維波動(dòng)方程的解題方法及習(xí)題答案

1、第二篇數(shù)學(xué)物理方程物理問題中的二階線性偏微分方程及其解法Abstracts: 1、根據(jù)物理問題導(dǎo)出數(shù)理方程一偏微分方程；2、給定數(shù)理方程的附加條件：初始條件、邊界條件、物理?xiàng)l件（自然條件，連接條件），從而與數(shù)理方程一起構(gòu)成定解問題;3、方程齊次化；4、數(shù)理方程的線性導(dǎo)致解的疊加。一、數(shù)理方程的來源和分類（狀態(tài)描述、變化規(guī)律）1、來源I .質(zhì)點(diǎn)力學(xué)：牛頓第二定律 F m& TOC o 1-5 h z 心2 r彈性體力學(xué) 桿 振動(dòng)：-uir，!） a2 2u（r,t） 0 （波動(dòng)方程）； （彈性定律）t2連續(xù)體力學(xué)膜流體力學(xué)：質(zhì)量守恒律：一 （V） 0；trr熱力學(xué)物態(tài)方程：-v （V ）vr r

2、& f 0 （Euler eq.）.麥克斯韋方程r rr r ri& r r b已Ddd D ; E dl 含 ds eB&r rr r r ri& rrrjgB d0 B0; H dl（jD）dsHjD*r r r rE u, BA,u,A滿足波動(dòng)方程。Lorenz力公式力學(xué)方程；Maxwell eqs.+電導(dǎo)定律電報(bào)方程。.熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理熱傳導(dǎo)方程：k 2T 0；特別：穩(wěn)態(tài)（_ 0）： 20 （Laplace equation）.t擴(kuò)散方程：一 D 20t.量子力學(xué)的薛定謂方程：ih 2u Vu.t 2m2.分類物理過程方程數(shù)學(xué)分類振動(dòng)與波波動(dòng)方程2u J,ju 0 a2 t2雙曲線輸運(yùn)方

3、程能量：熱傳導(dǎo) u2質(zhì)量：擴(kuò)散7 k u 0拋物線穩(wěn)態(tài)方程Laplace equation 2u 0橢圓型、數(shù)理方程的導(dǎo)出推導(dǎo)泛定方程的原則性步驟：(1)定變量：找出表征物理過程的物理量作為未知數(shù)(特征量)，并確定影響未知函數(shù)的自變量。(2)立假設(shè)：抓主要因素，舍棄次要因素，將問題“理想化”-“無理取鬧”(物理趣樂)。(3)取局部：從對(duì)象中找出微小的局部(微元)，相對(duì)于此局部一切高階無窮小均可忽略一線性化。(4)找作用：根據(jù)已知物理規(guī)律或定律，找出局部和鄰近部分的作用關(guān)系。(5)列方程：根據(jù)物理規(guī)律在局部上的表現(xiàn)，聯(lián)系局部作用列出微分方程。Chapter 7 一維波動(dòng)方程的傅里葉解 第一節(jié)一維

4、波動(dòng)方程-弦振動(dòng)方程的建立 弦橫振動(dòng)方程的建立(一根張緊的柔軟弦的微小振動(dòng)問題)(1)定變量：取弦的平衡位置為x軸。表征振動(dòng)的物理量為各點(diǎn)的橫向位移u(x,t),從而速度為ut，加速度為utt.(2)立假設(shè)：弦振動(dòng)是微小的，1 ,因此，sin tan , cos 1 ,又Q_u tan , _u1；弦是柔軟的，即在它的橫截面內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)xx力，則在拉緊的情況下弦上相互間的拉力即張力T(x,t)始終是沿弦的切向(等價(jià)于弦上相互間有小的彈簧相連)；所有外力都垂直于 x軸，外力線密度為F(x,t)；設(shè)弦的線密度(細(xì)長)為 (x,t),重力不計(jì)。(3)取局部：在點(diǎn)x處取弦段dx, dx是如此之小，以至可

5、以把它看成質(zhì)點(diǎn)(微元)。質(zhì)口八，一八，廿 r.,2,2/ U、量微元：(x,t)dx;微弧長：ds 4 dx du (1 dx dx (即這一小段的長度在振動(dòng)過程中可以認(rèn)為是不變的，因此它的密度x,t不隨時(shí)間變化，另外根據(jù) Hooke定律f k x可知，張力T(x,t)也不隨時(shí)間變化，我們把它們分別記為X和T(x).(4)找作用：找出弦段所受的力。外力：F(x,t)dx ,垂直于x軸方向；張力變化：T cos lx dx Tcoslx T(x dx) T(x), x 方向緊繃，Tsin |x dx T sin |x Tux lx dxTux lx 丁氏 *dx，垂直于 x 軸方向。(5)列方程

6、：根據(jù)牛頓第二定律T(x dx) T(x) 0,因 x 方向無位移，故 T(x dx) T(x) T .(x)dxuttF(x,t)dx Tux xdx F(x,t)dx Tuxxdx即，utt Tuxx Wxt),其中f(x,t) 8。是單位質(zhì)量所受外力。一 T如果弦是均勻的，即 為常數(shù)，則可寫a 1：為弦振動(dòng)的傳播速度，則2utt a uxx f (x,t).，, 一 ，2自由振動(dòng)(f 0)： Utt a Uxx 0(齊次萬程)。小結(jié)1：對(duì)于弦的橫振動(dòng)、桿的縱振動(dòng)方程(一根彈性均勻細(xì)桿的微小振動(dòng) 問題)、薄膜的橫振動(dòng)方程(張緊的柔軟膜的微小振動(dòng)問題)，在不受外力情況下，其振動(dòng)的微分方程為：

7、utt a2 2u (齊次方程)其中a為振動(dòng)的傳播的速度。當(dāng)單位質(zhì)量所受外力為f時(shí)，其振動(dòng)微分方程為：utt a2 2u f (非齊次方程)定解問題第一節(jié)從物理問題和相應(yīng)的物理定律導(dǎo)出了其所滿足的偏微分方程，但總是選擇物體內(nèi)部，不含端點(diǎn)或邊界，對(duì)一小部分來討論其運(yùn)動(dòng)狀況，僅反映了物體內(nèi)部各部分之間的相互聯(lián)系，且在區(qū)域內(nèi)部相鄰之間、 相繼時(shí)刻之間的這種聯(lián)系 (規(guī)律)通常與周圍環(huán)境(邊界上) 和初始時(shí)刻對(duì)象(體系)所處的狀態(tài)無關(guān)。僅有方程還不足以確定物體的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橥饨绲淖饔猛ǔＪ峭ㄟ^物體邊界“傳”到內(nèi)部的；一個(gè)方程可能有多個(gè)解，通解中含若干任意常數(shù)(函數(shù))，初始條件和邊界條件就是確 定它們的條件

8、。求一個(gè)微分方程的解滿足一定初始條件和邊界條件的問題稱為定解問題:泛7H方程&定解條件初始條件 邊界條件 銜接條件 自然條件，.初始條件u(x,t)t 0(x)，即已知初位移(x)和初速度(x)Ut(x,t)t 0(x).邊界條件第一類邊界條件-狄利克雷條件(Dirichlet 邊界條件)：直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值。第二類邊界條件-諾依曼條件(Neumann&界條件)：給出未知函數(shù)在邊界上法向?qū)?shù)的值。自由端點(diǎn)邊界(端點(diǎn)不受外力，自由振動(dòng)，意味著弦張力在振動(dòng)方向無分量)屬于此類，邊界條件為ux(0,t) 0或ux(l,t)0第三類邊界條件-羅賓條件：給出未知函數(shù)和其邊界法向?qū)?shù)在邊界上的

9、線性關(guān)系。彈性支撐邊界(端點(diǎn)受到彈簧的約束而無外力)屬于此類，邊界條件為：ux(0,t) hu(0,t) 0Note :初始條件和邊界條件是場(chǎng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的極限。例1.對(duì)弦的橫振動(dòng)問題導(dǎo)出下列情況的定解條件：弦的兩端點(diǎn)x 0和x l固定，用手將弦上的點(diǎn)x c(0 c l)拉開使之與平衡位置的偏離為h(h l),然后放手。解：兩端固定，所以邊界條件為：u(0,t) 0,u(l,t) 0由點(diǎn)x c的初始位移求出其他點(diǎn)的初始位移，它們是兩段直線方程，容易求得： TOC o 1-5 h z hx,(0 xc)u(x,0)(x)c4(lx),(cxl)l c顯然，初速度為零：ut (x,0)0第二節(jié)齊次方程

10、混合問題的傅里葉解分離變量法本征值問題Abstract :求解數(shù)理方程定解問題的方法有分離變量法、行波法、積分變換法、變分法、復(fù)變函數(shù)論等，這些方法各有千秋。 分離變量法普遍適用，在其使用條件下，自然導(dǎo)致了問 題的核心一本征值問題。求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/邊界條件定其參數(shù)；求解偏微分方程，即使求得通解，亦難于由定解條件來定解(含任意函數(shù))一本征值問題可解決此類問題。利用分離變量法求解齊次弦振動(dòng)方程的混合問題分離變量法：把二元函數(shù)u(x,t)表示為兩個(gè)一元函數(shù)相乘u(x,t) X(x) T(t)；然后帶入函數(shù)的二階偏微分齊次方程utt a2uxx 0 ,把偏微分方程化為兩個(gè)常微分

11、方程；把偏微分方程的邊界條件轉(zhuǎn)化為常微分方程的邊界條件。題型I :方程和邊界條件都是齊次的，而初始條件是非齊次的。例題1:下面以兩端固定弦的自由振動(dòng)為例(第一類齊次邊界條件)：2utt a uxx 00 x l ,u x 00;u x l 0,ut o (x)；utt 0(x).注意這里的邊界條件。第一步，分離變量，將二階偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程。設(shè)u(x,t) X(x)T(t)取此特解形式，可得駐波解：T(t)是振蕩函數(shù)，而與 x無關(guān)，X(x)是幅度函數(shù)，與t無關(guān),將此u(x,t) X(x)T(t)代入泛定方程，即得X(x)T (t)a2X (x)T(t).等式兩端除以a2X(x)T(

12、t),就有a2T(t)X (x)X(x)注意在這個(gè)等式中，左端只是t的函數(shù)，與x無關(guān)，而右端只是 x的函數(shù)，與t無關(guān)。因此，左端和右端相等，就必須共同等于一個(gè)既與x無關(guān)、又與t無關(guān)的常數(shù)。令這個(gè)常數(shù)為 (參數(shù))，即，=(- X區(qū) a T(t) X(x)由此得到兩個(gè)常微分方程: TOC o 1-5 h z 2 T (t)a2T(t) 0()X (x)X(x) 0()第二步，將u(x,t)原來的邊界條件轉(zhuǎn)化為X(x)的邊界條件。將此 u(x,t) X(x)T(t)代入邊界條件，得 X(0)T(t) 0, X(l)T(t) 0,轉(zhuǎn)化為 X(x) 的邊界條件：X(0) 0, X(l) 0因?yàn)門(t)不

13、可能恒為0,否則u(x,t)恒為0()這樣就完成了分離變量法求解偏微分方程定解(亦定界)問題的前兩步：分離變量。在這兩步中，假設(shè)所要求的是變量分離形式的非零解u(x,t) X(x)T(t),導(dǎo)出了函數(shù)X(x)應(yīng)該滿足的常微分方程和邊界條件，以及T(t)所滿足的常微分方程。分離變量之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，是因?yàn)樵瓉淼钠⒎址匠毯瓦吔鐥l件都是齊次的(可分離變量)。第三步，求解本征值問題上面得到的函數(shù) X(x)的常微分方程定解問題，稱為 本征值問題。其特點(diǎn)是：常微分方 程X(x) X(x) 0中含有一個(gè)待定常數(shù)，而定解條件X(0) 0, X(l) 0是一對(duì)齊次邊界條件。這樣的定解問題不同于我們過去熟悉的常微

14、分方程的初值問題。下面將看到， 并非對(duì)于任何值，都有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解。只有當(dāng)取某些特定值時(shí)，才有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解X(x).的這些特定值稱為 本征值(eigenvalue),相應(yīng)的非零解稱為 本征函數(shù)(eigenfunction).通過討論分析得出只有0時(shí)，方程()的解才有意義。因此，0時(shí)解()式得，X (x) A cos x Bsin、，x.將這個(gè)通解代入邊界條件()，就有A 0;A 0;即A cos l Bsin , l 0. Bsin . l 0.A和B不能同時(shí)為0,否則X(x)恒為零，u(x,t)恒為0 (平凡解，雖然零解無

15、物理意義，但至少說明數(shù)學(xué)上可能行得通)，因此只能是，n 1,2,3,是， 只能取如下的一系列值：n nn 1,2,3,；相應(yīng)的本征函數(shù)就是:Xn(X)_一 nsin x l不同的B值給出的是線性相關(guān)這里取B 1,因?yàn)槲覀兯蟮谋厝恢皇蔷€性無關(guān)解。的。由于同樣的原因，我們也不必考慮n為負(fù)整數(shù)的情形。這樣求得的本征值有無窮多個(gè),他們可以用正整數(shù) n標(biāo)記，因此，我們把本征值和本征函數(shù)分別記為n和Xn(x).第四步，求特解，并進(jìn)一步疊加出一般解：對(duì)于每一個(gè)本征值口，由T(t)a2T(t) 0 ()解出相應(yīng)的Tn(t)：Tn (t) Cn cosn- at Dn sin-n- at.因此，也就得到了滿

16、足偏微分方程和邊界條件的特解：un(x,t)Cn cos-n-at Dnsin -n-at sinn-x n 1,2,3,這樣的特解有無窮多個(gè)n 1,2,3,。每一個(gè)特解都同時(shí)滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件。它們是一系列的 駐波。但是，一般來說，單獨(dú)任何一個(gè)特解都不能滿足定解問題 中的初始條件。然而，由于偏微分方程和邊界條件都是齊次的， 把它們的特解線性疊加起來, 即u(x,t)Cn cosn at Dn sin nat sin n x .n 1lll這樣得到的u(x,t)也仍然是齊次偏微分方程在齊次邊界條件下的解(當(dāng)然要求此級(jí)數(shù)收斂且可以逐項(xiàng)求二階偏導(dǎo)，即求和和求導(dǎo)可以交換次序)。這種形式

17、的解稱為一般解?，F(xiàn)在根據(jù)初始條件中的已知函數(shù) (x)和(x)定出疊加系數(shù)Cn和Dn.將上面的一般解代入初始條件，得n TOC o 1-5 h z (x) Cnsin x,(7.4)n 1l HYPERLINK l bookmark37 o Current Document (x)n-aDnsin -x.(7.5)n 1 ll注：(x)是已知函數(shù)而非任意函數(shù)x). u(x,t)既要滿足方程又要滿足條件。un(x,t)由Xn(X)構(gòu)成，(X)亦由Xn(X)構(gòu)成。初、邊條件僅是其內(nèi)部規(guī)律的極限。設(shè) Xn(x) sinn第五步，利用本征函數(shù)的正交性確定疊加系數(shù):LX和Xm(x) sin mX是分別對(duì)應(yīng)

18、本征值n和m的兩個(gè)本征函11，n m (即 nm).顯然，它們分別滿足Xn(X)nXn(X)0,Xn(0)0, Xn(1)0.Xm(X)mX m( x)0,Xm(0)0, Xm(1)0.用Xm(x)乘以，用Xn(x)乘以，相減并在區(qū)間0,1上積分，即得11m 0Xn(x)Xm(x)dX 0 Xn(x)Xm(x) Xm(x)Xn(x) dXXn(x)Xm(x) Xm(x)Xn(x) ； 0,其中利用了 Xn(x)和 Xm(x)所滿足的邊界條件()和()因此，就證得本征函數(shù)的正交性：10Xn(x)Xm(x)dx 0, n m .進(jìn)一步計(jì)算還可以得到本征函數(shù)的模方:|Xn(x)|20Xn2(x)dX

19、因此，在式兩端同乘以Xm(x) sinm-x ,并逐項(xiàng)積分，就得到m x .(x)sin dxn x_. m xCn sinsindxn 1111 n x m x 1Cn sinsindx Cm -n 1 n 011m2所以,2 1Cn j 0 (x)sinn x , dx.1同樣可以得到，Dn 2 l （x）sinUdx.（實(shí)為傅里葉級(jí)數(shù)的奇延拓）n a 0l這樣，根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)（x）和（x）,計(jì)算出積分，就可以得到疊加系數(shù) Cn和Dn,從而就求得了整個(gè)定解問題的解。Step 6,解的物理解釋先觀察特解：un（x,t）Cn cosn at Dn sin -n at sinn-x N

20、n sinnt n sin knx,其中，n nj-a , kn nj , NnCOs n Cn , Nn sin n Dn.因此，Un（x,t）代表一 個(gè)駐波，Nn sin knx表示線上各點(diǎn)的振幅分布，sin nt n表示點(diǎn)諧振動(dòng)。n是駐波的圓頻率，稱為兩端固定弦的固有頻率或本征頻率，與初始條件無關(guān)；kn稱為波數(shù)，是單位長度上波的個(gè)數(shù)；n稱為位相，由初始條件決定。在knx m ,即 x m /knm/n l, m 0,1,2, ,n的各點(diǎn)上，振動(dòng)的幅度恒為0,稱為波節(jié)。包括弦的1一兩個(gè)病點(diǎn)在內(nèi)，波下點(diǎn)共有n1個(gè)。在knxm ,即2x 2m 1 /2kn2m 1 l/2n, m 0,1,2,

21、 ,n 1的各點(diǎn)上，振幅的絕對(duì)值恒為最大，稱為波腹。波腹共有n個(gè)。整個(gè)問題的解則是這些駐波的迭加。正是因?yàn)檫@個(gè)原因，這種解 法也稱為駐波法 （a generized method of the separation variables）.就兩端固定弦來說，固有頻率中有一個(gè)最小值，即 1,稱為基頻。其它固有頻率l都是它的整數(shù)倍，稱為倍頻。弦的基頻決定了所發(fā)聲音的音調(diào)。在弦樂器中，當(dāng)弦的質(zhì)料一 定（即 一定）時(shí)，通過改變弦的繃緊程度（即改變張力T的大小），就可以調(diào)節(jié)基頻的大小?；l和倍頻的迭加系數(shù)Cn和Dn的相對(duì)大小決定了聲音的頻譜分布，即決定了聲 音的音色。小結(jié)2:對(duì)于弦振動(dòng)的齊次方程和第一類齊

22、次邊界條件的混合問題，即:20,Utt a Uxx0；ut0 (x)；Utt0 (x).它的解是:(注意：這里的x的范圍和函數(shù)的邊界條件的表示)u(x,t)n iCn cos - atn . nDn sin - at sin - x其中:CnDn(x)sin nxdx l TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark50 o Current Document ln x .(x)sindx0i習(xí)題七的1-6題屬于例題1類型。例題2,弦振動(dòng)的齊次邊界條件中存在第二類邊界條件，如:2utt a uxx 00 x l ,ux x 0 0;u x l 0,ut 0(x);ut t

23、 0(x).注意：邊界條件與例題1不一樣。第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程。令u(x,t) X (x)T(t),并代入泛定方程，即得X(x)T (t) a2X (x)T(t)等式兩端同時(shí)除以 X(x)T (t),就有X (x) T (t)2X(x) aT(t)由此得到兩個(gè)常微分方程：X (x) X(x) 0,T (t) a2 T(t) 0.第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件將u(x,t) X(x)T(t)代入關(guān)于x的一對(duì)齊次邊界條件，得X(0)T(t) 0, X(l)T(t) 0得X的邊界條件為：X (0) 0 , X(l) 0第三步，解X(x)本征值問題

24、。這樣，我們得到本征值問題：X (x) X(x) 0, X (0) 0 , X(l) 0.0才有解.解得：X(x) Acosx Bsin 廠x.得到：X (x)、AsinxBcos、. 一x代入邊界條件，就有B 0;B 0;即Acos . l Bsin . l 0. Acos . l 0.A和B不能同日寸為0,否則X(x)恒為零，因而 u(x,t)恒為0 (平凡解)。因此只能是1 cosll 0,即11 (n )n 0,1,2,3,21于是，只能取如下的一系列值：n (n 1)1 n 0,1,2,3,;相應(yīng)的本征函數(shù)就是：1 Xn(x) cos(n 2),x.第四步，解T(t)的微分方程，得到

25、u(x,t)的特解un(x,y),疊加得出一般解。對(duì)于每一個(gè)本征值口，可以求出相應(yīng)的Tn(t)： TOC o 1-5 h z 1 a1 aTn(t) Cn cos(n -)-pt Dnsin(n 2)apt.因此，也就得到了滿足邊界條件的特解：一1a1 a1un(x,t)Cn cos( n ) - t Dnsin(n ) - t cos(n ) x.2 l2 l2 l把這些特解疊加起來，就得到一般解u(x,t)八 一 1a ,_. r/ 1、a “ 一 1、,Cncos(n ) t Dn sin( n ) t cos(n ) x. n 02 l2 l2 l第五步，由本征函數(shù)的正交歸一性，得到系

26、數(shù)，確定解。將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為:Cn21、 一 (x)cos(n 2),xdx,Dn(2n 1) a 0,、 一 1 x, (x)cos( n -)dx2 l例題3,弦振動(dòng)的齊次方程和齊次第一類、第二類邊界條件. 2utt a uxx 00 x lx0 0;ux x l 0,Ut 0(x);Ut t 0(x).注意：邊界條件與例題1、例題2都不一樣。第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程。令u(x,t) X (x)T(t),并代入泛定方程，即得X(x)T (t) a2X (x)T(t)等式兩端同時(shí)除以 X(x)T (t),就有X (x) T (

27、t)X(x)a2T(t)由此得到兩個(gè)常微分方程：X (x) X(x) 0,-2 _T (t) a T(t) 0.第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件將u(x,t) X(x)T(t)代入關(guān)于x的一對(duì)齊次邊界條件，得X(0)T(t) 0, X (l)T(t) 0,這時(shí)也可以分離變量，得X的邊界條件為:X(0) 0, X (l) 0.第三步，解X(x)本征值問題。這樣，我們得到本征值問題：X (x) X(x) 0, X(0) 0 , X (l) 0.0才有解.解得：X(x) Acos廠x BsinJ-x.得到：X (x)、，Asin ,1x 、一Bcos、一x以上兩式代入邊界條件，

28、就有A 0;A 0;即A、, sin l B cos l 0. B cos . l 0.A和B不能同日為 0,否則X(x)恒為零，因而 u(x,t)恒為0 (平凡解)。因此只能是1cosQ 0,即 Q (n -)n 0,1,2,3,2 1 于是， 只能取如下的一系列值： n (n,)一 n 0,1,2,3,； 2 l相應(yīng)的本征函數(shù)就是：1 Xn(x) sin(n 2)-px.第四步，解T(t)的微分方程，得到u(x,t)的特解un(x,y),疊加得出一般解。對(duì)于每一個(gè)本征值n,可以求出相應(yīng)的Tn(t):a_1 atDnsin(n 2)丁t. TOC o 1-5 h z -1Tn(t)Cn co

29、s(n -)因此，也就得到了滿足邊界條件的特解：Un(x,t)1 aCn cos( n ) 丁 t1 a1Dnsin(n )丁t sin(n )刈把這些特解疊加起來,就得到一般解u(x,t)Cncos(n 2)71 a1Dn sin( n ) t sin( n ) x. 2 l2 l第五步，由本征函數(shù)的正交歸一性，得到系數(shù)，確定解。將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為:-2 l1Cn - 0 (x)sin(n 2),xdx,4 l(2n 1) a 01 x(x)sin(n 2)Tdx小結(jié)3:對(duì)于弦的自由振動(dòng),針對(duì)齊次邊界條件中存在第二類邊界條件的兩類例題:2 TOC o 1

30、-5 h z utt a uxx 00 x l例題 2 ux x 00；u x l 0,ut 0(x)；ut t 0(x).的解為u(x,t)-1 a1 a1CnCOS(n2)TtDnsn 2)TtcoS(n2)Tx.其中Cn1(x)cos(n 2),xdx,Dn4 l(2n 1) a 0u(x,t)Cn cos(n n 02)1 a1t Dnsn /Tt si 2)7 x.1 x (x)cos( n -)dx2 l. 2 TOC o 1-5 h z utt a uxx 00 x l例題 3 u 0; ux 0,x 0X x lut 0(x); ut t 0(x).的解為其中Cn1、 一 (x

31、)sin(n 2)yxdx,Dn(2n 1) a 0,、.一1、 x ,(x)sin( n -)-dx 2 l習(xí)題七的13題屬于例題2類型題型II :方程為齊次，邊界條件為非齊次以習(xí)題10為例：求解長為l的弦的振動(dòng)問題2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark15 o Current Document Utt a Uxx 00 x l ,Ux0 E；Uxl 0,Uto 0；Utt0 0.注意邊界條件，邊界條件為非齊次，直接用分離變量法無法求出解，所以需將非齊次邊界條件處理成齊次邊界條件，再用分離變量法。解題方法：用輔助函數(shù)法，把非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件。令

32、函數(shù)u(x,t) V(x,t) s(x,t),其中s(x,t)為已知函數(shù)。已知函數(shù)s(x,t)的選取條件是:必須能夠使得V(x,t)滿足齊次邊界條件的混合問題，即：2Vtt a Vxx 00 x l ,V(0,t) 0;V(l,t) 0,解：第一步，找出已知函數(shù)令 TOC o 1-5 h z u(x,t) V(x,t) (E(4)第二步，把上式帶入u(x,t)的混合問題，轉(zhuǎn)化為V(x,t)的齊次邊界條件的混合問題。把公式(4)帶入公式(1)得：2Vtt a Vxx(5)將公式(2)帶入公式(4)得：V(0,t) 0；V(l,t)0(6)將公式(3)帶入公式(4)得：V(x.0) xpEVt(x

33、,0)0(8)這樣，函數(shù)V(x,t)滿足的混合問題為:Vtt a2Vxx 00 x l ,V(0,t) 0;V(l,t) 0,V(x,0)(x)()E;Vt(x,0)(x) 0第三步，解關(guān)于V(x,t)的混合問題。V(x,t)n iCn cos at ilV(x,t)的混合問題為例題1,所以V(x,t)解為n . nDnsin - at sin - x其中:c 2 l n x, 2 l E(x l) . n x,Cn(x)sin dxsin dxn l 0l l 0 l l2 ln xDn (x)sin=dx 0n a 0l第四步，寫出原方程的解。由 u(x,t) V(x,t) (E 得：u(

34、x,t)(l x)ElCn cosat n 1lnnDn sin 一 at sin x習(xí)題七第12題：2 TOC o 1-5 h z utt a uxx 2hut0 x lu n 0; u . 0 x 0 x lut 0(x); ut t 0(x)其中h是一個(gè)充分小的正數(shù),(x), (x)為充分光滑的已知函數(shù)分析：泛定方程(1)式除了u,不存在第二個(gè)函數(shù)項(xiàng)，所示是齊次微分方程，(2)式為邊界條件而且是齊次的，所以該題可以用分離變量法。解：第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程。(4)u(x,t) X(x)T(t)將(4)式代入方程(1),即得 TOC o 1-5 h z -2_一X

35、(x)T a X (x)T(t) 2hX(x)T(t)等式兩端同時(shí)除以 X(x)T(t),把關(guān)于x和t的函數(shù)分移至等號(hào)兩邊，有X (x) T (t) 2hT (t) 2(0) .X(x) aT(t)由此得到兩個(gè)常微分方程：X (x) X(x) 0(5)T (t) 2hT (t) a2 T(t) 0(6)第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件。將u(x,t) X(x)T(t)代入關(guān)于x的一對(duì)齊次邊界條件(2)式，得X(0)T(t) 0, X(l)T(t) 0 ,這時(shí)也可以分離變量，得X函數(shù)的邊界條件為:X(0) 0, X(l) 0第三步，解X(x)本征值問題。這樣，我們得到本征值

36、問題：X (x) X(x) 0, X(0) 0 , X(l) 0.解得：X(x) Acos、x Bsinx.代入邊界條件，就有A 0;Acos、 l Bsin、 lA 0;即_0. Bsin、 l0.A和B不能同日為 0,否則X(x)恒為零，因而u(x,t)恒為0 (平凡解)。因此只能是sin Q 0 ,即 Q n n 1,2,3, L只能取如下的一系列值:)2 n1,2,3,L相應(yīng)的本征函數(shù)就是:Xn(x).zn 、 sin(-p x)(8)第四步，解T(t)的微分方程，得到u(x,t)的特解un(x,y),疊加得出一般解解(6)式：T 2hT(t) a2 T(t) 0(6)式的特征函數(shù)為r

37、2 2hr a20 ,其特征根為:r h i . a2h2因此(6)式解為:h2t)T(t)Ce(h ia2h2)tDe(h ia2 )te ht (C cos,?tD sin、/ht對(duì)于每一個(gè)本征值n ,相應(yīng)的Tn(t):Tn(t)ehtCnCOst, (a； )2 h2 Dn sint, (a ； )2 h2.因此，也就得到了滿足邊界條件的特解Un(x,t) e htCnCost,(a，)2 h2 Dn sint(a)2 h2 sin( - x)把這些特解疊加起來，就得到一般解u(x,t) e htCn cost. (a n )2 h2n 1- lDnSint. (anl )2h2sin(

38、：x)(9)第五步，由本征函數(shù)的正交性，得到系數(shù)，確定解。將初始條件u(x,0)(x)代入上面的一般解，得:nu(x,0)Cnsin( x) (x)n 1l根據(jù)本征函數(shù)sin( x)的正交性得系數(shù)為:l八 2 lnCn - 0 (x)sin(-px)dx(10)(9)式對(duì)t求導(dǎo)為:ut(x,t)he htCn cost J(an)2 h2 Dn sint J(a -)2 h2sin( nx) n 1, l llhtn 2,2n 2e Cn (a l ) h sint . (a l )2n 22、h cost. (a ) h sin(nrx)將初始條件ut(x,0)(x)帶入上求導(dǎo)式，得Ut(X

39、0)hCnSin(x) Dn (a nl )2 h2 sin(： x)(x)根據(jù)本征函數(shù)sin（t x）的正交性，得:lhCngDn2（a；）2h2(x)sin( n- x)dx把（10）式帶入，得到2hDn- 0可(anl )2 h2n(x)sin( - x)dxl(a： )2 h2(x)sin( -y- x)dx (11)該題的解為（9）式，（10）式和（11）式為（9）式中的系數(shù)。第四節(jié)非齊次振動(dòng)方程求解前面所討論的問題中的偏微分方程都是齊次的，現(xiàn)在來討論非齊次偏微分方程的解法。為方便起見，以長為l兩端固定的弦的強(qiáng)迫振動(dòng)為例，所用方法對(duì)其它類型的方程也適合。 TOC o 1-5 h z

40、即考慮定解問題 222 a f(x,t) (0 x l,t 0),(4.1)txUx0 0, Uxi 0(t 0),(4.2)Ut0 x , x (0 x l).(4.3)t t 0由所給的定解問題可以看出：弦兩端固定，所以做的是強(qiáng)迫振動(dòng)。方法1：直接利用本征函數(shù)來求解，即把解展開成本征函數(shù)的形式，求出參數(shù)。(該方法的前提條件是要知道此定解問題對(duì)應(yīng)的齊次方程的本征函數(shù))由上節(jié)例題 1可知：兩端固定的弦的自由振動(dòng)在弦上形成駐波形式，其本征值為n (十)2,本征函數(shù)為sinnpxo則該弦在強(qiáng)迫力f (x,t)作用下仍作類似該駐波形式的 振動(dòng)，因此，直接利用本征函數(shù)來求解。第一步，將上述定解問題中未

41、知函數(shù)U(x,t)、已知函數(shù)f(x,t)、(x)和(x)都展開成本征函數(shù)sin Lx的級(jí)數(shù)形式。令l TOC o 1-5 h z u(x,t)Tn(t)sin nx()n 1l，n八f (x,t)fn(t)sin x()n 1l HYPERLINK l bookmark33 o Current Document n八 HYPERLINK l bookmark77 o Current Document (x) nsin x()n 1l(x) n sin - x()n 1l由本征函數(shù)的正交性可知:2 fn(t)J2 i1n九0 f (x, t)sin xdxn(x)sin xdxn(x)sin xdx()()()第二步，通過比較系數(shù)，得出參數(shù)Tn（。滿足的常微分方程及滿足的初