線性代數(shù)二次型試題

1、齊一次線性函數(shù)第六章 二次型一、基本概念n個(gè)變量的二次型是它們的二次齊次多項(xiàng)式函數(shù)，一般形式為22 .,f(x 1 ,X2,xi)= aiixi +2ai2X1X2+2ai3X1X3+ +2ainX1Xn+ a22X2 +2a23X1X3+2+2ainX1Xn+ +anXnn2=a/i 12 aj x Xj .它可以用矩陣乘積的形式寫(xiě)出：構(gòu)造對(duì)稱(chēng)矩陣Aanai2f(Xi,X2, Xn)n naj Xi Xji 1 j 1(Xi,X2, Xn)a2ia22anian2ainXia2nX2annXn記 X Xi, X2， X T ,則 f(X1,X2，x)= X TAX稱(chēng)對(duì)稱(chēng)陣A為二次型f的矩陣，

2、稱(chēng)對(duì)稱(chēng)陣A的秩為二次型f的秩.注意：一個(gè)二次型f的矩陣A必須是對(duì)稱(chēng)矩陣且滿足 f XT AX,此時(shí)二次型的矩陣是唯一的， 即二次型f和它的矩陣A (A為對(duì)稱(chēng)陣)是一一對(duì)應(yīng)的，因此,XiC11 y1012 y2CinynX2C21 yiC22 y2C2n ynxnCni y1Cn2y2Cnn yn代入f(xi,x2,x)得到y(tǒng)i,y2,y的二次型g(yi,y2,y).把上述過(guò)程稱(chēng)為對(duì)二次型f(X 1,X2,刈作了線性變量替換，如果其中的系數(shù)矩陣011 C12 cinC= C21 C22 C2n0,稱(chēng)二次型 f（x 1 ,x2, ,Xi） 稱(chēng)為正定二次型如果實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A所決定的二次型正定，則稱(chēng)A

3、為正定矩陣，于是A為正定矩 陣也就是滿足性質(zhì)：當(dāng)X 0時(shí),一定有XTAX0,且A 一定是是對(duì)稱(chēng)矩陣。二次型的正定性是在可逆線性變量替換中保持不變的.即實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正定性在合同變換時(shí)保持不變.（2）性質(zhì)與判斷實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A正定 合同于單位矩陣.即存在可逆矩陣 Q使QtAQ E ,或者存在可逆矩陣P ,使得PT EP A對(duì)任意可逆矩陣C, CT AC正定（即合同的矩陣，有相同的正定性）。A的正慣性指數(shù)等于其階數(shù)n.A的特征值都是正數(shù).A的順序主子式全大于 0.順序主子式：一個(gè)n階矩陣有n個(gè)順序主子式，第r個(gè)（或稱(chēng)r階）順序主子式即A的左上角的r階矩陣Ar的行列式| Ar|.判斷正定性的常用方法：順

4、序主子式法，特征值法，定義法.A 0 A不可逆r（ A） nAx=0有非零解0是A的特征值A(chǔ)的列（行）向量組線性相關(guān)A是n階可逆矩陣：|A 0 (是非奇異矩陣)；r(A) n (是滿秩矩陣)A的行(列)向量組線性無(wú)關(guān)；齊次方程組Ax 0只有零解；b Rn , Ax b總有唯一解；A與E等價(jià)；A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；A的特征值全不為 0;AT A是正定矩陣；B可由al, 2，如惟一線性表小P=Xiai + X2 o2+ +Xn 加Ax= 3有惟一解 X=(X1,X2,- - ,Xn)T,A=( 1, 22, , an)r(A)=r(AM 3)=n|A|w 0Ax=0只有零解=不是A的特征

5、值A(chǔ)B =0A(bi,b2,bs)=0, B=( bi, b2,bs)Abj=0, j=1,2，,sbi,b2,bs均為 Ax=0 的解(r(A)+r(B) X3 yi2X3 y2，!y3x Cy ,標(biāo)準(zhǔn)型：fX22 yi正慣性指數(shù)：p 2,負(fù)慣性指數(shù)：q i ,規(guī)范性:(3) f(X i,X2,X3)= -2XiX2+2XiX3+2X2X3.解：像這種不含平方項(xiàng)的二次型，應(yīng)先做線性變換:2,負(fù)慣性指數(shù)：q iX32y2X22X35X35y222ZiZ22Z3C2Z222Z2 2Z3,規(guī)范性：f2 yi2Zi2Z2222y32 y22 y32Z3f(Xi,X2,X3)=X TAX=aXi,2X

6、22-2X32+2bXiX3,(b0),其中 A 的特征值之和為1,特征值之積為解：二次型的矩陣:4a2b2(2)-i2.(i)求a,b.(2)用正交變換化f(xi,x2,X3)為標(biāo)準(zhǔn)型。i20,i,0 T2 i,2,0,i因?yàn)樗鼈円呀?jīng)兩兩正交，所以只需要單位化。2, 33i,0, 2TT0,i0Q iAQ QtAQi,0,2 iyi22 y223 y33.已知二次型 f(X i,X2,X3)=(i-a)Xi2+(i-a)X22+2X32+2(i+a)XiX2 的秩為 2.(i)求a.(2)求作正交變換 X=QY,把f(Xi,X2,X3)化為標(biāo)準(zhǔn)形.(3)求方程 f(Xi,X2,X3)=0 的

7、解.解：本題綜合考查了特征值、特征向量、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型以及方程組求解等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，特別是第三部分比較新穎。二次型的矩陣A為：AA0 得 a=0A a 012-aX-d01 10由于|花_金卜0 A-a 10X-d1=口詢0 A-a1-11Z -fl + 1-11/L -1-I 12 - Q +11 1 0這里 die，可求出其特征值為122, 301100 0 2解(2E A)x 0 ,得特征向量為:11,1,0 , 20,0,1（21一1）4+J2 = （A4）（玄+2）（4口 一 1）一解(0E A)x 0,得特征向量為：31, 1,0所以的拉陣所有川價(jià)汗值為=仃.勺=5-2： % =

8、口 + 1,由于1, 23已經(jīng)正交，直接將 1, 2,3單位化，得:1.21,1,0 , 20,0,1 , 3.21,1,0令Q 123 ,即為所求的正交變換矩陣，由 x=Qy ,可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：f(x1,x2,x3)=2y12 2y2.（III）由 f （x1，x2,x3） = 2y2 2y2 0,得 y10,y2 0, y3k （k為任意常數(shù)）0從而所求解為：x=Qy= 12 3 0 k 312 33kcc ,其中c為任意常數(shù)。0224.設(shè)二次型 f x1, x2, x3ax1 ax22a 1 X32x1X32x2X3(I )求二次型 f的矩陣的所有特征值；(n)若二次型 f的規(guī)范形

9、為y2 y|,求a的值。所以4 n$一2 = 0.即4 =2, 22n) 若規(guī)范形為yi y2,說(shuō)明有兩個(gè)特征值為正，一個(gè)為0。則若1a0,則 220,31,不符題意若2 0 ,即a 2,則12 0,3 3 0,符合若3 0 ,即a 1 ,則i 1 0,23 0,不符題意綜上所述，故a 25.已知向量(1, 1, 0),是二次型f(X1 ,X2,X3) xTAx ax2 X2 2x1X2 2x1x3 2bx2X3 的矩陣 A 的特征向量，求正交變 換化該二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。a 1 1解：A 10b,又因?yàn)?(1,1, 0),是人的特征向量，1 b 1設(shè)所對(duì)應(yīng)的特征值為，有A HYPERLINK l

10、 bookmark105 o Current Document a 1 11 HYPERLINK l bookmark111 o Current Document 即 10b1 HYPERLINK l bookmark113 o Current Document 1 b 101 1 11 b 11 b 11= 1 3 12111A b3103b1bb 1 ,11101 b 0征值自二1的特征向量為為二(L-L15 :特征值人二。的恃證向量為烏=(L6T),計(jì)算A的特征多項(xiàng)式| E(1)( 2 3),則A的特征值為11,2 痣,3 V3 ,其基礎(chǔ)解系為(1, 1, 1V3)t(1, 1, 1 V

11、3)T。因?yàn)椤⒁呀?jīng)正交，所以只需要把它們單位化。Trm,n1、2120,6 2 3, 6 2 311則P為正交矩陣，作正交變換 x py,得二擰征值4=4的特征向量為% = (L2.1.用/。人心曰口以F一 口中詼甘 因?yàn)?個(gè)向量已經(jīng)正父，只需要將其單位化q ( 11 丫 %11 1 Y f 1 2 1 Y用一同一后此一同T耳,萬(wàn)包必同I后而旬三、關(guān)于正定的判斷9_99. 、一.判斷3兀二次型f x1 5x2 x3 4x1 x2 4x2x3的正定性-120一，、 一一 一、，解：，用順序主子式判斷大于 0,所以是正定的。A 252021.當(dāng) 時(shí)，實(shí)二次型f(x1,x2,x3)x12x；5x22

12、txix22x1x34x2x3 是正定的.xTAx (py)T A(py)yT(pTAp)y = y； y；，3y2。6.-1 t 1解：A t 121 2 51 t2 0,所以 |t | 1比力懵圓坤面方程+4工=4.束上的值和1如陣R解:1 b能降d二b a1 1r 01與八01J |_00 01 0和帆0 4.所以，一_ 2一4t 5t20, 5t4t 0,0時(shí)，二次型是正定的3.設(shè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A特征值分別為1,2,，n,則當(dāng)t 時(shí)，tEA是正定的 -24,設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，滿足 A2A 0 ,并且 r(A)=2.3X3)2(x1 3x2aX3)2=1 i 1)fin 0.1 fl

13、A-i01解：tE A的特征值為t 1,t 2, ,t n,若tE A是正定的，則t 1 0,t 2 0, ,t n 0(1)求A的特征值.(2)當(dāng)實(shí)數(shù)k滿足什么條件時(shí)kA E正定？2解：A 2A 0AA 200,2因?yàn)閞A2,所以特征值為0,-2, -21kA E 的特征值為 1,1-2k,1 2k 0 k -2f(xX2,X3)(X1 ax2 2X3)2 (2x2已知上述二次型正定，則 a的取值為解：f(XX2,X3)，當(dāng)X1,X2,X3不全為0時(shí)，二次型正定。x1 ax2 2x3 0, 2x2 3x3 0, x1 3x2 ax3 0若X1,X2,X3同時(shí)全為0,即齊次線性方程組只有0解，

14、此時(shí)|a 0,a 1即a 1時(shí)，三個(gè)平方項(xiàng)不全為 0,二次型正定。 2#222八.兀|訃冉勺)+1n+叫/+ 1十口7+q7工*(/+小巧)T其中aU = L工為實(shí)數(shù)，成何：當(dāng)外.明,.國(guó)斌I/何臂氓作眄,二次壁門(mén)一為正一忑 次型,X +ax, =0 解：由已知可得，對(duì)于任意的X1, X2Xn ,有x2 + 口g=0. ,f X1,X2Xn 0,其中等號(hào)僅當(dāng)以下等式同時(shí)為0時(shí)成立， TOC o 1-5 h z +% F=Q.此方程組僅有0解的充要條件是其系數(shù)行列式不為0,/+Vi=1a:001牝000/。0所以.i 1 + 1-1尸口:小% h 0時(shí).對(duì)任意的不全為零的演、毛，J丁有 HYPE

15、RLINK l bookmark142 o Current Document f X1,X2Xn07,已知A是n階可逆矩陣，證明 ATA是對(duì)稱(chēng)、正定矩陣。 T T tT一,證明： ATAAtA,所以ATA是對(duì)稱(chēng)矩陣。若ATA正定，則AtA=AtEA,所以ATA與E合同合同矩陣有相同的正負(fù)慣性指數(shù)，所以AT A是正定矩陣。(2)因?yàn)锳是可逆矩陣，所以 A 0, Ax 0,當(dāng)A 0時(shí)，只有0解。所以 Ax 0 x 0, xT AT A x Ax T Ax Ax Ax 0所以ATA正定。8.設(shè)A為m階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣且正定， B為m n實(shí)矩陣，BT為B的轉(zhuǎn)置矩陣，試證：BT AB為正定矩陣的充分必要條件是

16、 r B n。證明：必要性，設(shè) BTAB為正定矩陣，對(duì)任意的實(shí) n維列向量x 0, xTBTABx 0 BxtABx 0 Bx 0 ,即 Bx 0 只有 0 解，r B n 充分性，BtABT BtAtB BtAB, BT AB為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，rB n ,所以Bx 。只有。解，對(duì)任意x 0, Bx 0,又因?yàn)锳為正對(duì)稱(chēng)矩陣，所以Bx 0, Bx T A Bx 0 , Bx T A Bx xT BT AB x 0, x 0 ,所以BAB為正定矩陣。9.設(shè)A為m n實(shí)矩陣，E為n階單位矩陣，已知矩陣 B E AA, 試證：當(dāng) 0時(shí)，矩陣B為正定矩陣。證明：Bt ( E AtA)t E AtA B ,

17、所以A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)于任意的實(shí)n維向量x, xT Bx xT E AT A x xTx xT AT AxXTX Ax T Ax ,當(dāng) X 0時(shí)，XTX 0 , Ax T Ax 0 ,當(dāng) 0時(shí)，任意的 x 0,有 xBx xTx Ax T Ax 0 , 所以B為正定矩陣。矩陣的合同、相似、等價(jià)都有自反性，對(duì)稱(chēng)性，傳遞性。矩陣A與B等價(jià)記作：A%BA經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為 B ,即A與B是同型矩陣r(A) r(B) 存在可逆矩陣P與Q,使得A PBQA與B合同，記為A0B存在n階可逆陣P使得PTAP B ,即A與B都是方陣xAx與xTBx的正、負(fù)慣性指數(shù)相等. r(A) r(B)合同的矩陣一定

18、等價(jià)，但等價(jià)的矩陣不一定合同矩陣A與B相似，記作AsB,存在n階可逆矩陣P使PAP B,即A與B都是方陣 r(A) r(B)相似的矩陣一定等價(jià)，但等價(jià)的矩陣不一定相似。相似的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定合同，但合同的對(duì)稱(chēng)矩陣不一定相似。因?yàn)閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正(負(fù))慣性指數(shù)就是它的正(負(fù))特征值的個(gè)數(shù)，相似的矩陣 有相同的特征值，所以相似的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有相同的正，負(fù)慣性指數(shù)，所以相似的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定合同。對(duì)任意實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A都存在正交矩陣 P,使P AP PtAP ,即任意實(shí) 對(duì)稱(chēng)矩陣都和對(duì)角陣即相似又合同。若矩陣不是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，相似的矩陣不一定合同，合同的矩陣也不一定相似。相似的矩陣一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩陣不一定等價(jià)。特征值相同的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A和B一定相似，因?yàn)閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣都能相 似對(duì)角化，特征值相同的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似于同一個(gè)對(duì)角陣，根據(jù)相似的 傳遞性，A和B一定相似。特征值相同的普通矩陣 A和B可能相似，也可能不相似。若A和B都能相似對(duì)角化，一定相似。若一個(gè)能對(duì)角化，一個(gè)不能對(duì)角化，一定不相似。若都不能對(duì)角化，可能相似，也可能相似。例題：已知矩陣 A和B,判斷能否相似， TOC o 1-5 h z 2 6 112 1 HYPERLINK l