偏微分課程課件8_拋物型方程的有限差分方法(II)

1、（五）多維問題1.一維格式的直接推廣截斷誤差Fourier方法分析穩(wěn)定性：引入記號向前差分格式P維顯格式穩(wěn)定性條件為二維或高維情況顯格式不合適轉(zhuǎn)向考慮隱格式無條件穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）截斷誤差：無條件穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）為提高精度，采用Grank-Nicolson格式一維隱格式：絕對穩(wěn)定，系數(shù)矩陣為三對角矩陣 并可用追趕法求解 高維隱格式：絕對穩(wěn)定，但系數(shù)矩陣非 三對角矩 陣，不能用追趕法求解，計算量大。顯格式：穩(wěn)定性限制嚴(yán)格Alternating direct implicit method隱格式將問題: 一維模型的隱格式可用追趕法計算 多維模型的隱格式, 系數(shù)矩陣是塊三角矩陣, 追趕法失效, 需要采

2、用迭代算法? 多維模型可否能建立追趕法計算的隱格式!2.交替方向隱式格式同時在n+1層取值，并無條件穩(wěn)定同時在n層取值，條件穩(wěn)定顯格式將P-R：Peacemen-Rachford格式D: Douglas格式LOD：Locally One Dimensional Method， 局部一維法PC ： Predict-Corrector Method，預(yù)校法 ADI（Alternating Direct Implict Method 交替方向隱式法）以及相關(guān)格式（1）PR格式（二階精度、絕對穩(wěn)定）第一個ADI格式P-R(Peaceman-Rachford)格式是1955年提出的,將第n層至第n+1層

3、的計算分成兩步特點: 引入過渡層優(yōu)點: 追趕法+無條件穩(wěn)定的隱格式缺點: 無條件穩(wěn)定僅對二維模型成立基本思想：將每個時間步分為兩個小時間步，即分?jǐn)?shù)時間步，每個空間維對應(yīng)一個小時間步，在第i個小時間步，采用第i個空間變量用隱式，另一個空間變量為隱式的格式。X方向隱Y方向隱相加相減，依次得所獲兩式消去過渡層得利用Taylor展式得考察格式穩(wěn)定性，將得增長因子變形為故PR法絕對穩(wěn)定，并且為二階格式三維情形，PR 格式不再無條件穩(wěn)定PR格式Dyakonov格式二階精度絕對穩(wěn)定(2) Douglas格式（1964年提出）變形為由PR格式的等價形式Douglas格式也是交替方向隱格式，精度及穩(wěn)定性完全同P

4、-R格式，同時出現(xiàn) ，存儲量大，但是可以推廣到三維。隱格式：新的時間層具有多于一個節(jié)點3維Douglas格式優(yōu)點: 追趕法+無條件穩(wěn)定的隱格式 是三層格式，比PR格式多一層存貯， 但是易于推廣到高維Douglas格式特點: 引入過渡層+替換二維：利用PR格式存儲量少三維: D格式3.局部一維格式利用最簡顯式的LOD格式CN型LOD格式基本思想：將一個時間區(qū)間分成n個子區(qū)間，用一種差分格式來近似代替一維方程將n維問題的每個時間步分為n個子步，在第i個子步中將問題視為第i維空間上的一維問來處理。 直觀上這可理解為在每個時間步用n個順序的一維離散擴(kuò)過程模擬一個n維的擴(kuò)散過程。CN型LOD格式改寫為與

5、P-R格式等價但LOD格式可推廣至三維4 預(yù)測-校正法（PC）分為兩步：時的近似解;b) 再在 用 二階精度格式計算a) 先用一階精度格式給出預(yù)測，LOD隱式校正，顯式與D格式等價5.跳點格式（無條件穩(wěn)定，二階）一維跳點格式可以直接推廣到二維顯格式隱格式為奇數(shù)為偶數(shù)引入差分算子：令兩式相減相鄰時間層已知未知6.三維問題顯隱C-N，無條件穩(wěn)定，二階精度，但必須使用ADI方法計算無條件穩(wěn)定條件穩(wěn)定運用較少PR 格式本章介紹了經(jīng)典的有限差分方法求解拋物型問題的顯格式、隱格式（包括ADI格式）顯格式的優(yōu)點是格式構(gòu)造簡單，每個分量可以獨立求解；隱式構(gòu)造比較復(fù)雜，各分量 需要聯(lián)立求解，優(yōu)點是穩(wěn)定性好，一維

6、問題追趕法有效，而對于高維問題的ADI格式，可以通過求解一系列具有主對角占優(yōu)三對角系數(shù)矩陣的線性方程組來高效求解。課堂練習(xí)P維擴(kuò)散方程顯格式穩(wěn)定性條件是什么？ 交替方向隱式格式的引入是為了解決什么問題？海潮引起初始水位傾斜的濱海承壓含水層地下水位變化的數(shù)值模擬用隱格式離散為：線性代數(shù)方程組采用傳統(tǒng)的求解三對角方程組的追趕法，最終將解隨時間的變化曲線畫出來，可以分析出濱海水位與海潮的一樣具有相同周期，但時間上滯后，其水位變化幅度與海岸線的距離具有衰減性，越遠(yuǎn)水位變化幅度越小。用向前差分格式，向后差分格式Crank-Nicolson格式來求解，取為0.1與0.5進(jìn)行計算。精確解顯格式數(shù)值解，顯格式數(shù)值解在t=0.1時的誤差當(dāng)采用顯格式時，網(wǎng)格比不滿足穩(wěn)定條件，數(shù)值解不收斂t=0.1時顯示格式，隱式格式，CN格式誤差大小的比較。顯格式當(dāng)時間步長減少到原來的1/4，空間步長減少到原來的1/2，誤差減少到原來的1/4，收斂速度為。CN格式當(dāng)時間步長和空間步長同時減少到原來的1/2，誤差減少到原來的1/4，收斂速度為對高維問題的計算，不能不考慮交替方向隱式（ADI） 算法，ADI格式具有無條件穩(wěn)