圓錐曲線中斜率

1、圓錐曲線之斜率之積為-1橢圓中的垂直問題OP 1OQ雙曲線中的垂直問題斜率之積為-1、拋物線中的垂直問題 鼻上日拋物線中的定點(diǎn)問題 定點(diǎn)問題橢圓中的定點(diǎn)問題一、OP1OQ 問題X2 V 2例、設(shè)橢圓一 + ： = 10 b 0）的中心為O,過O作兩條垂直的射線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)。 a 2 b 2過原點(diǎn)O做直線PQ的垂線OD，D為垂足。1 + 1 = 1 + 1（1）求證：|OP|2 |OQ|2 a2 b2（2）求點(diǎn)D的軌跡。x2V2框架一：如圖，橢圓一 + a 2 b 2（3）若d為。到PQ的距離，求d的值。=1（a b 0），O為坐標(biāo)暗點(diǎn)，過。作兩條垂直的射線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O做直

2、線PQ的垂線OD，D為垂足，d為。到PQ的距離。有如下框 架。OP 1OQ。+二 + 土。D的軌跡為工2 + y2 = a2b2。d =湖pp2 |OQ|2 a2 b2a2 + b2展 2 + b 2運(yùn)用: x 2y 2 ，1、設(shè)圓 x2 + y2 = 12(0 t 0)。為坐標(biāo)暗點(diǎn)過。作兩條垂直的射線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),則：(1) ab J a2 + b2 瀝 s b 0)+ = 1例、巳知橢圓2 b2的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為氏2 且與橢圓2 4有相同的離心率.(I )求橢圓M的方程；(II)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓使得該圓的任意一條切線與M有兩個(gè)交點(diǎn) 4、B 且OA 1OB若存在寫出該圓的方程并求1AB1

3、的取值范圍若不存 在說(shuō)明理由.變式：X 2一1、過O作兩條相互垂直的直線交橢圓或+ y2= 1分別于A C與B D。則四邊形ABCD面 積的最小值是.一X 2 v 2.一2. AB是過橢圓言+ ； = 1中心的任意弦，/是線段AB的垂直平分線.M是l上異于橢 54圓中心的點(diǎn)。若M是l與橢圓C2的交點(diǎn)，求3MB的面積的最小值.X 2 V 2框架：設(shè)橢圓一+ ；=1(。 b 0)的中心為原點(diǎn)，不過原點(diǎn)O的直線l交橢圓與P、Q連 a 2 b 2點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線PQ的垂線，垂足為D, d表示。到PQ的距離。有如下框架圖：0 0 = d ab=- + - b0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F (1, 0), O為坐標(biāo)原

4、點(diǎn).a 2 b 2(I)已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；(II)設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)。若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有|OA|2 + |OB|2|AB|2 ,求 a 的取值范圍.Y TOC o 1-5 h z 一一m 2X 2一 _ _變式：已知m 1,直線l: X - my -項(xiàng)=0,橢圓C : - + y2 = 1, F1, F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).(I)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)f2時(shí)，求直線l的方程;(II)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，AAFF，ABFF的重心分別為G，H.若原點(diǎn) 1 21 2。在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.X

5、2y 2雙曲線一-：=1(。 0,b 0)，O為坐標(biāo)暗點(diǎn)，過O作兩條垂直的射線交橢圓于P、Q a 2b 2兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O做直線PQ的垂線OD, D為垂足，d為。到PQ的距離。有如下框架。OP 1 OQ+ = - O Q 的軌跡為尤 2 + y 2 = 2b2 o d =.瀝OP2 OQl2 a2 b2a2 一b2vb2-a 2例、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1:2x2 - y2 = 1.過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成 的三角形的面積；設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓X2 + y2 = 1相切，求證：OPOQ；設(shè)橢圓C2 : 4

6、x2 + y2 = 1.若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且OMON,求證：O到 直線MN的距離是定值.變式：已知雙曲線C:擋-尹=1(a 0,b 0)的離心率為 3，右準(zhǔn)線方程為x =蘭a 2 b 23求雙曲線C的方程；設(shè)直線l是圓O : x2 + y2 = 2上動(dòng)點(diǎn)P(x0, y0)(x0y。0)處的切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A, 8,證明AOB的大小為定值.定點(diǎn)問題:一、拋物線中的定點(diǎn)問題 框架：A，B是拋物線y2 = 2px(p 0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中a, P分別為OA. OB的傾斜角,則有如下框架:冗OA項(xiàng)風(fēng)%-1。倒旦過定點(diǎn)(2已0)= a- Pl =尋例、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)p,0V

7、2 J，且與直線x = P相切，其中p0.(I)求動(dòng)圓圓心C的軌跡的方程;(II)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為a和P，當(dāng)以,P變化且a + P為定值(0 V兀)時(shí)，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).變式：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足AOBO (如圖所示).(1)求左AOB的重心6 (即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程；(H)AAOB的面積是否存在最小值若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.二、橢圓中的定點(diǎn)問題x 2 v 2框架：A, B是一+ ： = 1(。 b 0)上異于右頂點(diǎn)D的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中以,P分別為 a 2 b 2DA DB的傾斜角，則有如下框架：DA 1 DB o kDA, kDB =T o AB 恒過定點(diǎn)(+； ,0) o |以 邛| =：例、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3,最小值為1.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)若直線l: y = kx + m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn).求證:直線1過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)