高中數(shù)學(xué)橢圓的基本知識

1、每一個(gè)人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一條成功之路，都是充滿坎坷的，只有那些堅(jiān)信自己目標(biāo)，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的成功但有一點(diǎn)我始終堅(jiān)信，那就是，當(dāng)你能把自己感動(dòng)得哭了的時(shí)候，你就成功了！橢圓的基本知識一、基本知識點(diǎn)知識點(diǎn)一：橢圓的定義：橢圓三定義，簡稱和比積1、定義1:(和)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦 點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距 ，定值為。2、定義2:(比)到定點(diǎn)和定直線的距離之比是定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定 直線為準(zhǔn)線，定值為。3、定義3:(積)到兩定點(diǎn)連線的斜率之積為定

2、值的點(diǎn)的軌跡是橢圓。兩定點(diǎn)是長軸端點(diǎn)，定值為 m e2 1( 1mb0)的參數(shù)方程為。a b知識點(diǎn)四：橢圓的一些重要性質(zhì)(1)對稱性：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是以 x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對 稱中心的中心對稱圖形，這個(gè)對稱中心就是橢圓的中心。(2)范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x a和yb所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足x a, y b。(3)頂點(diǎn)：橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)；22橢圓xT 4 1(ab0)與坐標(biāo)軸的四個(gè)頂點(diǎn)分別為。a b橢圓的長軸和短軸。2c c(4)離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表小，記作e c 士2a a因?yàn)閍c0,所以

3、e的取值范圍是0V eb0)上X0, y()點(diǎn)的切線方程，可以用Xo,yo等效代替橢圓方程得到。等效代替后的切線方程是:XXo ayy。1。2X(10)極點(diǎn)與極線：若P0 X0,y0是橢圓f a2 y b21(ab0)外一點(diǎn)，過P0作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為P,P2,則點(diǎn)Po和切點(diǎn)弦P1P2分別稱為橢圓的極點(diǎn)和極線。切點(diǎn)弦P1P2的直線方程即極線方程是X0X諄1 (極線定理)。a2b2(11)中點(diǎn)弦方程和弦中點(diǎn)軌跡:中點(diǎn)弦AB的方程:在橢圓中，若弦AB的中點(diǎn)為M(xo，y。)，弦AB稱為中點(diǎn)弦，則中點(diǎn)弦的方程就是警a2y0yX0,22bay；,是直線方程。弦中點(diǎn)M的軌跡方程：在橢圓中，過橢圓內(nèi)點(diǎn)

4、P0 X0,y0的弦AB ,其中點(diǎn)M的方程就是X0X-2ayo_y b22yr，仍為橢圓。b2X2F 1(ab0)的區(qū)別和聯(lián)系 b22X知識點(diǎn)五：橢圓-2a標(biāo)準(zhǔn)方程22-2 -2-1(ab0)a b22yX% 72 1(ab0)ab圖形r1B,%o a父T !性質(zhì)住日焦距范圍對稱性頂點(diǎn)軸長離心率準(zhǔn)線方程焦半徑二、規(guī)律方法1、如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件a,b；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量 a,b,c的幾何意義a,b,c構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三邊，滿足勾股定理。f /b3、如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)

5、的位置？橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看 x2,y2的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。4、方程Ax2 By2 C(ABC 0)是表示橢圓的條件。5、求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù) a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6、共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異22共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓x2y2a b1(ab0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為2x2 a m2-2-y- 1(m b2),此類

6、問題常用待定系數(shù)法求解。 b m7、如何求解與焦三角形PFiF2(P是橢圓上的點(diǎn))有關(guān)的計(jì)算問題？焦三角形：以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi, F2為頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)P在橢圓上的三角形稱為焦三角形。半角是指F1PF2的一半。則焦三角形的面積為：S b2tan。28、直線與橢圓問題的有關(guān)計(jì)算問題(韋達(dá)定理的應(yīng)用)(1)弦長公式(2)中點(diǎn)弦問題(點(diǎn)差法)三、四種題型與三種方法(一)四種題型221、已知橢圓C： 1內(nèi)有一點(diǎn)A(2,1) ,F為橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一動(dòng)25 165點(diǎn)，求PA 3 PF |的最小值。222、已知橢圓C： 1內(nèi)有一點(diǎn)A(2,1) ,F為橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一動(dòng) 25

7、 16點(diǎn)，求pa pf的最大值與最小值。223、已知橢圓C : 1外有一點(diǎn)A(5,6),l為橢圓C的左準(zhǔn)線，P為橢圓C上的一動(dòng) 25 16點(diǎn)，點(diǎn)P至以的距離為d ,求|PA 3d的最小值。每一個(gè)人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想叱功的條成功之路，都是充滿坎坷的，只有那些堅(jiān)信自己目標(biāo)，不斷努力、不麻奮斗但有一點(diǎn)我始終堅(jiān)信，那就是，當(dāng)你能把自己感動(dòng)得哭了的時(shí)候，你就成4、定長為d（d2y一，。1（ab0）上移動(dòng), b22b2 . . x2求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線l的最短距離。（二）三種方法2 X 1、橢圓-2 a2 y b21（ab0）的切線與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，求

8、三角形AOB的最小面積。2、已知橢圓2X122y-1和直線l : x y 9 0 ,在l上取一點(diǎn)M ,經(jīng)過點(diǎn)M且以橢圓的3焦點(diǎn)Fi,F2為焦點(diǎn)做橢圓，求 M在何處時(shí)所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓。23、過橢圓2x2的焦點(diǎn)的直線交橢圓于 A, B,求 AOB面積的最大值。四、經(jīng)典例題1、如圖，把橢圓2X252y- 1的長軸AB分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上 16半部分于尸2,2尸4尸5尸6尸7七個(gè)點(diǎn)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則AB T）的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓 -2aa每一個(gè)人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一條成功之路，都是充滿坎

9、坷的，只有那些堅(jiān)信自己目標(biāo)，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的成功但有一點(diǎn)我始終堅(jiān)信，那就是，當(dāng)你能把自己感動(dòng)得哭了的時(shí)候，你就成功了！PFP2FP7F x22、已知又下2是橢圓162y91的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 Fi的直線與橢圓交于M , N兩點(diǎn)，則MNF2的周長為（）A. 8B. 162x3、過點(diǎn)A 1, 2)且與橢圓一6C. 25D. 322y- 1的兩個(gè)焦點(diǎn)相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是92214、若橢圓-x L 1的離心率是一，則k的值等于 k 8922x5、F1,F2分別是橢圓-2 a24 1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn) P在橢圓上, b2POF2是面積為J3的正三角形，則b2的值是6、在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為V2 ,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該橢圓的離心率為（B.1C.一2D.47、已知定點(diǎn)A(a,0),其中 0a3,22它到橢圓1上的點(diǎn)的距離的最小值為194求a的值。8、已知F1,F2分別是橢圓2x1002y641的左右焦點(diǎn)，點(diǎn) P在橢圓上。(1)若 F1PF2 一,求 F1PF2 的面積;3PFiPF2的最大值。