偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)

1、（五）雙曲型方程及方程組的初邊值問題1.二階雙曲型方程的邊界處理構(gòu)造二階精度的邊界條件確定a,b,c ？得方程組確定a,b,c得方程組右邊界二階精度的邊界條件2.一階雙曲型方程及方程組的邊界條件對流方程怎樣給邊界條件使方程適定，區(qū)域?yàn)閄=1不能給邊界條件X=0不能給邊界條件（初始條件）為對角線元素為負(fù)的對角陣為對角線元素為零的對角陣為對角線元素為正的對角陣S為A的特征向量的列所構(gòu)成的矩陣-0+處邊界條件數(shù)目等于 負(fù)特征值數(shù)目處邊界條件數(shù)目等于 正特征值數(shù)目零特征值不需給出邊界條件-0+3.一階雙曲型方程及方程組的數(shù)值邊界處理三層格式需增補(bǔ)11n+1npQ實(shí)際上是迎風(fēng)格式數(shù)值邊界條件（人工邊界條

2、件）注：采用插值法構(gòu)造邊界條件要用內(nèi)插公式， 使用外推方法往往是不行。即要用穩(wěn) 定的格式構(gòu)造邊界條件.例如：下面的兩個(gè)不可用的邊界條件再如注：改進(jìn)例：考慮微分方程組（半無界問題）定解條件為：思考：不能給出v(x,t)在x=0處的邊界條件， 否則問題不適定。采用Lax-wendroff 格式左邊界需要附加邊界條件計(jì)算方法一、從特征形式出發(fā)特征型:采用迎風(fēng)格式方法二、從方程本身出發(fā)已知邊界條件有：利用第一個(gè)方程：利用第二個(gè)方程：見72頁1 一階雙曲型方程 (1) Lax-Friedrichs格式：（六）二維問題此格式是一階精度的。 下面討論穩(wěn)定性： 那么Von Neumann 條件滿足，格式穩(wěn)定。

3、 (2) Lax-Wendroff格式： 又由Taylor 展開，有 (3) 分?jǐn)?shù)步長法例如：以Lax-Wendroff格式來完成二步法顯式格式穩(wěn)定性有條件限制，多維的更加嚴(yán)格，因此考慮隱格式。（4）隱式格式 全隱格式Crank-Nicolson格式由于隱格式求解二維問題得到的線性方程組其系數(shù)矩陣為寬帶狀，因此求解不甚順利，解決方案：交替方向隱式（ADI ）格式（Alternate Direction Implicit ）（5）ADI（Alternate direction implicit ） 交替方向隱式格式ADI-1：X方向隱格式Y(jié)方向隱格式等價(jià)于ADI-2：二維Beam-Warming

4、格式X方向隱格式Y(jié)方向隱格式格式變形去掉高階項(xiàng)30無條件穩(wěn)定ADI-2：31每一個(gè)子步只對一個(gè)方向是隱式的，系數(shù)矩陣是主對角占優(yōu)的三對角矩陣，可以利用追趕法，減少了計(jì)算量；(2)每個(gè)單步都是各方向隱式差分算子的乘積，保證 了格式具有無條件穩(wěn)定的性質(zhì)；(3)單步格式與相應(yīng)CN格式之差是一個(gè)局部截?cái)嗾`差 不低于CN格式的差分算子，從而保證了格式的局 部截?cái)嗾`差仍為優(yōu)點(diǎn)：32則稱方程組是雙曲型方程組。 如果A,B為實(shí)對稱陣，則方程組是雙曲型方程組，也稱為對稱雙曲型方程組。 2. 一階雙曲型方程組下面以Lax-Wendroff格式為例，討論差分方程： 利用多元Taylor展開，有 故有： 利用Fourier方法可討論上式的穩(wěn)定性：可得增長矩陣： 如