第12講主從聯(lián)動(dòng)模型解析版2020年中考數(shù)學(xué)幾何模型能力提升篇全國(guó)通用

1、中考數(shù)學(xué)幾何模型12 :主從聯(lián)動(dòng)模型名師點(diǎn)睛 當(dāng)軌跡為直線時(shí)AP,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),揭秘：將點(diǎn)P看成主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q看成從動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線.可以這樣理解：分別過(guò) A、Q向BC作垂線，垂足分別為 M、N,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)?AP=2AQ, 所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故 Q點(diǎn)軌跡是一條直線，且 Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 路徑長(zhǎng)為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的一半.思考2CP=CQ,且/ PCQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線如圖，點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為動(dòng)點(diǎn), AB上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn) Q的運(yùn)動(dòng)軌跡揭秘：當(dāng)CP與CQ夾角固定，且 AP=AQ時(shí)，P、Q軌跡是同一種圖形，且 P

2、Pi=QQi.可以這樣理解：易知 CPPiA CPPi,則/ CPPi=CQQi,故可知思考3Q點(diǎn)軌跡為一條直線.以 CP為斜邊作 RtACPQ,且 Q的運(yùn)動(dòng)軌跡.揭秘：條件CP與CQ夾角固定時(shí)，P、Q軌跡是同一種圖形，且有PR CPQQiCQ如圖，點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn), / P=30 ,當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)可以這樣理解：由 CPQsCPiQi,易得 CPPiA CPPi,則/ CPPi=CQQi,故可知Q點(diǎn)軌跡為 一條直線.總結(jié)條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量;主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量.結(jié)論： 主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是同樣的圖形；主動(dòng)點(diǎn)路徑

3、做在直線與從動(dòng)點(diǎn)路徑所在直線的夾角等于定角 當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離相等時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)等于主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng); 當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不相等時(shí),從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑二從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑-主動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.如圖，在等邊 4ABC中，AB=10, BD=4, BE=2,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié) PD,以 PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊 DPF,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑 長(zhǎng)是.【分析】根據(jù)4DPF是等邊三角形，所以可知 F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)與 P點(diǎn)相同，P從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)路徑長(zhǎng)為 8,故此題答案為 8.變式練習(xí)1

4、.如圖,方作等邊在平面直角坐標(biāo)系中， A (-3,0) ABP,點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求占) 八 、OPB是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以 AB為邊在AB的下 的最小值.P點(diǎn)軌跡, 知P點(diǎn)軌跡也是直線.取兩特殊時(shí)刻：(根據(jù) ABP是等邊三角形且 B點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，故可1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，作出P點(diǎn)位置P1; (2)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方且AB與x軸夾角為60時(shí)，作出P點(diǎn)位置P2.連接P1P2,即為P點(diǎn)軌跡.根據(jù)/ABP=60可知：PP2與y軸夾角為60,作OP，PP2,所得OP長(zhǎng)度即為最小值，OP2=OA=3,EF,例題2.如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4, E為BC上一點(diǎn)，且BE=1 , F為AB邊上的一

5、個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接以EF為邊向右側(cè)作等邊 EFG,連接CG,則CG的最小值為CG最小值，可以將F點(diǎn)看成是由G點(diǎn)軌跡也是線段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)，本題是求 點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，由此作出 G點(diǎn)軌跡：考慮到F點(diǎn)軌跡是線段，故確定線段位置，初始時(shí)刻 G點(diǎn)在Gi位置，最終G點(diǎn)在G2位置（G2不一定在CD邊），G1G2即為G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡.CG最小值即當(dāng)CG，G1G2的時(shí)候取到，作 CH，GiG2于點(diǎn)H, CH即為所求的最小值.根據(jù)模型可知：G1G2與AB夾角為60,故G，EGi .過(guò)點(diǎn)E作EFLCH于點(diǎn)F,則HF=GiE=1,CF=1CE 3,所以CH=5,因此CG的

6、最小值為5.2222變式練習(xí)（2017秋？1漢區(qū)校級(jí)月考）如圖，4ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn) E在AB上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，4EDM為等邊三角形.若點(diǎn) E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,則M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長(zhǎng)為6 .【解答】解：當(dāng)點(diǎn)E在B時(shí)，M在AB的中點(diǎn)N處，當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，M的位置如圖所示, 所以點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,則M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑為 MN的長(zhǎng)，.ABC是等邊三角形， D是BC的中點(diǎn)， ADXBC, /BAD = 30, AB= 6,1AD = Je - 3 2= 3V，. EDM是等邊三角形，AM=AD =3/3，/DAM =60, ./ NAM = 30 +60 =90,AN=-LaB =

7、 3,在 RtANAM 中，由勾股定理得：MN =7s2+（3(2019?東臺(tái)市模擬)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A (0, - 2) , B ( - 1, 0) , C ( - 5, 0)，點(diǎn)D AOB,從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C, E為AD上方一點(diǎn)，若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持MED【解答】解：如圖，連接OE. / AED= Z AOD=90,.A, O, E, D四點(diǎn)共圓，./ EOC= / EAD =定值，點(diǎn)E在射線OE上運(yùn)動(dòng)，/ EOC是定值. tan/ EOD = tanZ OAB=-1-,可以假設(shè)E (- 2m, m),當(dāng)點(diǎn)D與C重合時(shí)，AC=+/=亞西, AE= 2EC,，E

8、C=更叵而 5(-2m+5) 2+m2= , 5解得m=或-(舍棄)，55,F z 16 8. E (), 5 D點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡=OE的長(zhǎng)=四,故答案為 形.5名師點(diǎn)睛 當(dāng)軌跡為弧線時(shí)思考1AP, Q為AP中點(diǎn).如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接 當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？揭秘：Q點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，考慮到 Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO,取AO中點(diǎn)M,則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑 MQ是OPAQ_ 1AP - 2小結(jié)：確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線,由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO. Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是 P點(diǎn)軌跡成比例縮放.根據(jù)動(dòng)點(diǎn)

9、之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系;根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.軌跡是圓、?999，思、考2：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接 AP,作AQLAP且AQ=AP.當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？揭秘：Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得AQ,故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓.接下來(lái)確定圓心與半徑.考慮 APXAQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心 M滿(mǎn)足AMLAO;考慮AP=AQ,可得Q點(diǎn)軌 跡圓圓心 M滿(mǎn)足AM=AO,且可得半徑 MQ = PO.即可確定圓 M位置，任意時(shí)刻均有 APO0AQM.,思、考 3：如圖，4APQ是直角三角形，/ PAQ=90 ；且AP=

10、2AQ, 當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？揭秘： 考慮APXAQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心 M滿(mǎn)足AMXAO;考慮AP: AQ=2: 1,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓 心M滿(mǎn)足AO: AM=2: 1 .即可確定圓 M位置，任意時(shí)刻均有 APOsAQM,且相似比為 2.推理:(1)如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接 AP,以AP為一邊作等邊 4APQ. 當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是和圓O全等的一個(gè)圓.(2)如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,以AP為斜邊作等腰直角 4APQ.當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡為按AP: AQ=AO : AM= ： 1的比例縮放的一個(gè)圓.總結(jié)：為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn) P、Q

11、,可稱(chēng)點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”此類(lèi)問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量，即：PAQ是定值)；AP: AQ是定值).主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量(/主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量(結(jié)論:PAQ= / OAM ;AP: AQ=AO : AM ,也等于兩圓半徑之比,Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮.(1)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：/(2)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)距離之比：也等于兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)之比，按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”啟迪思維探究重點(diǎn)典題探究例題4.如圖，點(diǎn)P (

12、3, 4),圓P半徑為2, A (2.8, 0) , B (5.6, 0),點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) C是 MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是.【分析】M點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)，C點(diǎn)為從動(dòng)點(diǎn)，B點(diǎn)為定點(diǎn).考慮 C是BM中點(diǎn)，可知C點(diǎn)軌跡：取BP中點(diǎn)O, 以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，即為點(diǎn) C軌跡.當(dāng)A、C、O三點(diǎn)共線且點(diǎn) C在線段OA上時(shí)，AC取到最3小值，根據(jù)B、P坐標(biāo)求O,利用兩點(diǎn)間距離公式求得 OA,再減去OC即可.答案為 一2工.當(dāng)事Mfcffh的，JC出小，當(dāng)M型動(dòng)到短H?最小，4的小苗二 gmw 二！ QP-PV .變式練習(xí)4.如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC=245,點(diǎn)P在以余邊 AB為直徑的

13、半圓上,M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 【分析】考慮 C、M、P共線及M是CP中點(diǎn)，可確定 M點(diǎn)軌跡：取AB中點(diǎn)O,連接CO取CO中點(diǎn)D, 以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點(diǎn)，則弧EF即為M點(diǎn)軌跡.當(dāng)然，若能理解 M點(diǎn)與P點(diǎn)軌跡關(guān)系，可直接得到 M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)一半，即可解決問(wèn)題.答案為2例題5.如圖，正方形 ABCD中，AB 2后，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn) E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2,連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得DF,連接AE、CF.求線段OF長(zhǎng)的最小值.【分析】E是主動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是從動(dòng)點(diǎn)，D是定點(diǎn)，E點(diǎn)滿(mǎn)足EO=2 ,故E

14、點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，2為 半徑的圓.考慮 DELDF且DE = DF,故作 DM，DO且DM = DO, F點(diǎn)軌跡是以點(diǎn) M為圓心，2 為半徑的圓.直接連接OM,與圓M交點(diǎn)即為F點(diǎn)，此時(shí)OF最小.可構(gòu)造三垂直全等求線段長(zhǎng)，再利用勾股定理求得OM,減去MF即可得到OF的最小值.答案為 5，2-2變式練習(xí)AABC中，AB=4, AC=2,以BC為邊在 ABC外作正方形 BCDE , BD、CE交于點(diǎn) O,則線段 AO的最 大值為.【分析】考慮到 AB、AC均為定值，可以固定其中一個(gè)，比如固定AB,將AC看成動(dòng)線段，由此引發(fā)正方形BCED的變化，求得線段 AO的最大值.根據(jù) AC=2,可得C點(diǎn)軌跡是

15、以點(diǎn) A為圓心, 2為半徑的圓.接下來(lái)題目求 AO的最大值，所以確定 O點(diǎn)軌跡即可，觀察 BOC是等腰直角三 角形，銳角頂點(diǎn) C的軌跡是以點(diǎn) A為圓心，2為半徑的圓，所以 O點(diǎn)軌跡也是圓，以 AB為斜邊 構(gòu)造等腰直角三角形， 直角頂點(diǎn)M即為點(diǎn)O軌跡圓圓心.連接AM并延長(zhǎng)與圓M交點(diǎn)即為所求的 點(diǎn)O,此時(shí)AO最大，根據(jù) AB先求AM ,再根據(jù)BC與BO的比值可得圓 M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO,相加即得AO.答案為372 ,本題或者直接利用托勒密定理可得最大值.名師點(diǎn)睛當(dāng)軌跡為其他種類(lèi)時(shí)根據(jù)剛才我們的探究，所謂“瓜豆原理”，就是主動(dòng)點(diǎn)的軌跡與從動(dòng)點(diǎn)的軌跡是相似性，根據(jù)主、從 動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線形

16、成的夾角以及主、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比，可確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是 其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是.典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題6.如圖，在反比例函數(shù) y2的圖像上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) A,連接AO并延長(zhǎng)交圖像的另一支于點(diǎn)xkB,在第一象限內(nèi)有一點(diǎn) C,滿(mǎn)足AC=BC,當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y 的圖像上運(yùn)動(dòng)， x若tan/ CAB =2,貝U k的值為（）A. 2B. 4C. 6D. 8【分析】/ AOC=90且AO: OC=1 : 2,顯然點(diǎn)C的軌跡也是一條雙曲線，分別作 AM、CN垂直x 軸，垂足分別為 M、N,連接 OC,易證 AAMOs ONC,CN=2OM , ON=2AM ,

17、 .ON CN=4AM OM , 故 k=4X2=8.【思考】若將條件 tan/CAB=2”改為ABC是等邊三角形”，k會(huì)是多少？變式練習(xí)2（2017林圳模擬）如圖，反比例函數(shù) y=k的圖象上有一動(dòng)點(diǎn) A,連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)tan/ CABB,在第二象限內(nèi)有一點(diǎn) C,滿(mǎn)足AC=BC,當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=N的圖象上運(yùn)動(dòng), =2,則關(guān)于x的方程x2-5x+k= 0的解為 xi = - 1, x2= 6 .【解答】解：連接 OC,過(guò)點(diǎn)A作AE，y軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF，y軸于點(diǎn)F,如圖所示,由直線AB與反比例函數(shù) y=的對(duì)稱(chēng)性可知 A、2工又. AC=BC, COXAB.

18、/AOE+/AOF = 90, Z AOF+Z COF = 90,./ AOE= / COF,又./AEO = 90, /CFO = 90,AOEA COF,，嫗=匝=外，CF OF CO. tanZ CAB = -S- = 2, ，CF=2AE, OF = 2OE.0A又. AE?OE = , CF?OF= |k|, ，k=i6.B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，.-.AO=BO.丁點(diǎn)C在第二象限，k= - 6,，關(guān)于 x 的方程 x2-5x+k=0 可化為 x2 - 5x- 6=0,解得 x1=- 1, x2=6.故答案為：xi=- 1, x2= 6.例題7.如圖，A (-1,1) , B (-1,4)

19、, C (-5,4),點(diǎn)P是4ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接 OP,以O(shè)P為 斜邊在OP的右上方作等腰直角 OPQ,當(dāng)點(diǎn)P在 ABC邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn) Q的軌跡形成的封 閉圖形面積為.【分析】根據(jù)4OPQ是等腰直角三角形可得： Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡與P點(diǎn)軌跡形狀相同，根據(jù)OP:OQ=2 :1 ,可得P點(diǎn)軌跡圖形與 Q點(diǎn)軌跡圖形相似比為 J2:1,故面積比為2:1, 4ABC面積為1/2 3X4=6,故Q點(diǎn)軌跡形成的封閉圖形面積為3.【小結(jié)】根據(jù)瓜豆原理，類(lèi)似這種求從動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)或者軌跡圖形面積，根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)軌跡推導(dǎo)即可，甚至無(wú)需作圖.變式練習(xí)（2017春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，4ABC的面積為9,點(diǎn)P在 ABC的邊

20、上運(yùn)動(dòng).作點(diǎn) P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q,再以PQ為邊作等邊4PQM.當(dāng)點(diǎn)P在4ABC的邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)， 點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)所形成的圖 形面積為（）A. 3B. 9C. 27D. 9/1【解答】解：如圖，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿4ABC的邊從A-B-C-A運(yùn)動(dòng)一周，且點(diǎn) Q關(guān)于原點(diǎn)O與點(diǎn)P對(duì)稱(chēng),點(diǎn)Q隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是 4ABC關(guān)于O的中心對(duì)稱(chēng)圖形，以PQ為邊作等邊PQM, M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的A, B, C的點(diǎn)分別為 Ma, Mb, Mc,MbQbB是等邊三角形，MbO = /OB,同理 McO=V3oc,. Z COB+Z BOMc=90, / McOMb+/BOMc=90此Z COB= Z McOMb,McO

21、MbA COB,MbMc=/3BC同理，MaMb= V3aB, MaMc=V3AC,MaMbMcS ABC,MaMbMc的面積=9X (7s)2=27,即點(diǎn)M隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為27.故選：C.例題8.如圖所示，AB=4, AC=2,以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD,連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)P,使AD=PD,則PB的取值范圍為 .EBAMCBACPPPDAE BDDA . 572B, 6C, 2/13【解答】解：如圖，連接 OQ,以O(shè)Q為邊向下作等邊 OQH, ./ OQP= ZHQD ,.OQPQHQD (SAS),D. 4【分析】固定AB不變，AC=2,則C點(diǎn)軌跡是以A為圓心，

22、2為半徑的圓，以BC為斜邊作等腰直角三角形BCD,則D點(diǎn)軌跡是以點(diǎn) M為圓心、 /為半徑的圓考慮到AP=2AD,故P點(diǎn)軌跡是以N為圓心，2J2為半徑的圓，即可求出 PB的取值范圍.答案為 4-2,2 PB 4 2.2變式練習(xí)8. (2018秋漸吳區(qū)期末)如圖已知：正方形 OCAB, A (2, 2) , Q (5, 7) , ABy軸，ACx軸，OA, BC交于點(diǎn)P,若正方形OCAB以O(shè)為位似中心在第一象限內(nèi)放大，點(diǎn)P隨正方形一起運(yùn)動(dòng)，當(dāng) PQ達(dá)到最小值時(shí)停止運(yùn)動(dòng).以 PQ的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)，向PQ的右側(cè)作等邊 4PaD,求在這個(gè)位似變化過(guò)程中，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)()連接DH,作QELOA交OA的延長(zhǎng)線

23、于 E. . OQH , APQD都是等邊三角形，.QO = QH, QP=QD, Z OQH = Z PQD= 60,.OP=DH,點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)=點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng),直線 OA 的解析式為 y=x, Q (5, 7) , QEXOA,，直線EQ使得解析式為y=-x+12,由,y=xhy=-x+12X=6, E (6, 6), V=6. P (1, 1) ,PE=5/2,P與點(diǎn)5n5 2，E重合時(shí)，PQ的長(zhǎng)最短,根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn) ，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為 ，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為 故選：A.例題9. （2019秋?斫口區(qū)期中）如圖,副含 30和45角的三角板 ABC和EDF拼合在一

24、個(gè)平面上，邊 AC與EF重合，BC = 4jcm.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（24-12/21 cm.cm, /A=30, /DEF = 45,AC=BC= 12cm, AB=2BC=8百cm, ED = DF=；AC =6 cm,當(dāng)點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，得 EDF,過(guò)點(diǎn)D作DNAC于點(diǎn)N,作DMBC于點(diǎn)M,如圖所示: ./ MDN=90,且/EDF=90, . EDN= / FDM,rZEz 丁H在口、和DMF中，NE =4 KF =90E 二D . DNEA DMF (AAS), ,.DN = DM,

25、且 DN,AC, DM CM, CD平分 Z ACM , 即點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，點(diǎn) D在射線CD上移動(dòng)，當(dāng) EDAC 時(shí)，DD值最大，最大值= V2ED - CD= (12-6西)cm,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到爐；C時(shí)，點(diǎn) 故答案為：（24- 12點(diǎn)）.D 運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=2X (12- 6/2) = ( 24- 12/2) cm；變式練習(xí)9. （2018神華模擬）如圖， RtAABC 點(diǎn)重合，隨著頂點(diǎn) A由。點(diǎn)出發(fā)沿 重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束.在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.中，BC=4, AC =8, RtABC的斜邊在x軸的正半軸上，點(diǎn) A與原 y軸的正半軸方向滑動(dòng)，點(diǎn) B也沿著x軸向點(diǎn)O滑動(dòng)，直到與點(diǎn) O（1） A

26、B中點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)再兀.（2）點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是 8-匹-12-AB=4 反,.-.OP = 2,二.AB中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡是以 O為圓心，以O(shè)P為半徑的圓弧,即AB中點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)=X2-75 戶(hù) V5 兀;（2）當(dāng)A從。到現(xiàn)在的點(diǎn)A處時(shí)，如圖2,此時(shí)CAy軸,點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是 CC的長(zhǎng)，AC= OC= 8, AC/ OB, .ACO= / COB,cos/ACO = cos/COB = l=&C： ,三=, OB 0Cy 研 0CzOC = 4、匹,CC = 4/5-8;當(dāng)A再繼續(xù)向上移動(dòng)，直到點(diǎn) B與O重合時(shí)，如圖3,此時(shí)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑是從 C到C,長(zhǎng)是CC, CC = OC - B

27、C=4/5-4,綜上所述，點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是： 而-8+4/缶-4=84虧-12;故答案為：（1）泥兀； （2） 8/5-12.達(dá)標(biāo)檢測(cè)領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)1. （2018秋世岡期中）在4ABC中，/ BAC=90, AB=AC=2cm,線段BC上一動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng), 至|J B點(diǎn)停止，以AP為邊在AC的右側(cè)作等邊4ARQ,則Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為22 cm.【解答】解：如圖，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為 QQ的長(zhǎng), ACQ和 ABQ 是等邊三角形，CAQ= / BAQ= 60, AQ = AC=AQ = 2cm,. / BAC=90,./ QAQ = 90,由勾股定理得：QQ = 十一+ 2 2 = 2/2

28、，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為2，cm;故答案為：2、叵2.如圖，在矩形 ABCD中，AB = 4, /DCA = 30,點(diǎn)F是對(duì)角線 AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 DF ,以DF為 斜邊作/ DFE =30的直角三角形 DEF ,使點(diǎn)E和點(diǎn)A位于DF兩側(cè)，點(diǎn)F從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是竺1 .【解答】解：E的運(yùn)動(dòng)路徑是線段 EE的長(zhǎng);,. AB=4, /DCA = 30。，BC = 警當(dāng)F與A點(diǎn)重合時(shí),在 RtMDE中，AD =,/DAE=30,Z ADE=60,.DE=Jp_, /CDE=30。，當(dāng)F與C重合時(shí)，/ EDC = 60, ./ EDE= 90, / DEE=30,在RtDE

29、E中，EE=/;故答案為 士/.3. (2019?銅山區(qū)二模)如圖，已知點(diǎn) M (0, 4) , N (4, 0),開(kāi)始時(shí)， ABC的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C分 別與點(diǎn)M、N、。重合，點(diǎn)A在y軸上從點(diǎn)M開(kāi)始向點(diǎn)O滑動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) 。結(jié)束運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) B沿著x 軸向右滑動(dòng)，則在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)4 .【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CDx軸，CEy軸 點(diǎn) M (0, 4) , N (4, 0),. OM = ON, / CAC+45 = / EAB+ / MGB = 45 + / MGB , . / EAC= / BGB,. / BGB + /GBB = 45, Z GBB+Z DBC = 45,一 !

30、 WFi 尸 飛 TOC o 1-5 h z GV。? -A ./ EAC= / DBC,F7i f n 4 hi tit HYPERLINK l bookmark40 o Current Document _ _ _cr又AC= BC,RtAACERtABCD (HL),EC = DC,C在第四象限的角平分線上，C的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段 AC, C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 4;故答案為4;(2018?寶應(yīng)縣三模)在 RtABC中，/C=90, AC=2、/1, BC=2,若P是以AB為直徑所作半圓上由A沿著半圓向B運(yùn)動(dòng)的一點(diǎn)，連接 CP,過(guò)P向下作PMXCP,且有PM = 0.5CP,如圖示，求點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)過(guò)

31、程中，點(diǎn) M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是直兀._【解答】 解：如圖，二點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是半圓 A3, PMXCP,且有PM = 0.5CP,可見(jiàn)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是半圓 面.當(dāng)PC是直徑時(shí)，CM也是面的直徑，PC=AB=4 時(shí)，PM = 2,. CM十42=2/, ，EF 的長(zhǎng)=?兀，故答案為工兀如圖，已知線段 AB = 8, O為AB的中點(diǎn)，P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持OP=2不變，連結(jié)BP,將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到PC,連結(jié)BC、AC,則線段AC長(zhǎng)的最大值是 2714 .c【解答】答案為：6(2017?1陰市二模)如圖，線段 AB為。O的直徑，點(diǎn) C在AB的延長(zhǎng)線上，AB= 4, BC=2,點(diǎn)P

32、是 OO上一動(dòng)點(diǎn)，連接 CP,以CP為斜邊在 PC的上方作 RtAPCD,且使/DCP = 60,連接 OD,則OD長(zhǎng)的最大值為2+1 .【解答】 解：如圖，作 COE,使得/CEO=90, /ECO=60, 則 CO = 2CE, OE = 2石 /OCP=/ECD,.CP=2CD,CO而. /CDP=90, ZDCP = 60,里=2, .COPsCED , 史=空=2,即 EDOP=1 （定長(zhǎng)），CDED CD2點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng)，點(diǎn)D在半彳仝為1的。E上,. ODOE + DE = 23+1 ,，OD 的最大值為 2+1,故答案為12相+1.(2018?建湖縣一模)如圖，在平面直角

33、坐標(biāo)系中，A (4, 0)、B (0, - 3),以點(diǎn)B為圓心、2為半徑的OB上有一動(dòng)點(diǎn)P.連接AP,若點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，連接 OC,則OC的最小值為 1.5 .【解答】解：解法一：如圖，取點(diǎn) D (-4, 0),連接PD,.C是AP的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn),.OC是4APD的中位線，OC=PD,2連接BD交。B于E,. OD=4, OB=3,BD = 5,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PD最小為5-2=3,故OC的最小值為1.5;解法二：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，即如圖中點(diǎn) Pi, Ci是APi的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，C2是 點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是以 D為圓心，設(shè)線段AB交。B于Q,AOB 中，OA

34、=4, OB=3,AB= 5,.OB的半徑為2,BPi = 2, APi= 5+2=7,Ci是APi的中點(diǎn)， ACi = 3.5, AQ=5-2 = 3,.C2是AQ的中點(diǎn)，AC2=C2Q= i.5,CiC2=3.5 - i.5=2,即。D 的半徑為 i ,AD = i.5+i = 2.5 = A.AB,2.-.OD=AB=2.5,2中點(diǎn)，取CiC2的中點(diǎn)為D,以DCi為半徑的圓，當(dāng)O、C、D共線時(shí)，OC的長(zhǎng)最小,7.8.OC = 2.5- i = i.5, 故答案為：i.5.（20i6?T岸區(qū)校級(jí)模擬） 如圖，線段AB=2, C是AB上一動(dòng)點(diǎn)，以AC、BC為邊在AB同側(cè)作正AACE、 正ABCF,連EF,點(diǎn)P為EF的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn) C從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 i .【解答】解：如圖，分別延長(zhǎng) AE、BF交于點(diǎn)H. Z A= Z FCB=60,AH / CF ,. / B= / ECA=60,CE / BH ,四邊形ECFH為平行四邊形，EF與HC互相平分.P