2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第四章　三角函數(shù)、解三角形課時(shí)規(guī)范練25　正弦、余弦定理與解三角形

1、 課時(shí)規(guī)范練25正弦、余弦定理與解三角形 基礎(chǔ)鞏固組1.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,則c=()A.12B.1C.3D.22.(2020陜西西安中學(xué)八模,理9)若ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,則ab=()A.32B.43C.2D.33.在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sinAsinB=ac,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,則ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰非等邊三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形4.在ABC中,B=4,BC邊上的高等于13BC,則cos

2、A=()A.31010B.1010C.-1010D.-310105.在ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,則ABC的周長(zhǎng)為()A.7.5B.7C.6D.56.(多選)(2020山東菏澤一中月考,9)在ABC中,給出下列4個(gè)命題,其中正確的命題是()A.若AB,則sin Asin BB.若sin Asin B,則AB,則1sin2A1sin2BD.若Acos2B7.如圖所示,長(zhǎng)為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為,則坡度值tan =.8.(2

3、020河北武邑宏達(dá)學(xué)校期末)在ABC中,a=2,c=10,.(補(bǔ)充條件)(1)求ABC的面積;(2)求sin(A+B).從b=4,cos B=-55,sin A=1010這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.綜合提升組9.(2020河北保定一模,理6)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且acos C,bcos B,ccos A成等差數(shù)列,若ABC外接圓的半徑為1,則b=()A.32B.2C.3D.210.(多選)(2020山東煙臺(tái)模擬,11)在ABC中,D在線(xiàn)段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cosCDB=-55,則()A.sinCDB=310B.ABC

4、的面積為8C.ABC的周長(zhǎng)為8+45D.ABC為鈍角三角形11.(2020河南開(kāi)封三模,理16)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=2,c=33,tan A=2tan B,則cos A=,ABC的面積為.創(chuàng)新應(yīng)用組12.(2020全國(guó)1,理16)如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開(kāi)圖中,AC=1,AB=AD=3,ABAC,ABAD,CAE=30,則cosFCB=.13.(2020福建福州質(zhì)量檢測(cè))在CD=AD,sinBAC=32114,AC=877這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下列問(wèn)題中并解答.已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形,AB=1,BD=7,AD=2,求BC的長(zhǎng).參考答案

5、課時(shí)規(guī)范練25正弦、余弦定理與解三角形1.B由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12,整理得c2-2c+1=0,解得c=1.故選B.2.Dbsin 2A=asin B,則sin B2sin Acos A=sin Asin B,因?yàn)閟in Asin B0,故cos A=12,且A(0,),故A=3.由c=2b,得sin C=2sin B=2sin23-C,化簡(jiǎn)整理得到cos C=0,且C(0,),故C=2,B=6,ab=sinAsinB=3212=3.故選D.3.C因?yàn)閟inAsinB=ac,所以ab=ac,所以b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以

6、cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.因?yàn)锳(0,),所以A=3,所以ABC是等邊三角形.4.C如圖,設(shè)BC邊上的高為AD,則BC=3AD.結(jié)合題意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD2+DC2=5AD,AB=2AD.由余弦定理,得cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=2AD2+5AD2-9AD222AD5AD=-1010,故選C.5.Dbcos A+acos B=c2,a=b=2,由余弦定理可得bb2+c2-a22bc+aa2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,則ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=2+2+1=5.故選D.6.ABD若AB,則ab

7、,由正弦定理得2Rsin A2Rsin B,所以sin Asin B,故A正確;同理B正確;當(dāng)A=120,B=30時(shí),1sin2A0,故C錯(cuò)誤;若AB,則sin Asin B,sin2Asin2B,即1-cos2Acos2B,故D正確.故選ABD.7.2315在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且+ACB=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos =516,則sin =23116,所以tan =sincos=2315.8.解若選,(1)在ABC中,因?yàn)閍=2,c=10,

8、b=4,所以cos C=a2+b2-c22ab=(2)2+42-(10)2224=22,因?yàn)镃(0,),所以sin C=1-cos2C=22,所以S=12absin C=122422=2.(2)在ABC中,A+B=-C.所以sin(A+B)=sin C=22.若選,(1)因?yàn)閏os B=-55,B(0,),所以sin B=1-cos2B=255,因?yàn)閍=2,c=10,所以S=12acsin B=12210255=2.(2)因?yàn)閍=2,c=10,cos B=-55,由b2=a2+c2-2accos B,得b2=(2)2+(10)2-2210-55=16,解得b=4,由bsinB=csinC,解得

9、sin C=22,在ABC中,A+B=-C,sin(A+B)=sin C=22.若選,依題意,A為銳角,由sin A=1010,得cos A=1-sin2A=31010,在ABC中,因?yàn)閍=2,c=10,cos A=31010,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得(2)2=b2+(10)2-21031010b,解得b=2或b=4,(1)當(dāng)b=2時(shí),S=12bcsin A=122101010=1.當(dāng)b=4時(shí),S=12bcsin A=124101010=2.(2)由asinA=csinC,得sin C=22,在ABC中,A+B=-C,sin(A+B)=sin C=22.9.C由題意,得

10、2bcos B=acos C+ccos A,由正弦定理,得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即2sin Bcos B=sin(A+C)=sin B,故cos B=12,則B=3.又ABC外接圓的半徑為1,則b=2rsin B=3.故選C.10.BCD因?yàn)閏osCDB=-55,所以sinCDB=1-cos2CDB=255,故A錯(cuò)誤;設(shè)CD=a,則BC=2a,在BCD中,BC2=CD2+BD2-2CDBDcosCDB,解得a=5,所以SDBC=12BDCDsinCDB=1235255=3,所以SABC=3+53SDBC=8,故B正確;因?yàn)锳DC=-CDB,所以co

11、sADC=cos(-CDB)=-cosCDB=55,在ADC中,AC2=AD2+CD2-2ADDCcosADC,解得AC=25,故ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=3+5+25+25=8+45,故C正確;因?yàn)锳B=8為最大邊,所以cos C=BC2+AC2-AB22BCAC=-350,即C為鈍角,所以ABC為鈍角三角形,故D正確.故選BCD.11.32332由正弦定理得bc=sinBsinC=sinBsin(A+B)=sinBsinAcosB+cosAsinB=tanBsinA+cosAtanB=233.將tan B=12tan A代入上式得cos A=32,故sin A=12.所以SABC=1

12、2bcsin A=1223312=332.12.-14由題意得BD=2AB=6,BC=AC2+AB2=2.D,E,F重合于一點(diǎn)P,AE=AD=3,BF=BD=6,在ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2ACAEcosCAE=12+(3)2-213cos 30=1,CE=CF=1.在BCF中,由余弦定理,得cosFCB=BC2+CF2-BF22BCCF=22+12-(6)2221=-14.13.解由題意作出圖形,AB=1,BD=7,AD=2,由余弦定理得cosBAD=AB2+AD2-BD22ABAD=1+4-7221=-12,又0BAD,BAD=23,四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形,BAD+BCD=,BCD=3,若選,CD=AD,CD=2,則cosDCB=CD2+BC2-BD22CDBC=4+BC2-722BC=12,解得BC=3或BC=-1(舍).若選,sinBAC=32114,四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形,BAC=BDC.在BCD中,由正弦定理得BCsinBDC=BDsinBCD=732=2213,BC=2213sinBDC=2213sinBAC=221332114=