(shù)f(x)的定義域為r f(x)=e(xr )(x-2)(x -x+1)令 f (x) 0,解得 1 v xv 2,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1,2).(2)由函數(shù)f(x)的定義域為R,彳導(dǎo)x2ax+aw0恒成立,所以 a2 - 4a 0,解得 0va4.方法1X e 由 f (x) = x2_ax+ a，得 f (x) =eX(xa)( x-2)(x ax a)當a=2時，f (2) =f(a),不符題意.當0va2時，因為當avx2時，f (x)f (2),不符題意. 當2V

12、a4時，因為當2vxva時，f (x)f(a),得六;e.4 a aa因為0vav4,所以不等式可化為 e2(4 - a). aX設(shè)函數(shù) g(x) = e(4 -x) - e2, 0vxv4.x14分16分2分4分6分8分因為g (x) =ex (X：2) W0恒成立，所以g(x)在(0 , 4)上單調(diào)遞減. x又因為g(2) =0,所以g(x)。的解集為(2, 4).所以，a的取值范圍為(2,4).證明：設(shè)切點為(x0, f(x0),則f(刈去玉；)，e e (Xo 2)( Xo a),、xo axo+ a(xo axo+ a)x。x。上 c ee (x。 2)( x。 a)、, 小 、由

13、02= -；2-2 X (0 x。)，所以切線萬程為y 2= 23 x( x X。).x ax+ a(x ax0+ a)化簡得 x03(a+3)x02 +3ax0a=0. 10 分設(shè) h(x) =x3( a+3) x2+3axa, a (2 , 4),則只要證明函數(shù) h(x)有且僅有三個不同的零點.由(2)可知 aC (2 , 4)時，函數(shù) h(x)的定義域為 R, h(x) =3x22(a+3)x+ 3a.因為= 4(a+ 3)236a=4(a3)2+ 270 恒成立，所以h(x) =0有兩不相等的實數(shù)根xi和x2,不妨xix2.因為x(8, x1)x1h (x)十0h(x)增極大(x1 ,

14、 x2)x2(x2,+8)一0十減極小增所以函數(shù)h(x)最多有三個零點. 12分因為 ae (2 , 4),所以 h(0) =- a0, h(2) =a-40,所以 h(0) h(1) 0, h(1) h(2) 0, h(2) h(5) 0),且 n2, nC N*時，anW0,所以 kw1.方法1an僅 bnF，n C N*,所以 bn =n+ k 3(n+ 1) +k31n+ k 2因為bn為遞增數(shù)列，所以bn+1bn0對nC N*恒成立， TOC o 1-5 h z r一11.,、即-0對nC N*恒成立. n+ k- 2 n+ k 1111因為一11 =1,n+k-2 n+k-1 (

15、n+k2)( n+k1)11，一所以： ：-0等價于(n + k 2)( n+k1) 0.n+k2 n+k1當0v kv 1時，因為n = 1時，(n+ k2)( n + k 1) 1 時，n+k 1n+ k20,所以(n+ k2)( n+k 1) 0, TOC o 1-5 h z 綜上，k的取值范圍是(1 , +oo ) , 8分方法2.1令f(x) = 1，所以f(x)在區(qū)間(一8, 2k)和區(qū)間(2 k, +8)上單調(diào)遞x+ k- 2當0vkv1時，f (1) = 1 - J 1, f (2) = 1 一:v 1,所以 b2Vb1,不符合題意. 6 分k-1k當k1時，因為2-k1,所以

16、1 p0,所以pv&vp+(1 p) (p+帝+ 歹1+?)14分即nv S1n+- - 1 -(1)n .p p p p因為1 1 -(1) n b 時，jagb,從而（ga（qb）,得（下一乖廣（洞5（乖）510 6分若 ab時，qayb,從而（ya）5（qb）5, 得（,一”）（g）5（Vb）5 o. 8分綜上，a3+ b3 /ab( a2+ b2).(本小題滿分10分)解：(1)因為三棱柱 ABC- ABC為直三棱柱，所以 AAL平面 ABC所以 AAXAB AAXAC . -_又ABL AC,所以以 AB, AC, AA為正交基底建立如圖所本的空間直角坐標系 A xyz.設(shè) AA=t

17、(t0),又 AB= 3, AC= 4,則 A(0, 0, 0), G(0, 4, t), B(3, 0, t), C(0, 4, 0),所以 AG = (0, 4, t), BiC= (3, 4, -t).因為 Bid AC,所以 BC - AC = 0,即 16 12=0,解得 t=4,所以AA的長為4. 4分(2)由(1)知 B(3 ,0, 0), C(0, 4, 0), A1(0 , 0, 4),所以 AC=(0, 4, 4), BC= (3, 4, 0).設(shè)n=（x, y, z）為平面ACB的法向量,取y=3,解得z=3, x=4,所以n=（4, 3, 3）為平面ACB的一個法向量.

18、又因為ABJ面AACC,所以AB= (3, 0, 0)為平面ACA的一個法向量,一AB n12“ coS=| AB| .|n| = 3 . g 32+ 32所以 sin = -f=. .17設(shè) P(3 , 0, m),其中 OWmc4,則 CP=(3 , 4,m) 因為AB=(3, 0, 0)為平面ACA勺一個法向量,所以 cosv CP,AB CPAB= I AB| | CP|9 33 32+ ( - 4) 2+ mi yjm+ 253所以直線PC與平面AAGC的所成角的正弦值為f 2.mi+25因為直線PC與平面AAGC所成角和二面角 B- AiC-A的大小相等,所以2=,此時方程無解，y

19、m2+25 /所以側(cè)棱BB上不存在點P,使得直線PC與平面AAC1C所成角和二面角 B- AiC- A的大小相等10分23.(本小題滿分10分)解：(1)根據(jù)題意，每次取出的球是白球的概率為之取出的球是黑球的概率為 3.55所以Pi=2X2+C2X (2)2X3 = 45 555 252412544125(2)證明：累計取出白球次數(shù)是n + 1的情況有：前n次取出n次白球，第n + 1次取出的是白球，概率為Cnx(2)n+1；5前n +1次取出n次白球，第n +2次取出的是白王概率為Cnx (1) n+1x|； TOC o 1-5 h z 55前2n 1次取出n次白球，第前2n次取出n次白球，第2n2n次取出的是白球，概率為C2n-1X(-)n+1x(-)n；55+1次取出的是白球，概率為 ixAr+x3)則 Pn=dx(|)n+1+d+1X(|)n+1 5555x5+$