踏花歸來馬蹄香2017浙江卷第21題別解賞析與思考

1、踏花歸來馬蹄香-2017浙江卷第21題“別解”賞析與思考李承法（浙江省開化中學(xué)324300）手機2017浙江卷第21題與拋物線有關(guān)的最(極)值問題，這道題若是不加以思考，直接計算，則是計算量大，容易出錯，而若是將思考量增大，則會減少計算，注重將幾何問題本質(zhì)提煉，并與相關(guān)知識的聯(lián)系(如平面幾何，向量、函數(shù)、方程、不等式等)合理轉(zhuǎn)化，就會有精彩的解答 圖12017浙江卷第21題：如圖，已知拋物線，點，拋物線上的點，過點作直線的垂線，垂足為（ = 1 * ROMAN I）求直線斜率的取值范圍；（ = 2 * ROMAN II）求的最大值解：（）設(shè)直線AP的斜率為，則=，因為，所以直線AP斜率的取值范

2、圍是以下第（）小題由于解法固定且簡單，將不再另外求解以下為第（ = 2 * ROMAN II）小題兩種視角-幾何視角和代數(shù)視角下各種解法探析1幾何視角下解法探析圖2解法一：設(shè)的中點為，則，點在以為直徑的圓周上如圖1，且連結(jié)并延長交圓于，則 ，其中為圓的半徑又，故令，則，令得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減因此，當(dāng)時，取得最大值所以的最大值為評注：此解法運用了平面幾何中圓的相關(guān)性質(zhì)：直徑所對的圓周角為直角；圓中相交弦定理等知識，優(yōu)化思維，簡化計算，最后同前面解法一樣構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出問題的最值圖3變式：將條件“過點作直線的垂線，垂足為”改為：“過點作直線與直線相交于點，且”，其它條件

3、不變，求的最大值簡解：同前一樣分析知，點在的外接圓上，且滿足，則，此時的半徑，以下解法同前，（略去）解法二：設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立的最大值為評注：此法利用向量的數(shù)量積的幾何意義的逆用，即恰好等于的模與在方向上的投影的積，即；另外，由此得到了關(guān)于的四次函數(shù)式后，又運用常見的配方法，解決了高次函數(shù)最值問題此解法新穎，思維深刻，幾何背景搭臺，代數(shù)唱戲，實有創(chuàng)新2代數(shù)視角下的解析解法三：考慮參數(shù)方程設(shè)，直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點在以為直徑的圓上，而以為直徑的圓方程為：，將直線的參數(shù)方程代入圓的方程得，設(shè)，以下利用導(dǎo)數(shù)求最大值的過程則同上，故略去評注：此法最為簡單，線段長度之積，自

4、然聯(lián)想?yún)?shù)方程使高考中解答這道題會更簡捷利索些解法四：（）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點的橫坐標(biāo)是 ，因為由（），所以，=，= =，所以，令，因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)=時，|PA|PQ| 取得最大值評注：此解法是充分運用坐標(biāo)，方程思想，但解法顯得繁，計算量大，容易出現(xiàn)差錯解法五：設(shè)，直線AP的斜率為，則=，設(shè)直線的方程為，即，若，此時，；若，直線的斜率，直線的方程為，即，將直線與直線方程聯(lián)立，解得點的橫坐標(biāo)是 ，接下來可用導(dǎo)數(shù)工具來最大值設(shè)，則，令得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減因此，當(dāng)時，取得最大值所以的最大值為評注：此解法運用坐標(biāo)思想，利用了直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是常用方法之一。綜上，解析幾何問題的本質(zhì)是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì)，圖形問題代數(shù)化是解析幾何的本質(zhì)。函數(shù)建模能為解答最值試題增添了一抹亮色解析幾何的關(guān)鍵在于找到最好的方法解決問題，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法，在平面幾何得出的結(jié)論就要大膽應(yīng)