Chapter9-2信號(hào)與系統(tǒng)(所有系列)(奧本海姆 中文)

1、可以用零極點(diǎn)圖表示 的特征。當(dāng)ROC包括軸時(shí)，以 代入 ，就可以得到 。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法從零極點(diǎn)圖求得 的特性。這在定性分析系統(tǒng)頻率特性時(shí)有很大用處。Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot9.4 由零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換幾何求值1. 單零點(diǎn)情況： 矢量 稱為零點(diǎn)矢量，它的長(zhǎng)度 表示 ,其幅角即為 。0 零點(diǎn) , 要求出 時(shí)的 ，可以作兩個(gè)矢量 和 ，則 。極點(diǎn) 直接由極點(diǎn)向 點(diǎn)作矢量（稱為極點(diǎn)矢量），其長(zhǎng)度的倒量為 ,幅角的負(fù)值為 。2. 單極點(diǎn)情況：0 因此有:對(duì)有理函數(shù)形式的3.

2、 一般情況： 即：從所有零點(diǎn)向 點(diǎn)作零點(diǎn)矢量，從所有極點(diǎn)向 點(diǎn)作極點(diǎn)矢量。所有零點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度之積除以所有極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度之積即為 。所有零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之和即為 。 當(dāng) 取為 軸上的點(diǎn)時(shí)，即為傅里葉變換的幾何求值?？疾?在 軸上移動(dòng)時(shí)所有零、極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度和幅角的變化，即可得出 的幅頻特性和相頻特性。例1. 一階系統(tǒng)： 隨著 ， 單調(diào)下降，時(shí),下降到最大值的最大值在 時(shí)取得。相位特性：當(dāng) 時(shí)， 隨著 ， 趨向于 。則 趨向于 。例2. 全通系統(tǒng)：考查零極點(diǎn)對(duì)稱分布的系統(tǒng)（一階全通系統(tǒng)） 該系統(tǒng)的 在任何時(shí)候都等于1，所以 稱為全通系統(tǒng)。 其相位特性全通系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布呈四

3、角對(duì)稱特征。三階全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)被廣泛用于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行相位均衡。例3. 最小相位系統(tǒng)： 考察兩個(gè)系統(tǒng)，它們的極點(diǎn)相同，零點(diǎn)分布關(guān)于 軸對(duì)稱。其中一個(gè)系統(tǒng)的零點(diǎn)均在左半平面，另一個(gè)系統(tǒng)的零點(diǎn)均在右半平面。 顯然這兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性是相同的。但零點(diǎn)在左半平面的系統(tǒng)其相位總小于零點(diǎn)在右半平面的系統(tǒng)。因此將零極點(diǎn)均位于左半平面的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。 工程應(yīng)用中設(shè)計(jì)的各種頻率選擇性濾波器，如：Butterworth 、Chebyshev、 Cauer濾波器都是最小相位系統(tǒng)。 當(dāng)工程應(yīng)用中要求實(shí)現(xiàn)一個(gè)非最小相位系統(tǒng)時(shí)，通常采用將一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)。 從本質(zhì)上講系統(tǒng)的特性是由系統(tǒng)的零、

4、極點(diǎn)分布決定的。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)質(zhì)上就是優(yōu)化其零、極點(diǎn)的位置。最小相位系統(tǒng)全通系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)全通系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)Properties of the Laplace Transform則ROC至少是9.5 拉氏變換的性質(zhì) 拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于ROC的討論。1. 線性（Linearity ）：若而ROC擴(kuò)大為整個(gè)S平面。 當(dāng) 與 無(wú)交集時(shí)，表明 不存在。例.（原因是出現(xiàn)了零極點(diǎn)相抵消的現(xiàn)象）2. 時(shí)移性質(zhì)（Time Shifting）:若ROC不變則3. S域平移（Shifting in the s-Domain）:若則 表明 的ROC是將 的ROC平移

5、了一個(gè) 。這里是指ROC的邊界平移。例.顯然 4. 時(shí)域尺度變換（Time Scaling）:若則例.求 的拉氏變換及ROC當(dāng) 時(shí) 收斂， 時(shí) 收斂 可見(jiàn)：若信號(hào)在時(shí)域尺度變換，其拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。特例5. 共軛對(duì)稱性（Conjugation）：若則 如果 是實(shí)信號(hào)，且 在 有極點(diǎn)（或零點(diǎn)），則 一定在 也有極點(diǎn)（或零點(diǎn)）。這表明：實(shí)信號(hào)的拉氏變換其復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)必共軛成對(duì)出現(xiàn)。當(dāng) 為實(shí)信號(hào)時(shí)，有：由此可得以下重要結(jié)論：或包括 6. 卷積性質(zhì):（Convolution Property）若則顯然有:例.ROC擴(kuò)大 原因是 與 相乘時(shí)，發(fā)生了零極點(diǎn)相抵消的現(xiàn)象。當(dāng)被抵消的

6、極點(diǎn)恰好在ROC的邊界上時(shí)，就會(huì)使收斂域擴(kuò)大。7. 時(shí)域微分:（Differentiation in theTime Domain）ROC包括,有可能擴(kuò)大。若則8. S域微分:（Differentiation in the s-Domain）若則例.求 9. 時(shí)域積分:（Integration in the Time Domain ）若包括則包括 如果 是因果信號(hào)，且在 不包含奇異函數(shù)，則初值定理時(shí) ，且在 不包含奇異函數(shù)。Proof:將 在 展開(kāi)為Taylor級(jí)數(shù)有： 10. 初值與終值定理:（The Initial- and Final- Value Theorems)對(duì)上式兩邊做拉氏變換： 如果 是因果信號(hào)，且在 不包含奇異函數(shù)， 除了在 可以有單階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)均在S平面的左半邊，則終值定理是因果信號(hào)，且在 無(wú)奇異函數(shù),證:的實(shí)部 可以大于零，因此 除了在 可以有一階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在S平面的左半平面