六年級奧數(shù)-第十一講.數(shù)論綜合(二).教師版[1]

1、PAGE |初一數(shù)學基礎(chǔ)-提高-精英學生版| 第1講 第頁第十一講 數(shù)論綜合（二）教學目標：掌握質(zhì)數(shù)合數(shù)、完全平方數(shù)、位值原理、進制問題的常見題型；重點理解和掌握余數(shù)部分的相關(guān)問題，理解“將不熟悉轉(zhuǎn)化成熟悉”的數(shù)學思想例題精講：板塊一 質(zhì)數(shù)合數(shù)有三張卡片，它們上面各寫著數(shù)字1，2，3，從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列出來，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請你將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來抽一張卡片，可寫出一位數(shù)1，2，3；抽兩張卡片，可寫出兩位數(shù)12，13，21，23，31，32；抽三張卡片，可寫出三位數(shù)123，132，213，231，312，321，其中三位數(shù)的數(shù)字和均為6，都能被3整除

2、，所以都是合數(shù)這些數(shù)中，是質(zhì)數(shù)的有：2，3，13，23，31三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個質(zhì)數(shù)設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是、，滿足，則可知、中必有一個為11，不妨記為，那么，整理得()()，又，對應(yīng)的、或、或、 (舍去)，所以這三個質(zhì)數(shù)可能是2，11，13或3，7，11用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到并且只能用一次，那么這9個數(shù)字最多能組成多少個質(zhì)數(shù)？要使質(zhì)數(shù)個數(shù)最多，我們盡量組成一位的質(zhì)數(shù)，有2、3、5、7均為一位質(zhì)數(shù)，這樣還剩下1、4、6、8、9這5個不是質(zhì)數(shù)的數(shù)字未用有1、4、8、9可以組成質(zhì)數(shù)41、89，而6可以與7組合成質(zhì)數(shù)67所以這

3、9個數(shù)字最多可以組成6個質(zhì)數(shù)有兩個整數(shù)，它們的和恰好是兩個數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個數(shù)字相同的三位數(shù)求這兩個整數(shù)分別是多少？兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個，它們中的每個數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)相加的形式，例如，共有16種形式，如果把每個數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個數(shù)的乘積是三個數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了可以從乘積入手，因為三個數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每個數(shù)都是111的倍數(shù)，而，因此把這九個數(shù)表示成一個兩位數(shù)與一個一位數(shù)或兩個兩位數(shù)相乘時，必有一個因數(shù)是37或

4、37的倍數(shù)，但只能是37的2倍(想想為什么？)3倍就不是兩位數(shù)了把九個三位數(shù)分解：、把兩個因數(shù)相加，只有()和()的兩位數(shù)字相同所以滿足題意的答案是74和3，37和18板塊二 余數(shù)問題(年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)有兩個自然數(shù)相除，商是，余數(shù)是，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為，則被除數(shù)是多少？被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)被除數(shù)除數(shù)+17+13=2113，所以被除數(shù)除數(shù)=2083，由于被除數(shù)是除數(shù)的17倍還多13，則由“和倍問題”可得：除數(shù)=(2083-13)(17+1)=115，所以被除數(shù)=2083-115=1968已知2008被一些自然數(shù)去除，所得的余數(shù)都是10，那么這樣的自然數(shù)共有多少個？本題為一道

5、余數(shù)與約數(shù)個數(shù)計算公式的小綜合性題目由題意所求的自然數(shù)一定是2008-10即1998的約數(shù)，同時還要滿足大于10這個條件這樣題目就轉(zhuǎn)化為1998有多少個大于10的約數(shù)，共有(1+1)(3+1)(1+1)=16個約數(shù)，其中1，2，3，6，9是比10小的約數(shù)，所以符合題目條件的自然數(shù)共有11個有一個整數(shù)，除39，51，147所得的余數(shù)都是3，求這個數(shù)(法1) ，12的約數(shù)是，因為余數(shù)為3要小于除數(shù)，這個數(shù)是；(法2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)，所以這個數(shù)是(2005年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)有一個整數(shù)，用它去除70，110，1

6、60所得到的3個余數(shù)之和是50，那么這個整數(shù)是_，除數(shù)應(yīng)當是290的大于17小于70的約數(shù)，只可能是29和58，所以除數(shù)不是58，所以除數(shù)是 (2002年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)用自然數(shù)n去除63，91，129得到的三個余數(shù)之和為25，那么n=_ n能整除因為，所以n是258大于8的約數(shù)顯然，n不能大于63符合條件的只有43一個大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，則這個自然數(shù)是多少？這個自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除后所得的余數(shù)，所以254和220除以這個自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個自然數(shù)是的約數(shù)，又大于

7、10，這個自然數(shù)只能是17或者是34如果這個數(shù)是34，那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是22、28、16，不符合題目條件；如果這個數(shù)是17，那么他去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是5、11、16，符合題目條件，所以這個自然數(shù)是17甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393某數(shù)除甲數(shù)所得余數(shù)是除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，除乙數(shù)所得余數(shù)是除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍求等于多少？根據(jù)題意，這三個數(shù)除以都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來： 由于，要消去余數(shù)， ， ，我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減這樣我們先把第二個式子乘以2，使得被除數(shù)和余數(shù)都擴大2倍，同理，第三個式子乘以

8、4于是我們可以得到下面的式子： 這樣余數(shù)就處理成相同的最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被整除，51的約數(shù)有1、3、17、51，其中1、3顯然不滿足，檢驗17和51可知17滿足，所以等于17(2003年南京市少年數(shù)學智力冬令營試題) 與的和除以7的余數(shù)是_找規(guī)律用7除2，的余數(shù)分別是2，4，1，2，4，1，2，4，1，2的個數(shù)是3的倍數(shù)時，用7除的余數(shù)為1；2的個數(shù)是3的倍數(shù)多1時，用7除的余數(shù)為2；2的個數(shù)是3的倍數(shù)多2時，用7除的余數(shù)為4因為，所以除以7余4又兩個數(shù)的積除以7的余數(shù)，與兩個數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同而2003除以7余1，所以除以7余1故與的和除以7的余數(shù)是除以7的余數(shù)是多少？

9、除以7的余數(shù)為1，所以，其除以7的余數(shù)為：；2008除以7的余數(shù)為6，則除以7的余數(shù)等于除以7的余數(shù)，為1；所以除以7的余數(shù)為：(2009年走美初賽六年級)有一串數(shù)：1，1，2，3，5，8，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是前兩個數(shù)之和，在這串數(shù)的前2009個數(shù)中，有幾個是5的倍數(shù)？由于兩個數(shù)的和除以5的余數(shù)等于這兩個數(shù)除以5的余數(shù)之和再除以5的余數(shù)所以這串數(shù)除以5的余數(shù)分別為：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以發(fā)現(xiàn)這串余數(shù)中，每20個數(shù)為一個循環(huán)，且一個循環(huán)中，每5個數(shù)中第五個數(shù)是5的倍數(shù)由于，所以前2009個數(shù)中，有401個是5的

10、倍數(shù)【鞏固】著名的裴波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串數(shù)列當中第2008個數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？斐波那契數(shù)列的構(gòu)成規(guī)則是從第三個數(shù)起每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，由此可以根據(jù)余數(shù)定理將裴波那契數(shù)列轉(zhuǎn)換為被3除所得余數(shù)的數(shù)列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九項和第十項連續(xù)兩個是1，與第一項和第二項的值相同且位置連續(xù)，所以裴波那契數(shù)列被3除的余數(shù)每8個一個周期循環(huán)出現(xiàn)，由于2008除以8的余數(shù)為0，所以第2008項被3除所得的余數(shù)為第8項被3除所得的余數(shù)，為0(1997年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)將依次寫到第1997個數(shù)字，組成一個1997位數(shù)，那么

11、此數(shù)除以9的余數(shù)是 _本題第一步是要求出第1997個數(shù)字是什么，再對數(shù)字求和共有9個數(shù)字，共有90個兩位數(shù)，共有數(shù)字： (個)， 共900個三位數(shù)，共有數(shù)字： (個)，所以數(shù)連續(xù)寫，不會寫到999，從100開始是3位數(shù)，每三個數(shù)字表示一個數(shù)，即有602個三位數(shù)，第603個三位數(shù)只寫了它的百位和十位從100開始的第602個三位數(shù)是701，第603個三位數(shù)是9，其中2未寫出來因為連續(xù)9個自然數(shù)之和能被9整除，所以排列起來的9個自然數(shù)也能被9整除，702個數(shù)能分成的組數(shù)是： (組)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未寫出來，所以余數(shù)為有2個三位數(shù)相乘的積是一個五位數(shù)，積的后四位是1031，

12、第一個數(shù)各個位的數(shù)字之和是10，第二個數(shù)的各個位數(shù)字之和是8，求兩個三位數(shù)的和本題條件僅給出了兩個乘數(shù)的數(shù)字之和，同時發(fā)現(xiàn)乘積的一部分已經(jīng)給出，即乘積的一部分數(shù)字之和已經(jīng)給出，我們可以采用棄九法原理的倒推來構(gòu)造出原三位數(shù)因為這是一個一定正確的算式，所以一定可以滿足棄九法的條件，兩個三位數(shù)除以9的余數(shù)分別為1和8，所以等式一邊除以9的余數(shù)為8，那么1031除以9的余數(shù)也必須為8，只能是3將31031分解質(zhì)因數(shù)發(fā)現(xiàn)僅有一種情況可以滿足是兩個三位數(shù)的乘積，即所以兩個三位數(shù)是143和217，那么兩個三位數(shù)的和是360設(shè)的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，那么？由于一

13、個數(shù)除以9的余數(shù)與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以與、 除以9都同余，而2009除以9的余數(shù)為2，則除以9的余數(shù)與除以9的余數(shù)相同，而除以9的余數(shù)為1，所以除以9的余數(shù)為除以9的余數(shù)，即為5另一方面，由于，所以的位數(shù)不超過8036位，那么它的各位數(shù)字之和不超過，即；那么的各位數(shù)字之和，的各位數(shù)字之和，小于18且除以9的余數(shù)為5，那么為5或14，的各位數(shù)字之和為5，即板塊三 完全平方數(shù)從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？完全平方數(shù)，其所有質(zhì)因數(shù)必定成對出現(xiàn)而，所以滿足條件的數(shù)必為某個完全平方數(shù)的2倍，由于，所以、都滿足題意，即所求的滿足條件的數(shù)共有31個一個

14、數(shù)減去100是一個平方數(shù)，減去63也是一個平方數(shù)，問這個數(shù)是多少？設(shè)這個數(shù)減去為，減去為，則，可知，且，所以，這樣這個數(shù)為能否找到這么一個數(shù)，它加上24，和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？假設(shè)能找到，設(shè)這兩個完全平方數(shù)分別為、，那么這兩個完全平方數(shù)的差為，由于和的奇偶性質(zhì)相同，所以不是4的倍數(shù)，就是奇數(shù)，不可能是像54這樣是偶數(shù)但不是4的倍數(shù)所以不可能等于兩個平方數(shù)的差，那么題中所說的數(shù)是找不到的有5個連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為 考查平方數(shù)和立方數(shù)的知識點，同時涉及到數(shù)量較少的連續(xù)自然數(shù)問題，設(shè)未知數(shù)的時候有技巧：一般是設(shè)中間的數(shù)，

15、這樣前后的數(shù)關(guān)于中間的數(shù)是對稱的設(shè)中間數(shù)是x，則它們的和為， 中間三數(shù)的和為是平方數(shù)，設(shè)，則，是立方數(shù)，所以至少含有3和5的質(zhì)因數(shù)各2個， 即至少是225，中間的數(shù)至少是1125，那么這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為1123板塊四 位值原理(美國小學數(shù)學奧林匹克)把一個兩位數(shù)的十位與個位上的數(shù)字加以交換，得到一個新的兩位數(shù)如果原來的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45，試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？設(shè)原來的兩位數(shù)為，交換后的新的兩位數(shù)為，根據(jù)題意，原兩位數(shù)最大時，十位數(shù)字至多為9，即，原來的兩位數(shù)中最大的是94將一個四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來，得到一個新的四位數(shù)(這個數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù))，新數(shù)比原數(shù)

16、大8802求原來的四位數(shù)設(shè)原數(shù)為，則新數(shù)為，根據(jù)題意，有，推知，得到，原數(shù)為1099 (第五屆希望杯培訓試題)有3個不同的數(shù)字，用它們組成6個不同的三位數(shù)，如果這6個三位數(shù)的和是1554，那么這3個數(shù)字分別是多少？設(shè)這六個不同的三位數(shù)為，因為，它們的和是：，所以，由于這三個數(shù)字互不相同且均不為0，所以這三個數(shù)中較小的兩個數(shù)至少為1，2，而，所以最大的數(shù)最大為4；又，所以最大的數(shù)大于，所以最大的數(shù)為4，其他兩數(shù)分別是1，2(迎春杯決賽)有三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù)，這6個三位數(shù)的和是2886，求所有這樣的6個三位數(shù)中最小的三位數(shù)設(shè)三個數(shù)字分別為a、b、c，那么6個不同的三位數(shù)的和為： 所以，

17、最小的三位數(shù)的百位數(shù)應(yīng)為1，十位數(shù)應(yīng)盡可能地小，由于十位數(shù)與個位數(shù)之和一定，故個位數(shù)應(yīng)盡可能地大，最大為9，此時十位數(shù)為，所以所有這樣的6個三位數(shù)中最小的三位數(shù)為a，b，c分別是中不同的數(shù)碼，用a，b，c共可組成六個三位數(shù)，如果其中五個三位數(shù)之和是2234，那么另一個三位數(shù)是幾？由，組成的六個數(shù)的和是因為，所以若，則所求數(shù)為，但，不合題意若，則所求數(shù)為，但，不合題意若，則所求數(shù)為，符合題意若，則所求數(shù)為，但，不合題意若，則所求數(shù)，但所求數(shù)為三位數(shù)，不合題意所以，只有時符合題意，所求的三位數(shù)為652板塊五 進制問題在幾進制中有？利用尾數(shù)分析來解決這個問題：由于，由于式中為100，尾數(shù)為0，也就是

18、說已經(jīng)將12全部進到上一位所以說進位制為12的約數(shù)，也就是12，6，4，3，2中的一個但是式子中出現(xiàn)了4，所以要比4大，不可能是4，3，2進制另外，由于，因為，也就是說不到10就已經(jīng)進位，才能是100，于是知道，那么不能是12所以，只能是6算式是幾進制數(shù)的乘法？注意到尾數(shù)，在足夠大的進位制中有乘積的個位數(shù)字為，但是現(xiàn)在為4，說明進走，所以進位制為16的約數(shù)，可能為16、8、4或2因為原式中有數(shù)字5，所以不可能為4、2進位，而在十進制中有，所以在原式中不到10就有進位，即進位制小于10，于是原式為8進制在6進制中有三位數(shù)，化為9進制為，求這個三位數(shù)在十進制中為多少？ (abc)6 =a62b6+

19、c=36a+6b+c；(cba)9=c92+b9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因為35a是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù)所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3，5)=1所以，b=0或5當b=0，則35a=80c；則7a=16c；(7，16)=1，并且a、c0，所以a=16，c=7但是在6，9進制，不可以有一個數(shù)字為16當b=5，則35a=35+80c；則7a=3+16c；mod 7后，3+2c0所以c=2或者2+7k(k為整數(shù))因為有6進制，所以不可能有9或者9以上的數(shù)，于是c=2；35a=15+802，a=5所以(abc)6 =(552)6

20、 =562+56+2=212這個三位數(shù)在十進制中為212課后練習：三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個質(zhì)數(shù)設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是、，滿足，則可知、中必有一個為7，不妨記為，那么，整理得，又，對應(yīng)的2、9(舍去)或3、5，所以這三個質(zhì)數(shù)可能是3，5，7有一個大于1的整數(shù)，除所得的余數(shù)相同，求這個數(shù)這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)，的約數(shù)有，所以這個數(shù)可能為將1至2008這2008個自然數(shù)，按從小到大的次序依次寫出，得一個多位數(shù)：1234567891011121320072008，試求這個多位數(shù)除以9的余數(shù)以19992000這個八位數(shù)為例，它被9除的余數(shù)等于被9除的余數(shù)，但是由于1999與被9除的余數(shù)相同，2000與被9除的余數(shù)相同，所以19992000就與被9除的余數(shù)相同由此可得，從1開始的自然數(shù)1234567891011121320072008被9除的余數(shù)與前2008個自然數(shù)之和除以9