南昌大學(xué)第四屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

1、南昌大學(xué)第四屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽南昌大學(xué)第四屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽（理工類）試題1、填空題（每空3分，共15分）arctanx x lim -x 0 ln 1 2x32、設(shè)S是平面x y z 2被圓柱面x2y2 1所截的有限部分，則曲面積分xdS=3、由方程2xx y 21 e t dtxy確定，則y4、1 y一z 8x y與直線L2 ：12y z6-c的夾角為3 TOC o 1-5 h z 225、設(shè)曲線弧l的方程為橢圓上 L 1,其周長(zhǎng)為432. 22xy 3x 4y ds二、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1、設(shè)f x和g x在 ，內(nèi)可導(dǎo)，且f x g x ,則必有()(A) f x g x .(B)

2、 f x g x .(C) lim f x lim g x . TOC o 1-5 h z x x0 x x0 xx(D) f t dt a t dt . 002、設(shè)y f x是微分方程y 2y 4yesinx的一個(gè)解，若f x00, f x00 ,則函數(shù) f x 在點(diǎn) x0()(A)取得極大值.(B)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加.(C)取得極小值(D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.3、已知axy2 ycosx dxx2y bsinxdy是某函數(shù)u x, y的全微分,(A) a 2,b2.(B) a 2,b 2.a 1,b1.a 1,b 1.4、已知曲面z 4 x2 y2上點(diǎn)P處的切平面平行于平面2x 2y z 1

3、0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）（A） 1, 1,2 . （B）1,1,2 .（C） 1,1,2 .（D）1, 1,2 .5、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) In 1 an收斂，則級(jí)數(shù)1 n Janan 1的斂散性為（） TOC o 1-5 h z n 1n 1（A）無(wú)法判斷，與 有關(guān).（B）發(fā)散.（C）條件收斂.（D）絕對(duì)收斂.三、（本題滿分6分）1 aX設(shè)f為連續(xù)函數(shù)，g a 1 f a x dx,討論當(dāng)a 0時(shí)g a的極限a 0a是否存在.四、（本題滿分6分）x設(shè)f x為連續(xù)函數(shù)，滿足方程f x 2 ex 10 xtftdt,求fx.五、（本題滿分7分）求 I l exsin y b x y dx ex cosy a

4、x dy ,其中 a、b 均為常數(shù)，L 為從點(diǎn)A 2a,0沿曲線y J20 x_x7到點(diǎn)O 0,0的一段弧.六、（本題滿分7分）11 1設(shè) f x 在 0,1 上連續(xù)，且 fxdxA,求 ftdt 1 x f x dx.，00 x已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)an收斂，試判斷數(shù)列1 & 1 a?1 an的斂散性.n 1八、（本題滿分7分）計(jì)算曲面積分I ydydz xdzdx z2dxdy,其中 是錐面z JX2y2被平面z 1和z 2所截出部分的外側(cè)九、（本題滿分7分） 22設(shè)u yf xg y ,其中函數(shù)f,g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求xu y y xx x y十、（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)f x滿足方程xf x 3

5、f x6x2，且由曲線y f x、直線x 1與x軸圍成的平面圖形D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積最小，求 f x .十一、（本題滿分8分）x2n求級(jí)數(shù) 的和函數(shù).n 1 n 1 3n十二、（本題滿分7分）2 f x dx設(shè)對(duì)任意x a,b,有fx 0, f x 0,試證f x 一ab a1、1、南昌大學(xué)第四屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽填空題（每空3分，共15分）1八 cc，2、0 .3、e 1.4、6選擇題（每題3分，共15分）C.2、A.3、C. 4、C.（本題滿分6分）0時(shí),5、D.（理工類）試題答案5、12a.lim1 a 0 aa0(aX一)f(a x)dx aliml a 0 aa0(a-)f(a

6、ax)dx積分中令1a x,則 lim 2 a 0 aa0 f()dlimf a 0 2a當(dāng)a 0時(shí),1 a lim0a 0(ax-)f(a ax)dx 令 a x1-f(0)21 a呵一0(2 -)f( )da 0 a 0 a2 f(0).(D0時(shí),的極限存在,(2)0時(shí),的極限不存在四、（本題滿分6分）2 ext dtxtf t dt0 x2edt2ex求得yxex通解 y c1ex c2e x xex一. 1.1. V特解y e e xe 22五、（本題滿分7分）利用格林公式.添加從點(diǎn)0（0,0）沿直線y 0到點(diǎn)A（2a,0）的有向直線段L ,則IO exsin y b x y dx e

7、xcosy*L Laxdyex sin y b x y dxxe cosy ax dy I1 I2. - - - - -對(duì)于Ii,因?yàn)長(zhǎng) L為封閉曲線，由格林公式知Ii(ba)d2 a2(ba)；對(duì)于I2,直接計(jì)算I 22a0 ( bx)dx2a2b.所以，I Ii I2_2(-2)a b六、（本題滿分7分）1解：令（x）(x)(0)t dtA.于是,1原式二 0 (x)dx10(x1)(x)dx(x(x)dx (x1)(x)10 (x)dx1) (x)(0) A解法dt 1dx =1xft dtdxf x dxdxdtx f x dx111=f t tdt 1 x f x dx = f t

8、dt = A 000七、(本題滿分8分)證 設(shè)級(jí)數(shù) an的前n項(xiàng)的部分和 n 1Sn司在一一an由正項(xiàng)級(jí)數(shù) an收斂知存在M 0使得SnM,n 1(1 a1)(1 a2),，(1 an)eln(1 a 二)一 ()16) ln(1 a2) ln(1 an)由于當(dāng)x 0時(shí)In 1 x x,因此ln(1 a1) ln(1 a2) ln(1 a )a1a2 , %e 1n e12nSe又由于1 a1 1 a21 an是單調(diào)遞增數(shù)列，因此數(shù)列1 a11a21 an收斂.八、(本題滿分7分)利用高斯公式.補(bǔ)充有向曲面1： z 1下側(cè)；有向曲面 2： z 2上側(cè).利用高 TOC o 1-5 h z 斯公式

9、,有 O ydydz xdzdx z1212dxdy2zd1222zdz d2zrdr100152其中 口刈為：乂2 y2 z2.又由于ydydz xdzdx z2dxdydxdy152ydydz xdzdx z2dxdy4dxdy 4( *22) 16 ,故x-,w yxg wyg w x2 uF x1f y2y-g w x2u xx=0十、（本題滿分7分）方程通解y cx36x2旋轉(zhuǎn)體體積V1 2 0ydx32 2cx 6x dxx 0,6x2c272c3657x3（本題滿分8分）tn當(dāng)x 0時(shí),0,tn 1tn 1n 1 n 1tn 1n 1 n 1t01dttln 1x2n 3x2一 x2of=- ln 1 一 ，xV3 n i n 1 3n x2332nx當(dāng) x 0 , =0ni n 1 3n十二、（本題滿分7分）證“*）在1 a,b上的一階臺(tái)勞公式為19 人一，.、一f (x) f (t) f (t)(x t) f ( )(x t),介于 x與tN問(wèn). 2!因?yàn)閒 (x) 0,所以f() 0.于是，有f(x) f(t)f(t)(x t).不等式兩邊在a,b上對(duì)t積分布bbb(b a) f (x) a f (t)dt a f (t)(x t)dt a f(t)dtaaa(x t)f(t)f (t)dtb2 f(t)