高考數(shù)學理科二輪復習專題1不等式與線性規(guī)劃含答案

1、第2講不等式與線性規(guī)劃考情解讀(1)在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進行兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題基本不等式主要考查求最值問題，線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問題(2)多與集合、函數(shù)等知識交匯命題，以填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題1四類不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc0(a0)，再求相應一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集(2)簡單分式不等式的解法變形eq f(fx,gx)0(0(1時，af(x)ag(x)f(x)g(x)；當0aa

2、g(x)f(x)1時，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0；當0alogag(x)f(x)0，g(x)0.2五個重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR)(3)eq f(ab,2)eq r(ab)(a0，b0)(4)ab(eq f(ab,2)2(a，bR)(5) eq r(f(a2b2,2)eq f(ab,2)eq r(ab)eq f(2ab,ab)(a0，b0)3二元一次不等式(組)和簡單的線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等(2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：畫出可行域

3、；根據(jù)線性目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；求出目標函數(shù)的最大值或者最小值4兩個常用結(jié)論(1)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,0.)(2)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,0.)熱點一一元二次不等式的解法例1(1)(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|xf(1,2)，則f(10 x)0的解集為_(2)已知函數(shù)f(x)(x2)(axb)為偶函數(shù)，且在(0，)單調(diào)遞增，則f(2x)0的解集為_思維啟迪(1)利用換元思想，設10 xt，先解f(t)

4、0.(2)利用f(x)是偶函數(shù)求b，再解f(2x)0.答案(1)x|xlg 2(2)x|x4解析(1)由已知條件010 xeq f(1,2)，解得x0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.思維升華二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學的基礎知識，也是高考的熱點，“三個二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法(1)不等式eq f(x1,2x1)0的解集為_(2)已知p：x0R，mxeq oal(2,0)10，q：xR，x2mx10.若pq為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是_答案(1)(eq f(1,2)，1(2)(2,0)解析(1)原不等式等價于(x1)(2x1)0或x10，即eq f(1,2)x

5、1或x1，所以不等式的解集為(eq f(1,2)，1(2)pq為真命題，等價于p，q均為真命題命題p為真時，m0；命題q為真時，m240，解得2m2.故pq為真時，2m0，且eq f(m,3)eq f(n,4)1.所以eq f(m,3)eq f(n,4)(eq f(f(m,3)f(n,4),2)2(當且僅當eq f(m,3)eq f(n,4)eq f(1,2)，即meq f(3,2)，n2時，取等號)所以eq f(m,3)eq f(n,4)eq f(1,4)，即mn3，所以mn的最大值為3.(2)2xeq f(2,xa)2(xa)eq f(2,xa)2a2eq r(2xaf(2,xa)2a42

6、a，由題意可知42a7，得aeq f(3,2)，即實數(shù)a的最小值為eq f(3,2).熱點三簡單的線性規(guī)劃問題例3(2013湖北)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為_元思維啟迪通過設變量將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題答案36 800解析設租A型車x輛，B型車y輛時，租金為z元，則z1 600 x2 400y，且x，y滿足eq blcrc (avs4alco1(xy21,yx7,36x60y900，,x，y0，x，yN)

7、畫出可行域如圖，直線yeq f(2,3)xeq f(z,2 400)過點A(5,12)時縱截距最小，所以zmin51 6002 4001236 800，故租金最少為36 800元思維升華(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標函數(shù)的最優(yōu)解(3)對于應用問題，要準確地設出變量，確定可行域和目標函數(shù)(1)已知實數(shù)x，y滿足約束條件eq blcrc (avs4alco1(x0，,4x3y4,y0)，則weq f(y1,x)的最小值是_(2)(2013

8、北京)設關(guān)于x，y的不等式組eq blcrc (avs4alco1(2xy10，,xm0)表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x02y02，求得m的取值范圍是_答案(1)1(2)eq blc(rc)(avs4alco1(，f(2,3)解析(1)畫出可行域，如圖所示weq f(y1,x)表示可行域內(nèi)的點(x，y)與定點P(0，1)連線的斜率，觀察圖形可知PA的斜率最小為eq f(10,01)1.(2)當m0時，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點P(x0，y0)滿足x02y02，因此m0.如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域要使可行域內(nèi)包含yeq f(

9、1,2)x1上的點，只需可行域邊界點(m，m)在直線yeq f(1,2)x1的下方即可，即meq f(1,2)m1，解得meq f(2,3).1幾類不等式的解法一元二次不等式解集的端點值是相應一元二次方程的根，也是相應的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，即二次函數(shù)的零點；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)來解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化2基本不等式的作用二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題解決問題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用

10、基本不等式的切入點，并創(chuàng)造基本不等式的應用背景，如通過“代換”、“拆項”、“湊項”等技巧，改變原式的結(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應用條件利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個條件缺一不可3線性規(guī)劃問題的基本步驟(1)定域畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應；(2)平移畫出目標函數(shù)等于0時所表示的直線l，平行移動直線，讓其與平面區(qū)域有公共點，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見的幾類目標函數(shù)的幾何意義；(3)求值利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)，求出最值.真題感悟1(2014山東改編)已知實數(shù)x，

11、y滿足axay(0aeq f(1,y21)； ln(x21)ln(y21)；sin xsin y; x3y3.答案解析因為0a1，axy.采用賦值法判斷，中，當x1，y0時，eq f(1,2)1，不成立中，當x0，y1時，ln 10，數(shù)形結(jié)合知，滿足eq blcrc (avs4alco1(12a14，,1a4)即可，解得1aeq f(3,2).所以a的取值范圍是1aeq f(3,2).押題精練1為了迎接2015年3月8日的到來，某商場舉行了促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品的銷售量P萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費用x萬元滿足P3eq f(2,x1)，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本(102P)萬元(不含促銷

12、費用)，產(chǎn)品的銷售價格定為(4eq f(20,P)萬元/萬件，則促銷費用投入_萬元時，廠家的利潤最大？答案1解析設該產(chǎn)品的利潤為y萬元，由題意知，該產(chǎn)品售價為2(eq f(102P,P)萬元，所以y2(eq f(102P,P)P102Px16eq f(4,x1)x(x0)，所以y17(eq f(4,x1)x1)172eq r(f(4,x1)x1)13(當且僅當eq f(4,x1)x1，即x1時取等號)，所以促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大2若點P(x，y)滿足線性約束條件eq blcrc (avs4alco1(r(3)xy0，,xr(3)y20，,y0，)點A(3，eq r(3)，O為坐標

13、原點，則eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()的最大值為_答案6解析由題意，知eq o(OA,sup6()(3，eq r(3)，eq o(OP,sup6()(x，y)，則eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()3xeq r(3)y.令z3xeq r(3)y，如圖畫出不等式組所表示的可行域，可知當直線yeq r(3)xeq f(r(3),3)z經(jīng)過點B時，z取得最大值由eq blcrc (avs4alco1(r(3)xy0，,xr(3)y20，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,yr(3)，)即B(1，eq r(3)，故z的最大值為31eq r

14、(3)eq r(3)6.即eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()的最大值為6.3如果關(guān)于x的不等式f(x)0和g(x)0的解集分別為(a，b)，(eq f(1,b)，eq f(1,a)，那么稱這兩個不等式為“對偶不等式”，如果不等式x24eq r(3)xcos 220與不等式2x24xsin 210為“對偶不等式”，且(eq f(,2)，)，則_.答案eq f(5,6)解析由題意可知ab2，ab4eq r(3)cos 2，eq f(1,b)eq f(1,a)2sin 2，即eq f(ab,ab)2sin 2，2eq r(3)cos 22sin 2，tan 2eq r(3).(

15、eq f(,2)，)，2(，2)，2eq f(5,3).eq f(5,6).(推薦時間：50分鐘)一、填空題1函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，x0，,x1，x0，)則不等式x(x1)f(x1)1的解集是_答案x|xeq r(2)1解析當x1時，原不等式可化為x(x1)(x)1，解得x21恒成立，所以xlg x(x0)；sin xeq f(1,sin x)2(xk，kZ)；x212|x|(xR)；eq f(1,x21)1(xR)答案解析應用基本不等式：x，y0，eq f(xy,2)eq r(xy)(當且僅當xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應用條件及取等號的條件當

16、x0時，x2eq f(1,4)2xeq f(1,2)x，所以lgeq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,4)lg x(x0)，故不正確；運用基本不等式時需保證“一正、二定、三相等”，而當xk，kZ時，sin x的正負不定，故不正確；由基本不等式可知，正確；當x0時，有eq f(1,x21)1，故不正確3(2013重慶改編)關(guān)于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a_.答案eq f(5,2)解析由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得aeq f

17、(5,2).4(2014重慶改編)若log4(3a4b)log2eq r(ab)，則ab的最小值是_答案74eq r(3)解析由題意得eq blcrc (avs4alco1(r(ab)0，,ab0，,3a4b0，)所以eq blcrc (avs4alco1(a0，,b0.)又log4(3a4b)log2eq r(ab)，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故eq f(4,a)eq f(3,b)1.所以ab(ab)(eq f(4,a)eq f(3,b)7eq f(3a,b)eq f(4b,a)72eq r(f(3a,b)f(4b,a)74eq r(3)，當且僅當eq f(3a

18、,b)eq f(4b,a)時取等號5已知變量x，y滿足約束條件eq blcrc (avs4alco1(xy50，,x2y10,x10)，則zx2y1的最大值為_答案8解析約束條件eq blcrc (avs4alco1(xy50，,x2y10，,x10)所表示的區(qū)域如圖，由圖可知，當目標函數(shù)過A(1,4)時取得最大值，故zx2y1的最大值為12418.6已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，1)，B(0,1)是其圖象上兩點，則不等式|f(1ln x)|1的解集是_答案(eq f(1,e)，e2)解析|f(1ln x)|1，1f(1ln x)1，f(3)f(1ln x)f(0)，又f(x)在R上為減

19、函數(shù)，01ln x3，1ln x2，eq f(1,e)x0，則eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值為_答案eq f(3,2)eq r(2)解析點A(1,1)在直線2mxny20上，2mn2，又mn0，m0且n0.eq f(1,m)eq f(1,n)(eq f(1,m)eq f(1,n)eq f(2mn,2)eq f(1,2)(2eq f(2m,n)eq f(n,m)1)eq f(1,2)(32eq r(f(2m,n)f(n,m)eq f(3,2)eq r(2)，當且僅當eq f(2m,n)eq f(n,m)，即neq r(2)m時取等號，eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值為e

20、q f(3,2)eq r(2).二、解答題9設集合A為函數(shù)yln(x22x8)的定義域，集合B為函數(shù)yxeq f(1,x1)的值域，集合C為不等式(axeq f(1,a)(x4)0的解集(1)求AB；(2)若CRA，求a的取值范圍解(1)由x22x80，得4x0，即x1時，y211，此時x0，符合要求；當x10，即x0時，Cx|4xeq f(1,a2)，不可能CRA；當a0時，Cx|x4或xeq f(1,a2)，若CRA，則eq f(1,a2)2，a2eq f(1,2)，eq f(r(2),2)a0.故a的取值范圍為eq f(r(2),2)，0)10已知函數(shù)f(x)eq f(1,3)ax3bx2(2b)x1在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，且0 x11x20；(2)若za2b，求z的取值范圍(1)證明求函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)ax22bx2b.由函數(shù)f(x)在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，知x1，x2是f(x)0的兩個根，所以f(x)a(xx1)(xx2)當x0，由xx10，xx20