湖南省長(zhǎng)沙市湖南師大附中高三下學(xué)期二模考試數(shù)學(xué)試（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)湖南師大附中2022屆模擬試卷（二）數(shù) 學(xué)注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上寫(xiě)在本試卷上無(wú)效3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合，集合A中至少有2個(gè)元素，則（ ）ABCD2設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則“，且”是“對(duì)于任意N*

2、，都有”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件3現(xiàn)有5個(gè)小朋友站成一排照相，如果甲、乙兩人必須相鄰，而丙、丁兩人不能相鄰，那么不同的站法共有（ ）A12種B16種C24種D36種4已知，則（ ）ABCD5中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理（西方稱(chēng)之為“畢達(dá)哥拉斯定理”）如圖，四個(gè)完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個(gè)大正方形，角為直角三角形中的一個(gè)銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積S1與大正方形面積S2之比為1：25，則（ ）ABCD6設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，點(diǎn)（n，）對(duì)任意的，都有（1，2），則數(shù)列的前n項(xiàng)和為為（ ）ABCD7拋物線（）的焦點(diǎn)

3、為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p=（ ）A3B6C4D88設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828），則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）ABCD二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分9設(shè)復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）ABCz的虛部是D若，則正整數(shù)n的最小值是310如圖是一塊高爾頓板示意圖，在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過(guò)程中，每次碰到小木釘

4、后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號(hào)為0，1，2，3，10，用X表示小球落入格子的號(hào)碼，則（ ）BCD11已知P是橢圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q（1，）的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，則（ ）A橢圓C的焦距為B橢圓C的離心率為C當(dāng)Q為MN中點(diǎn)時(shí)，直線MN的斜率為D若F1PF2=90，則F1PF2的面積為112截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體如圖所示，將棱長(zhǎng)為3a的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)做平行于底面的截面得到的所有棱長(zhǎng)均為a的截角四面體，則下列說(shuō)法正確的有（ ）A該截角四面體的表面積為B該截角四面體的體積為C該截角

5、四面體的外接球的表面積為D該截角四面體中，二面角ABCD的余弦值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13寫(xiě)出一個(gè)具有性質(zhì)的函數(shù)_的定義域?yàn)椋?，）；當(dāng)時(shí)，14已知ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的點(diǎn)，AP=，過(guò)P、M、N的平面交上底面于PQ，點(diǎn)Q在棱CD上，則PQ=_15設(shè)直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)m的值是_16已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)P（1，f（1）處的切線方程為_(kāi)；若對(duì)成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)四、解答題：本題共6小題，共70分解

6、答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17（本小題滿(mǎn)分10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，則在數(shù)列中是否存在連續(xù)的兩項(xiàng)，使得它們與后面的某一項(xiàng)依原來(lái)順序構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)舉例寫(xiě)出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18（本小題滿(mǎn)分12分）某商場(chǎng)準(zhǔn)備在五一期間舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商場(chǎng)決定從2種服裝，2種家電，3種日用品這3類(lèi)商品中，任意選出3種商品進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)（1）試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率；（2）商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用的促銷(xiāo)方案是有獎(jiǎng)銷(xiāo)售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高150元，同時(shí)，若顧客購(gòu)買(mǎi)該商品，則允許有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，

7、則每次中獎(jiǎng)都獲得數(shù)額為m元的獎(jiǎng)金假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是，請(qǐng)問(wèn)：商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額m最高定為多少元，才能使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利？19（本小題滿(mǎn)分12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1B1B是菱形，ABAC，平面AA1B1B平面ABC，平面A1B1C1與平面AB1C的交線為l（1）證明：A1BB1C；（2）已知ABB1=60，AB=AC=2，l上是否存在點(diǎn)P，使A1B與平面ABP所成角為60？若存在，求B1P的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由20（本小題滿(mǎn)分12分）一條直角走廊的平面圖如圖所示，寬為2米，現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板車(chē)，其平板面為矩形ABCD，它的寬為1米（1）若平

8、板車(chē)被卡在此直角走廊內(nèi)，如圖，設(shè)PAB=（rad），試用表示平板車(chē)的長(zhǎng)度；（2）要想平板車(chē)能順利通過(guò)直角走廊，其長(zhǎng)度不能超過(guò)多少米？21（本小題滿(mǎn)分12分）已知雙曲線C：（，）的右焦點(diǎn)為F（2，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，點(diǎn)F在線段AB上，且OAAB，（1）求雙曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F作直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)及這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由22（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)（1）若a=1，比較與的大??；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)PAGE 答案第 = 1頁(yè)，共 = sectionpages 2 2頁(yè)P(yáng)AGE 17

9、頁(yè)答案第 = !異常的公式結(jié)尾頁(yè)，共 = sectionpages 17 17頁(yè)參考答案：1D【解析】【分析】由于集合中至少有2個(gè)元素，所以,從而可求出的取值范圍【詳解】解：因?yàn)榧现兄辽儆?個(gè)元素，所以，解得，故選：D2A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析判斷即可【詳解】若，且，則，所以，反之，若，則，所以，且或，且，所以“，且”是“對(duì)于任意，都有”的充分不必要條件.故選：A3C【解析】【分析】先將甲乙相綁在一起，再將甲乙與第五個(gè)小朋友排列，然后將丙丁插入三個(gè)空，結(jié)合根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，先將甲乙相綁在一起，內(nèi)部有種排列；再將甲乙與第

10、五個(gè)小朋友排列有種方法；然后將丙丁插入三個(gè)空，有種方法，根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理，可得共有方法種.故選：C.4D【解析】【分析】比較、的大小關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】，即，所以，則，即A錯(cuò)誤；，所以，即BC都錯(cuò)誤，D正確.故選：D.5C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合，求得，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，結(jié)合兩角和的正弦公式，即可求解.【詳解】如圖所示，由圖中小正方形的面積與大正方形面積之比為，可得，因?yàn)椋傻?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：C.6A【解析】【分析】由，得到，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，所以是公差?

11、的等差數(shù)列，由，得，所以.故選：A.7B【解析】【分析】表達(dá)出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求解【詳解】由題意得：，因?yàn)锳BF為等邊三角形，所以，所以，將代入方程得：.故選：B8C【解析】恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則恰有兩個(gè)不同的解，求出可確定是它的一個(gè)解，另一個(gè)解由方程確定，令通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個(gè)不是1的解時(shí)t應(yīng)滿(mǎn)足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以恰有兩個(gè)不同的解，顯然是它的一個(gè)解，另一個(gè)解由方程確定，且這個(gè)解不等于1.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，且.所以，當(dāng)且時(shí)，恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

12、性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.9AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的分類(lèi)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，所以，所以A正確；對(duì)于B中，由，則B正確；對(duì)于C中，由，可得z的虛部是，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，可得，所以，得正整數(shù)n的最小值是3，所以D正確.故選：AD.10AD【解析】【分析】根據(jù)題意，小球在下落過(guò)程中共碰撞小木釘次數(shù)，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式和方差的公式，即可求解.【詳解】設(shè)事件A表示小球向右下落，設(shè)X等于事件A發(fā)生的次數(shù)，則X等于落入格子的號(hào)碼，而小球在下落過(guò)程中共碰撞小木釘10次，所以，則，所以，所以A正確，B不正確；又由，所以C不正確，D正確.故

13、選：AD.11CD【解析】【分析】由題知，進(jìn)而根據(jù)離心率公式和焦距可判斷A，C；對(duì)于B，利用中點(diǎn)弦的直線的斜率公式直接計(jì)算即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，結(jié)合橢圓定義得，進(jìn)而計(jì)算面積即可判斷.【詳解】解：由題知，所以，故焦距為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，由中點(diǎn)弦公式得，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，橢圓的離心率為，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，則，即，代入數(shù)據(jù)得，所以的面積為，故D選項(xiàng)正確；故選：CD12ABC【解析】【分析】根據(jù)截角四面體的定義，還原為正四面體，然后利用正四面體的相關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)求解判斷；【詳解】如圖所示：由正四面體中，題中截角四面體由4個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，4個(gè)邊長(zhǎng)為的正六邊形構(gòu)成，故

14、，A正確；棱長(zhǎng)為的正四面體的高，B正確；設(shè)外接球的球心為O，的中心為，的中心為，截角四面體上下底面距離為，C正確；易知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為負(fù)值，D錯(cuò)誤，故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將幾何體還原為正四面體，結(jié)合正四面體的相關(guān)性質(zhì)而得解.13（答案不唯一）【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的定義域、函數(shù)的法則和單調(diào)性即可求解，滿(mǎn)足題意的答案不唯一.【詳解】由知，對(duì)數(shù)函數(shù)形式的函數(shù)滿(mǎn)足要求，又由知，在定義城上是增函數(shù)，故符合題意，故答案為：（答案不唯一）.14【解析】【分析】先求出DPDQ，再利用勾股定理得解.【詳解】MN/平面ABCD，平面PMNQ平面ABCDPQ，MN平面PQ

15、NM，MN/PQ，易知DPDQ，故PQ.故答案為：15【解析】【詳解】試題分析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，再由弦AB的長(zhǎng)，利用垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值由圓的方程，得到圓心坐標(biāo)為（1，2），半徑 r=2，圓心到直線的距離 d=16 【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算得切線斜率，由點(diǎn)斜式得切線方程并化簡(jiǎn)，不等式進(jìn)行同構(gòu)變形為，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為，取對(duì)數(shù)參數(shù)分離，再引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得其最小值，從而得參數(shù)范圍、最值【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，則，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.因?yàn)?，即?/p>

16、則，令，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，得，即，記，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故的最小值是，故，即實(shí)數(shù)a的最大值是.故答案為：；.17(1)(2)存在，【解析】【分析】（1）先求出，再當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減整理可得，從而可求出其通項(xiàng)公式，（2）由（1）得，然后可得，構(gòu)成等差數(shù)列(1)當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，所以，即，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.(2)由，當(dāng)，顯然不適合；，適合，即，構(gòu)成公差為的等差數(shù)列.18(1)；(2)100元.【解析】【分析】（1）求出任選3種商品的試驗(yàn)所含基本事件總數(shù)，利用古典概率公式結(jié)合對(duì)立事件求解作答.（2）根據(jù)給定條件，求出顧客3次抽獎(jiǎng)

17、所獲獎(jiǎng)金總額的期望，再列出不等式求解作答.(1)從2種服裝，2種家電，3種日用品中，任選出3種商品一共有種選法，選出的3種商品中沒(méi)有日用品的選法有種，所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為.(2)顧客在3次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額X是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能值為0，m，2m，3m，當(dāng)時(shí)，表示顧客在3次抽獎(jiǎng)中都沒(méi)有獲獎(jiǎng)，則有，同理，因此，顧客在3次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望，要使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額，即，解得，所以商場(chǎng)應(yīng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為100元，才能使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利.19(1)證明見(jiàn)解析(2)不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1

18、）由四邊形為菱形，得到，根據(jù)平面平面ABC，證得，進(jìn)而得到平面，從而證得；（2）取中點(diǎn)D，連接AD，證得平面，以為原點(diǎn)，以，方向分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，求得平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，即可求解.(1)證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又因?yàn)椋云矫?，又由平面，所以，因?yàn)椋云矫?，又因?yàn)槠矫?，所?(2)解：上不存在點(diǎn)P，使與平面ABP所成角為60，理由如下：取中點(diǎn)D，連接AD，因?yàn)?，所以，又，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，以，方向分別為x軸，y軸

19、，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得,則，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，假設(shè)l上存在一點(diǎn)P，使與平面ABP所成角為60，設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，則，可取，又由，所以，即，此方程無(wú)解，因此上不存在點(diǎn)P，使與平所成角為.20(1)(2)【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)CD交邊PA，PB分別相交于E，F(xiàn)，得到，且，結(jié)合，即可求解；（2）設(shè)，得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，結(jié)合最小值，即可求解.(1)解：由題意，延長(zhǎng)CD直角走廊的邊PA，PB分別相交于E，F(xiàn)，則，其中，又由，可得，于是，其中.(2)解：設(shè)，則，于是，又，因此，因?yàn)楹愠闪?，因此?/p>

20、數(shù)在上是減函數(shù)，所以，故平板車(chē)被此走廊卡住的最小長(zhǎng)度為，從而平板車(chē)長(zhǎng)不大于，能在此走廊轉(zhuǎn)彎，平板車(chē)的長(zhǎng)度大于，則不能在此走廊轉(zhuǎn)彎，故要想平板車(chē)能順利通過(guò)此走廊，其長(zhǎng)度不能超過(guò)米.21(1)(2)存在，【解析】【分析】（1）不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，即可表示出，根據(jù)得到方程，即可求出，從而得到，再根據(jù)及，求出、，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)，分別求出直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)的值，根據(jù)為定值，得到方程，即可求出及的坐標(biāo)，再對(duì)直線不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為、，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，表示出從而計(jì)算可得；(1)解：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則.因?yàn)椋瑒t，.由已知，即，即.因?yàn)?，則，即.因?yàn)闉闈u近線OA的傾斜角，則，即.又，則，.所以雙曲線C