多元回歸分析課件

1、復(fù)習(xí)多元回歸分析大樣本性質(zhì)模型的函數(shù)形式虛擬變量異方差數(shù)據(jù)問題時間序列模型基本模型平穩(wěn)、弱相關(guān)和高度持久序列相關(guān)工具變量和聯(lián)立方程受限制因變量模型1小樣本和大樣本性質(zhì)小樣本性質(zhì)：估計(jì)量在樣本大小為有限的情況下表現(xiàn)出來的性質(zhì)。例如：無偏估計(jì)； t、F檢驗(yàn) 。大樣本性質(zhì)：估計(jì)量在樣本大小為無限的情況下表現(xiàn)出來的性質(zhì)。例如：大數(shù)定律；一致估計(jì)；LM檢驗(yàn)2一致性 “一致”指的是當(dāng)n 時，估計(jì)量的分布收斂于系數(shù)的真實(shí)值在MLR1-MLR5假設(shè)下, OLS估計(jì)值是一致的（也是無偏的）在無偏性的證明中，我們假設(shè)了條件均值為零： E(u|x1, x2,xk) = 0證明一致性，我們只要相對較弱的假設(shè)，均值為零

2、： E(u) = 0; 不相關(guān)： Cov(xj,u) = 0, j = 1, 2, , k 沒有這個假設(shè)，OLS就是有偏和不一致的3當(dāng)n 時樣本（估計(jì)）的分布b1n1n2n3n1 n2 1或F115擬合程度重要的是不要過于關(guān)注調(diào)整的R2 而忽略了理論和經(jīng)濟(jì)常識本身如果經(jīng)濟(jì)理論清楚地預(yù)計(jì)某個變量應(yīng)當(dāng)被包括進(jìn)來，那么就加入這個變量不要加入影響對所關(guān)注的變量進(jìn)行合理解釋的變量；切記多元回歸含意之一是控制了其它因素16函數(shù)形式我們已經(jīng)知道一個線性的回歸可以用來擬合一些非線性的關(guān)系可以用因變量或 自變量的對數(shù)形式或者同時用兩者的對數(shù)形式可以用x的平方可以用x的交叉項(xiàng)但是我們?nèi)绾沃牢覀兪欠裨谀Ｐ驮O(shè)定中采

3、用了正確的函數(shù)形式呢？17函數(shù)形式（續(xù)）首先，要靠經(jīng)濟(jì)理論來指導(dǎo)模型的設(shè)定考慮如何對模型進(jìn)行解釋究竟是變量x的絕對變化還是百分比的變化（用對數(shù)形式）對因變量y產(chǎn)生影響更加合理？因變量對x1的偏導(dǎo)隨x1 （平方項(xiàng)）還是隨x2 （交叉項(xiàng)）改變，或者是固定不變？18RESET檢驗(yàn)RESET 采用的辦法和White檢驗(yàn)的特殊形式類似我們采用加入的函數(shù)的辦法來檢驗(yàn)，而不是直接加入x的函數(shù)因此，要估計(jì)方程 y = b0 + b1x1 + + bkxk + d12 + d13 +error 來進(jìn)行檢驗(yàn)H0: d1 = 0, d2 = 0 根據(jù) FF2,n-k-3 或者 LM2219虛擬變量虛擬變量就是取 1

4、 或者 0 的變量例：male (= 1 若為男性, 0 其它情況), south (= 1 若在南方, 0 其它情況), 等.虛擬變量也叫二元變量20一個獨(dú)立的虛擬變量考慮一個包括一個連續(xù)變量(x)和一個虛擬變量(d)的模型y = b0 + d0d + b1x + u這可以解釋成截距項(xiàng)的變化若 d = 0, 那么 y = b0 + b1x + u若 d = 1, 那么 y = (b0 + d0) + b1x + ud = 0 的樣本是參照組21d0 0 的例子xyd0b0y = (b0 + d0) + b1xy = b0 + b1xslope = b1d = 0d = 122其它變量與虛擬變

5、量的交叉項(xiàng)也可以考慮虛擬變量 d 和連續(xù)變量 x 之間的交叉項(xiàng) y = b0 + d1d + b1x + d2d*x + u若 d = 0, 那么 y = b0 + b1x + u若 d = 1, 那么 y = (b0 + d1) + (b1+ d2) x + u這里的兩種情況可以看成是斜率的變化23yxy = b0 + b1xy = (b0 + d0) + (b1 + d1) xd0 0 且 d1 0的例子d = 1d = 024檢驗(yàn)不同組之間的差異為了檢驗(yàn)一個回歸方程對不同的組是否應(yīng)該取不同的參數(shù)，我們可以檢驗(yàn)表示組的虛擬變量及其和所有其他x變量的交叉項(xiàng)的顯著性因此可以估計(jì)有所有交叉項(xiàng)和沒

6、有交叉項(xiàng)兩種情況下的模型，然后構(gòu)造F 統(tǒng)計(jì)量, 但這種方法不容易把握25Chow 檢驗(yàn)也可以僅僅做沒有交叉項(xiàng)的回歸來構(gòu)造適當(dāng)?shù)腇統(tǒng)計(jì)量如果我們對第一組樣本做沒有交叉項(xiàng)的回歸，得到SSR1, 然后再對第二組樣本做同樣的回歸，得到 SSR2再同樣對所有樣本做沒有交叉項(xiàng)的回歸，得到 SSR, 那么26什么是異方差前面的同方差的假設(shè)，隱含著擾動項(xiàng)u的方差條件于解釋變量是常數(shù)如果這個假設(shè)不成立，即對于x的不同的值u的方差不同，那么擾動項(xiàng)就是異方差例如： 估計(jì)教育的回報率時，能力是不可觀察的因素，因此可能的情況是能力的方差隨教育程度不同而不同27.x x1x2yf(y|x)異方差的例子x3.E(y|x)

7、= b0 + b1x28異方差有什么影響?OLS 估計(jì)在沒有同方差假設(shè)的情況下仍然是無偏和一致的但是在異方差的情況下標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)是有偏的如果標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)有偏我們就不能利用t 統(tǒng)計(jì)量或F 統(tǒng)計(jì)量或LM 統(tǒng)計(jì)量來做檢驗(yàn)推論29 穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)差只有在大樣本的情況下才適用， 在小樣本的情況下用穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)造出來的t 統(tǒng)計(jì)量的分布與t 分布相差較遠(yuǎn)，用來做檢驗(yàn)是不對的在 Stata 軟件中, 穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)差可以通過在回歸命令中加入“robust”得到30異方差檢驗(yàn)實(shí)際上我們需要檢驗(yàn) H0: Var(u|x1, x2, xk) = s2, 也就是H0: E(u2|x1, x2, xk) = E(

8、u2) = s2如果假設(shè)u2和xj之間是線性關(guān)系，我們可以把零假設(shè)當(dāng)成一個線性條件來檢驗(yàn) 因此對于 u2 = d0 + d1x1 + dk xk + v ；也就是檢驗(yàn) H0: d1 = d2 = = dk = 031Breusch-Pagan 檢驗(yàn)雖然我們觀察不到擾動項(xiàng)，但是我們可以用OLS回歸把殘差估計(jì)出來用得到的殘差的平方項(xiàng)對所有的x回歸之后，就可以用R2構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量或者LM統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行檢驗(yàn)其中F統(tǒng)計(jì)量就是軟件中報告出來的檢驗(yàn)整個回歸的顯著性的統(tǒng)計(jì)量, F = R2/k/(1 R2)/(n k 1), 該統(tǒng)計(jì)量呈Fk, n k - 1分布其中的LM統(tǒng)計(jì)量可由LM = nR2得到，該統(tǒng)計(jì)量服

9、從c2k分布32White 檢驗(yàn)Breusch-Pagan檢驗(yàn)?zāi)軝z驗(yàn)出任何線性形式的異方差而White檢驗(yàn)則能夠通過加入所有解釋變量的平方項(xiàng)和交叉項(xiàng)來檢驗(yàn)非線性形式的異方差檢驗(yàn)的方法仍然是利用F統(tǒng)計(jì)量和LM統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)xj, xj2和xjxh的聯(lián)合顯著性33White檢驗(yàn)的其它形式假設(shè)OLS回歸的擬合值是所有解釋變量x的方程因此2是解釋變量的平方項(xiàng)和交叉項(xiàng)的函數(shù)， 和2可以用作xj, xj2和xjxh的代理變量因此，用殘差項(xiàng)對和2做回歸，然后用回歸結(jié)果中的R2來構(gòu)造F或者LM統(tǒng)計(jì)量34加權(quán)的最小二乘法雖然我們能夠得到OLS估計(jì)的穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)差，但是如果我們知道其中異方差的具體形式，就能夠得到比O

10、LS更有效的估計(jì)基本的思想是將存在異方差的模型轉(zhuǎn)換成同方差的模型，這稱為加權(quán)的最小二乘法35WLS 小結(jié)對WLS使用F檢驗(yàn)時, 先從不受限制的模型得到權(quán)重，然后用這些權(quán)重分別對不受限制的模型和受限制的模型作WLS。WLS更有效，但OLS仍然是無偏和一致的。但WLS與OLS的估計(jì)由于抽樣誤差會不一樣，但如果兩者的差距很大，很有可能是假設(shè)MLR1-MLR5不成立。36代理變量如果模型設(shè)定的問題是由于某個重要的解釋變量沒有可用的數(shù)據(jù)，怎么辦？這種情況下，避免遺漏變量偏差的一個辦法是用代理變量代理變量必須是和不可觀察的變量相關(guān)的，如：x3* = d0 + d3x3 + v3, 其中“*”表不可觀察 現(xiàn)

11、在假設(shè)我們就用x3代替x3*37滯后變量如果存在遺漏變量又找不到合適的代理變量，怎么辦？如果遺漏變量對從前的和現(xiàn)在的y都有影響，那么可能的解決辦法是加入一個滯后的被解釋變量，來表示遺漏變量的影響。當(dāng)然，采用這種辦法的前提是你認(rèn)為過去的y和現(xiàn)在的y是有關(guān)系的。38被解釋變量的測量誤差定義測量誤差為：e0 = y y*因此實(shí)際估計(jì)的方程為： y = b0 + b1x1 + + bkxk + u + e0什么條件下OLS會得到無偏的估計(jì)結(jié)果？當(dāng)e0與xj, u不相關(guān)時估計(jì)結(jié)果是無偏的當(dāng)E(e0) 0時，常數(shù)項(xiàng)b0的估計(jì)是有偏的雖然在以上條件下，估計(jì)是無偏的，但是估計(jì)的結(jié)果的方差比沒有測量誤差時要大3

12、9解釋變量的測量誤差定義測量誤差為： e1 = x1 x1*假設(shè) E(e1) = 0 , E(y| x1*, x1) = E(y| x1*)實(shí)際估計(jì)的方程為： y = b0 + b1x1 + (u b1e1)測量誤差對估計(jì)結(jié)果的影響決定于我們所做的e1與x1的相關(guān)性假設(shè) Cov(x1, e1) = 0OLS 的估計(jì)結(jié)果仍然是無偏的，但方差變大40解釋變量的測量誤差（續(xù)）假設(shè)Cov(x1*, e1) = 0 ，即所謂的經(jīng)典的測量誤差假設(shè)，那么Cov(x1, e1) = E(x1e1) = E(x1*e1) + E(e12) = 0 + se2X1 與測量誤差相關(guān)，因此估計(jì)是有偏的41解釋變量的測

13、量誤差（續(xù)）注意到估計(jì)的偏差是多乘了一個Var(x1*)/Var(x1)因?yàn)閂ar(x1*)/Var(x1) 1, 估計(jì)的偏差的方向?yàn)橼呌诹愕姆较?，該偏差稱為減弱偏差多元回歸的情況會更加復(fù)雜，但大致的結(jié)果仍然是經(jīng)典的度量誤差導(dǎo)致減弱偏差42時間序列與橫截面時間序列數(shù)據(jù)有一個時間上的順序，而橫截面數(shù)據(jù)則沒有由于我們面對不再是個人的隨機(jī)樣本，我們須要對原有假設(shè)做出一些更改我們的數(shù)據(jù)變成了一個隨機(jī)過程的一個實(shí)現(xiàn)值43無偏性所需的假設(shè)仍然假設(shè)一個線性（對參數(shù)）模型： yt = b0 + b1xt1 + . . .+ bkxtk + ut 仍然假設(shè)條件均值為零： E(ut|X) = 0, t = 1,

14、2, , n注，這隱含著任何一期的擾動項(xiàng)與所有期的解釋變量都不相關(guān)44無偏性所需的假設(shè)（續(xù)）條件均值為零的假設(shè)隱含著所有的解釋變量x都是外生的（嚴(yán)格外生）一個與橫截面中情形更一致的假設(shè)是E(ut|xt) = 0這個假設(shè)說明所有解釋變量在當(dāng)期都是外生變量（同期外生）同期外生性只有在大樣本的情況下才足于保證模型一致。小樣本的無偏性需要嚴(yán)格外生的假設(shè)45無偏性所需的假設(shè)（續(xù)）還需要假設(shè)沒有x可以為常數(shù)，且不存在完全的線性相關(guān)注意，我們沒有假設(shè)樣本是隨機(jī)抽取的隨機(jī)抽樣的主要結(jié)果是每一個ui都是獨(dú)立的前面的嚴(yán)格外生的假設(shè)包含了每一個ui都是獨(dú)立的46OLS 的無偏性根據(jù)以上三個假設(shè)條件，在使用時間序列數(shù)

15、據(jù)時， OLS估計(jì)是無偏的因此正如在橫截面數(shù)據(jù)中一樣，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下OLS估計(jì)是無偏的遺漏變量偏差可以用與橫截面相同的方法來進(jìn)行分析47OLS估計(jì)的方差正如橫截面的情況中，計(jì)算方差需要同方差的假設(shè)我們假設(shè)Var(ut|X) = Var(ut) = s2從而擾動項(xiàng)的方差獨(dú)立于所有的解釋變量x , 且方差為常數(shù)隨時間不變我們還需要無自相關(guān)的假設(shè)： Corr(ut,us| X)=0 對于 t s48OLS估計(jì)的方差（續(xù)）在以上5個假設(shè)條件下，OLS回歸的方差在時間序列與在橫截面數(shù)據(jù)的情況中是相同的。此外對方差s2的估計(jì)也是相同的OLS 估計(jì)仍然是最優(yōu)線性無偏估計(jì)（ BLUE ）如果再加上擾動項(xiàng)的

16、正態(tài)分布的假設(shè)，檢驗(yàn)的方法也是相同49時間序列的趨勢經(jīng)濟(jì)中的時間序列常有一個趨勢當(dāng)兩個序列同時都有相同的趨勢時，我們不能認(rèn)為兩者之間的關(guān)系就是因果關(guān)系 常有的情況是兩個序列的趨勢是由其它不可觀察的因素引起的 雖然那些因素是不可觀察的，我們應(yīng)通過直接控制趨勢的辦法來控制這些因素50時間序列的趨勢（續(xù)）一種可能性是一個線性的趨勢，可以用模型表示為：yt = a0 + a1t + et, t = 1, 2, 還可能是指數(shù)型的趨勢，可以用模型表示為：log(yt) = a0 + a1t + et, t = 1, 2, 或者是二次型，可以表示為：yt = a0 + a1t + a2t2 + et, t

17、= 1, 2, 51剔除趨勢在回歸方程中加入一個線性的趨勢項(xiàng)就相當(dāng)于用去除了趨勢的數(shù)據(jù)做回歸去除序列的趨勢可以用模型中的每一個變量對t做回歸回歸的殘差就是去除趨勢后的序列簡單的說，就是趨勢在偏回歸中被剔除掉了52季節(jié)性因素時間序列的數(shù)據(jù)常表現(xiàn)出一些周期性，稱為季節(jié)性例如：零售業(yè)的季度數(shù)據(jù)往往會在第四季度跳高可以通過加入季節(jié)的虛擬變量來處理季節(jié)性因素的影響如前處理趨勢一樣，我們可以先剔除數(shù)據(jù)中的季節(jié)性因素后在進(jìn)行回歸53平穩(wěn)的隨機(jī)過程如果對所有的時間指標(biāo)1 t1 157一個AR(1)(一階自回歸)過程一個一階自回歸過程可以表示為yt = ryt-1 + et , t = 1, 2, ，其中et為

18、獨(dú)立同分布序列，且其均值為0方差為se2若該過程為弱相關(guān)過程，則一定有|r| 1 Corr(yt ,yt+h) = Cov(yt ,yt+h)/(sysy) = r1h 當(dāng)h增大時逐漸減小58一致性所需要的假設(shè)參數(shù)是線性的和數(shù)據(jù)是弱相關(guān)一個較弱的條件均值為零的假設(shè)：E(ut|xt) = 0, 對任意 t。比較: E(ut|X) = 0沒有完全線性相關(guān)因此，得到一致性所需要的外生性假設(shè)要弱于得到無偏性所需的相應(yīng)假設(shè)59大樣本下的檢驗(yàn)較弱的同方差假設(shè)：Var (ut|xt) = s2, 對所有 t。比較：Var(ut|X) = Var(ut) = s2 較弱的序列不相關(guān)的假設(shè)：E(utus| xt

19、, xs) = 0 , t s。比較：Corr(ut,us| X)=0, t s在以上假設(shè)的基礎(chǔ)上，我們就可以得到漸進(jìn)正態(tài)分布和通常標(biāo)準(zhǔn)差，以及正確的t ，F(xiàn)和LM統(tǒng)計(jì)量60高度持久的時間序列高度持久的時間序列也叫強(qiáng)相關(guān)時間序列與弱相關(guān)時間序列相對應(yīng)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上，想知道一個時間序列是不是強(qiáng)相關(guān)，例如：想知道一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)政策是否會有持久的影響61高度持久序列的變換為了用高度持久的時間序列數(shù)據(jù)來進(jìn)行有意義的估計(jì)和正確的檢驗(yàn)，我們必須首先把它轉(zhuǎn)換成一個弱相關(guān)的隨機(jī)過程我們稱一個弱相關(guān)的過程為零階積整 “integrated of order zero”, I(0)一個隨機(jī)游走的隨機(jī)過程為一階積整“inte

20、grated of order one”, I(1), 意思是對其做一階差分可得到 I(0)62高度持久序列的變換（續(xù)）yt = yt-1 + etyt = yt - yt-1 = et如果et是iid, yt也是iid如果et是弱相關(guān), yt也是弱相關(guān)63序列相關(guān)與異方差序列相關(guān)(自相關(guān))：協(xié)方差不為0異方差：方差不為常數(shù)64序列相關(guān)（自相關(guān)）的影響仍然是無偏和一致的不再是最有效的但標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)是有偏的不能利用t 統(tǒng)計(jì)量或F 統(tǒng)計(jì)量或LM 統(tǒng)計(jì)量來做檢驗(yàn)推論65對一階自回歸 AR(1)中序列相關(guān)的檢驗(yàn)我們希望能夠檢驗(yàn)擾動項(xiàng)是否序列相關(guān)即希望檢驗(yàn)以下零假設(shè)：ut = rut-1 + et 中

21、r = 0 ，其中 t =2, n, ut 為模型的擾動項(xiàng)， et 服從 iid 對于嚴(yán)格外生的解釋變量這個檢驗(yàn)很簡單：只要用殘差項(xiàng)對其滯后項(xiàng)做回歸，再用t檢驗(yàn)即可66對一階自回歸 AR(1)中序列相關(guān)的檢驗(yàn)（續(xù)）此外，我們可以用Durbin-Watson (DW) 統(tǒng)計(jì)量，該統(tǒng)計(jì)量在很多軟件中都可以計(jì)算DW統(tǒng)計(jì)量如果DW統(tǒng)計(jì)量約等于2，那么我們可以拒絕序列相關(guān)的假設(shè)，但如果其顯著小于2，我們就不能拒絕序列相關(guān)的假設(shè)67對一階自回歸 AR(1)中序列相關(guān)的檢驗(yàn)（續(xù)）DW是小樣本檢驗(yàn)，即DW分布的形式為已知臨界值與自變量的大小、樣本的大小、自變量的數(shù)目有關(guān)，較難計(jì)算，因此不如t檢驗(yàn)簡單易行DW統(tǒng)

22、計(jì)量兩個臨界值(DL,DU)，三個區(qū)域 拒絕DL不能確定 DU不能拒絕68檢驗(yàn)高階的序列相關(guān)我們可以用與一階自回歸AR(1)中相同的辦法來檢驗(yàn)q階自回歸過程AR(q)中的序列相關(guān)假設(shè)我們只要對殘差的q階滯后項(xiàng)做回歸，然后檢驗(yàn)其聯(lián)合顯著性即可可以用F檢驗(yàn)或者LM檢驗(yàn)。其中LM檢驗(yàn)也叫做Breusch-Godfrey檢驗(yàn)，只要用殘差回歸中的R2計(jì)算(n-q)R2即可還可以檢驗(yàn)季節(jié)性形式69對序列相關(guān)的糾正我們從嚴(yán)格外生的解釋變量的假設(shè)開始，采用除無序列相關(guān)以外的所有假設(shè)假設(shè)擾動項(xiàng)服從一階自回歸AR(1)過程，ut = rut-1 + et, t =2, nVar(ut) = s2e/(1-r2)我

23、們須要將方程進(jìn)行變換以使擾動項(xiàng)沒有序列相關(guān)70對序列相關(guān)的糾正（續(xù)）yt r yt-1 = (1 r)b0 + b1(xt r xt-1) + et , 其中 et = ut r ut-1 這個部分差分得到的模型中就不存在序列相關(guān)的問題可行的廣義最小二乘（GLS）71異方差后果同截面數(shù)據(jù)在時間序列模型中，序列相關(guān)更重要檢驗(yàn)同截面數(shù)據(jù)但要先檢驗(yàn)有無序列相關(guān)，只有在無序列相關(guān)時才適用u2t = d0 + d1xt1 + dk xtk + vt， vt必須是恒方差和無序列相關(guān)72為什么要用工具變量采用工具變量(IV)估計(jì)法是由于模型中存在內(nèi)生的解釋變量也就是說存在：Cov(x,u) 0 因此，工具變

24、量可以用來處理遺漏變量偏差的問題此外，工具變量還可以用來處理經(jīng)典的度量誤差的問題73什么是工具變量做為一個正確的工具變量，其必須滿足以下條件工具變量必須是外生的也就是說, Cov(z,u) = 0同時，工具變量必須和內(nèi)生變量x相關(guān)即, Cov(z,x) 074關(guān)于正確的工具變量的其它問題我們必須根據(jù)常識和經(jīng)濟(jì)理論來判斷假設(shè),Cov(z,u) = 0,是否合理我們能夠檢驗(yàn)Cov(z,x) 0是否成立方法是檢驗(yàn)H0: 在x = p0 + p1z + v中p1 = 0 我們常把以上回歸稱作第一階段回歸75簡單回歸中的工具變量估計(jì)法由 y = b0 + b1x + u, 和我們的假設(shè)條件有Cov(z,

25、y) = b1Cov(z,x) + Cov(z,u), 所以b1 = Cov(z,y) / Cov(z,x)那么使用工具變量法，b1的估計(jì)值為：76工具變量法中的假設(shè)檢驗(yàn)這里同方差假設(shè)應(yīng)該是：E(u2|z) = s2 = Var(u)如同在最小二乘法（OLS）的情況中一樣，根據(jù)漸進(jìn)方差，我們可以估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差:77工具變量與最小二乘法工具變量估計(jì)法中的標(biāo)準(zhǔn)差與最小二乘法中標(biāo)準(zhǔn)差的不同之處在于用x對z回歸的R2 因?yàn)镽2 1 ，所以工具變量估計(jì)法中的系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差更大然而，在Cov(x,u) 0的情況中，工具變量法的估計(jì)是一致的，但最小二乘法的估計(jì)是不一致的 z和x之間的相關(guān)性越強(qiáng)，工具變量法估計(jì)的系

26、數(shù)方差就越小78多元回歸中的工具變量法工具變量法也可以用到多元回歸中去假設(shè)我們對估計(jì)結(jié)構(gòu)式模型感興趣我們面對的問題是一個或幾個變量是內(nèi)生的我們需要給每一個內(nèi)生變量找一個工具變量79兩階段最小二乘法（ 2SLS ）模型： y1 = b0 + b1y2 + b2z1 + u1 ，其中y2 y2 = p0 + p1z1 + p2z2 + v2, 其中 p2 0假設(shè)了z2和z3都是正確的工具變量，它們不在結(jié)構(gòu)式模型中且與結(jié)構(gòu)式模型中的擾動項(xiàng)u1不相關(guān)我們可以用y2對z1, z2和z3進(jìn)行回歸來估計(jì)y2* ，該回歸被稱為第一階段回歸如果我們用2替代結(jié)構(gòu)式模型中的y2 ，得到的系數(shù)的估計(jì)與工具變量法相同8

27、0內(nèi)生性檢驗(yàn)如果y2是內(nèi)生的，那么v2 （簡化模型(reduced form)中的）和結(jié)構(gòu)模型中的u1就會是相關(guān)的根據(jù)這一點(diǎn)就可以檢驗(yàn)內(nèi)生性81內(nèi)生性檢驗(yàn)（續(xù)）保存第一階段回歸的殘差將以上殘差加入到結(jié)構(gòu)式方程中去（結(jié)構(gòu)式方程中當(dāng)然包括y2 ）如果回歸發(fā)現(xiàn)殘差的系數(shù)顯著的不等于零，那么就拒絕外生性的零假設(shè)如果有幾個可能存在內(nèi)生性的變量，就需要檢驗(yàn)幾個相應(yīng)一階段殘差在結(jié)構(gòu)式中的聯(lián)合顯著性82聯(lián)立方程模型模型聯(lián)立性（ Simultaneity ），它是由于解釋變量和被解釋變量同時決定導(dǎo)致的如同其它類型的內(nèi)生性問題一樣，聯(lián)立性導(dǎo)致的內(nèi)生性問題也可以用工具變量法來解決y1 = a1y2 + b1z1 +

28、 u1y2 = a2y1 + b2z2 + u283勞動需求方程的識別whDS (z=z1)S (z=z2)S (z=z3)84一般聯(lián)立方程模型(The General SEM)假設(shè)我們想估計(jì)結(jié)構(gòu)式方程：y1 = a1y2 + b1z1 + u1 其中: y2 = a2y1 + b2z2 + u2則進(jìn)一步有y2 = a2(a1y2 + b1z1 + u1) + b2z2 + u2因此：(1 a2a1)y2 = a2 b1z1 + b2z2 + a2 u1 + u2, 該方程可以改寫為： y2 = p1z1 + p2z2 + v285一般聯(lián)立方程模型（續(xù)）把以上y2的簡化式方程代入y1的結(jié)構(gòu)式方程，我們可以看出y2是u1的線性方程， 即y2與擾動項(xiàng)相關(guān)，這就導(dǎo)致a1的估計(jì)有偏，我們稱其為聯(lián)立偏差聯(lián)立偏差的方向比較復(fù)雜，但是我們可以從簡單回歸中總結(jié)出一些經(jīng)驗(yàn)在簡單回歸中，偏差的符號和a2/(1 a2a1)相同86一般聯(lián)立方程模型的識別假設(shè)z1是第一個方程中所有的外生變量， z2是第二個方程中的所有外生變量z1和z2中可以存在相同的變量要識別方