2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第六章　數(shù)列6.2　等差數(shù)列

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI6.2等差數(shù)列第六章2022內(nèi)容索引010203必備知識 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破核心素養(yǎng)微專題6 例說數(shù)列中的邏輯推理必備知識 預(yù)案自診【知識梳理】 1.等差數(shù)列(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從起,每一項與它的前一項的都等于,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的,公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表示為an+1-an=d (n N* ),d為常數(shù).(2)等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是,其中A叫做a,b的.(3)等差數(shù)列an 的通項公式:an=,可推廣為an=am+(n-m)d.(

2、4)等差數(shù)列的前n項和公式:第2項差同一個常數(shù)公差等差中項 a1+(n-1)d 2.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)an=a1+(n-1)d可化為an=dn+a1-d的形式.當(dāng)d0時,an是關(guān)于n的一次函數(shù);當(dāng)d0時,數(shù)列為遞增數(shù)列;當(dāng)d0,S10=S20,則()A.d0B.a160C.SnS15D.當(dāng)且僅當(dāng)n32時,Sn0,所以a150,a160,所以d0,SnS15,故A,B,C正確;S31= =31a160,故D錯誤.故選ABC.4.(2019全國3,理14)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若a10,a2=3a1,則 =.答案 4 5.(2019北京,理10)設(shè)等差數(shù)列

3、an的前n項和為Sn.若a2=-3,S5=-10,則a5=,Sn的最小值為.答案 0-10解析 在等差數(shù)列an中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0.由等差數(shù)列an的性質(zhì)得當(dāng)n5時,an0,當(dāng)n6時,an大于0,所以Sn的最小值為S4或S5,即為-10.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點1等差數(shù)列中基本量的求解答案 (1)A(2)25 解題心得1.等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.2.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個就能求出另外兩

4、個,體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想.3.減少運算量的設(shè)元的技巧,若三個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這三個數(shù)分別為a-d,a,a+d;若四個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這四個數(shù)分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d.對點訓(xùn)練1(1)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,則m=()A.9B.10C.11D.15(2)(2019江蘇,8)已知數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是.答案 (1)B(2)16 (2)an為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,a2a5+a8=0,S9=27,整理得a1+4d=3,即a1=3-4d,把代入解得d=2,

5、a1=-5.S8=8a1+28d=16.考點2等差數(shù)列的判定與證明(1)證明 當(dāng)n2時,由an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,變式發(fā)散(1)本例條件不變,判斷數(shù)列an是否為等差數(shù)列,并說明理由.(2)將本例條件“an+2SnSn-1=0(n2),a1= ”變?yōu)椤癝n(Sn-an)+2an=0(n2),a1=2”,問題不變,試求解.(2)證明 當(dāng)n2時,由an=Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)+2an=0,得SnSn-(Sn-Sn-1)+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,對點訓(xùn)練2(2017全國1,文17)設(shè)S

6、n為等比數(shù)列an的前n項和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.考點3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(多考向探究)考向1等差數(shù)列項的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】 (1)(2020北京,8)在等差數(shù)列an中,a1=-9,a5=-1.記Tn=a1a2an(n=1,2,),則數(shù)列Tn()A.有最大項,有最小項B.有最大項,無最小項C.無最大項,有最小項D.無最大項,無最小項答案 (1)B(2)BC可知數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列,且前5項為負值,自第6項開始為正值.可知T1=-90,T3=-3150為最大項,自T5起均小于0,且逐漸減小.數(shù)列Tn有最大

7、項,無最小項.故選B.(2)由題意可得,因為數(shù)列an是等差數(shù)列,所以設(shè)數(shù)列an的通項公式為an=a1+(n-1)d,則a2n=a1+(2n-1)d,對點訓(xùn)練3(2020貴州貴陽普通中學(xué)期末檢測)在等差數(shù)列an中,若a2+a8=8,則(a3+a7)2-a5=()A.60B.56C.12D.4答案 A解析 在等差數(shù)列an中,a2+a8=8,2a5=a3+a7=a2+a8=8,解得a5=4,(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.故選A.考向2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)【例4】 (1)(2020全國2,理4)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(

8、稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699塊B.3 474塊C.3 402塊D.3 339塊答案 (1)C(2)8 076解析 (1)由題意可知,從上到下,從內(nèi)到外,每環(huán)的扇面形石板數(shù)構(gòu)成以9為首項,9為公差的等差數(shù)列,設(shè)為an.設(shè)上層有n環(huán),則上層扇面形石板總數(shù)為Sn,中層扇面形石板總數(shù)為S2n-Sn,下層扇面形石板總數(shù)為S3n-S2n,三層扇面形石板總數(shù)為S3n.因為an為等差數(shù)列,所以Sn,S2n-S

9、n,S3n-S2n構(gòu)成等差數(shù)列,公差為9n2.因為下層比中層多729塊,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=279+ 9=3 402.故選C.答案 -n2+10n 考向3等差數(shù)列前n項和的最值【例5】 (2020陜西漢中高三教學(xué)質(zhì)量檢測)設(shè)等差數(shù)列an滿足a3=-9,a10=5.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)求an的前n項和Sn及使得Sn最小的n的值.解題心得求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)),通過配方或借助圖象求最值.(2)鄰項變號法:對點訓(xùn)練5(1)(多選)已知無窮等差數(shù)列an的前n項和為Sn,S6S8,則()A.在數(shù)列an中,a1最大B.在數(shù)列an中,a3或a4最大C.S3=S10D.當(dāng)n8時,an0(2)在