人教版導(dǎo)與練總復(fù)習數(shù)學(xué)一輪教學(xué)課件：第三章第二節(jié)第三課時　導(dǎo)數(shù)與不等式

1、第三課時導(dǎo)數(shù)與不等式考點一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式關(guān)鍵能力課堂突破 類分考點 落實四翼角度一構(gòu)造函數(shù)證明不等式例1-1已知函數(shù)f(x)=x+xln x.證明:當x1時,函數(shù)y=f(x)的圖象在直線y=3(x-1)的上方.證明:函數(shù)y=f(x)的圖象在直線y=3(x-1)的上方,等價于不等式f(x)3(x-1)恒成立.令g(x)=f(x)-3(x-1),即g(x)=xln x-2x+3(x1).g(x)=ln x-1,由g(x)=0,得x=e.由g(x)0,得xe;由g(x)0,得1x0.于是在(1,+)上,都有g(shù)(x)g(e)0,所以f(x)3(x-1),因此,當x1時,函數(shù)y=f(x)的圖象在直線

2、y=3(x-1)的上方.解題策略證明f(x)g(x),x(a,b),可以通過構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x).將問題轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)F(x)在x(a,b)上的最小值大于0,即證明了f(x)g(x).角度二轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解題策略將不等式轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)最值來證明不等式,其主要思想是依據(jù)函數(shù)在固定區(qū)間的單調(diào)性,直接求得函數(shù)的最值,然后由f(x)f(x)max或f(x)f(x)min直接證得不等式.一般地,函數(shù)不等式的一邊是與自變量無關(guān)的關(guān)系式時,常用此法.角度三轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值比較解題策略1.證明不等式問題中,若所證明的不等式的兩邊不能求最值或移項后也不能求最值,可利用移項變形構(gòu)造兩個函

3、數(shù),分別求出兩個函數(shù)的最值,利用不等式的傳遞性證明.角度四適當放縮證明不等式證明:當a1時,aex-1ex-1.所以要證f(x)0,只要證ex-1-ln x-10.令g(x)=ex-x-1,則g(x)=ex-1,當x(-,0)時,g(x)0,所以g(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,在(0,+)上單調(diào)遞增,所以g(x)g(0)=0,所以exx+1,當且僅當x=0時,取等號.同理可證ln xx-1,當且僅當x=1時,取等號.由exx+1得ex-1x,當且僅當x=1時,取等號.由ln xx-1得-ln x-x+1,當且僅當x=1時,取等號.所以ex-1-ln x1,所以ex-1-ln x-10,所以當a

4、1時,f(x)0.解題策略導(dǎo)數(shù)法證明不等式中,最常見的是ex和ln x與其他代數(shù)式的結(jié)合問題,對于這類問題,可以考慮先對ex和ln x進行放縮,得到較為簡單的不等式,然后再構(gòu)造函數(shù)進行證明,常用的放縮公式是:(1)exx+1,當且僅當x=0時,取等號;(2)ln xx-1,當且僅當x=1時,取等號,對于具體問題,要結(jié)合題目提供的具體條件尋找合適的不等式進行放縮.針對訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=xln x.求證:f(x)0知,存在x10,當x(x1,x2)時,f(x)0,所以f(x)在x(x1,x2)上是增函數(shù),又因為f(0)=0,所以當x(x1,0)時,f(x)0,所以f(x)在(x1,0)上是

5、減函數(shù),在(0,x2)上是增函數(shù),所以x=0是f(x)的極值點,所以a=1.2.已知函數(shù)f(x)=ex-asin x(其中e=2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù)),0為f(x)的一個極值點.(2)證明:f(x)x成立.(2)證明:由(1)知,函數(shù)f(x)=ex-sin x,由f(x)-x=ex-x-sin x,令g(x)=ex-x,因為g(x)=ex-1,當x0時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增;當x0時,g(x)sin x,所以f(x)-x=ex-x-sin x0,即f(x)x成立.3.已知函數(shù)f(x)=a(x2-x)-ln x(aR).(1)當a=1時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;3.已知函數(shù)f

6、(x)=a(x2-x)-ln x(aR).考點二利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問題角度一分離參數(shù)法解決不等式恒(能)成立問題解題策略1.利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的不等式問題,若能夠分離參數(shù),則常將問題轉(zhuǎn)化為形如af(x)(或af(x)的形式,通過求函數(shù)y=f(x)的最值求得參數(shù)的取值范圍.2.求參數(shù)的取值范圍的方法(1)不等式恒成立問題的求解方法:af(x)在xD上恒成立,則af(x)max(xD);af(x)在xD上恒成立,則af(x)min(xD).(2)不等式能成立問題的求解方法:af(x)在xD上能成立,則af(x)min(xD);af(x)在xD上能成立,則af(x)max(xD).角度二

7、最值轉(zhuǎn)化法求參數(shù)的范圍解:f(x)=a(ex+xex)-2(x+1)=(x+1)(aex-2).(1)當a0時,f(x)在-1,1上單調(diào)遞減,由f(x)max=f(-1)=-ae-10,得a=0.解題策略1.含參數(shù)不等式恒成立問題,若不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后不能求最值,則常用最值轉(zhuǎn)化法求參數(shù)的取值范圍,常見方法如下:f(x)0在xD上恒成立,則f(x)min0在xD上恒成立;f(x)0在xD上恒成立,則f(x)max0在xD上恒成立.針對訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=ln x-ax,aR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;1.已知函數(shù)f(x)=ln x-ax,aR.(2)對于給定的正數(shù)a,若存在x0,使

8、得f(x0)0,求正數(shù)a的取值范圍.考點三導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問題解題策略含全稱、存在量詞不等式恒成立問題的解題方法(1)存在x1A,任意x2B,使f(x1)g(x2)成立,則f(x)maxg(x)max;(2)任意x1A,存在x2B,使f(x1)g(x2)成立,則f(x)ming(x)min;(3)任意x1A,x2B,使f(x1)g(x2),則f(x)ming(x)max;(4)存在x1A,x2B,使f(x1)g(x2),則f(x)ming(x)max.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;當0a0得x(0,a)(1,+),所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a)和(1,+);由f(x)0得ax1時,由f(x)0得x(0,1)(a,+),此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(a,+).由f(x)0得1xa,此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a).綜上所述,當a0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1);當0a1時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(a,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a).(2)當a1時,若存在x11,2,使得對任意的x21,2,f(x1)0),a為常數(shù),若函數(shù)f(x)有兩個零點x