《現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算》課件4.5 Gauss求積公式

1、4.5 Gauss求積公式4.5.3 Gauss求積公式的余項(xiàng)與穩(wěn)定性4.5.2 常用Gauss求積公式4.5.1 Gauss求積公式的基本理論4.5 Gauss求積公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握高斯求積公式的用法。會(huì)用高斯勒讓德求積公式。 前面我們限定把積分區(qū)間的等分點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn),從而構(gòu)造出一類特殊的插值求積公式，即NewtonCotes公式。這種做法雖然簡(jiǎn)化了算法，但卻降低了所得公式的代數(shù)精度。例如：在構(gòu)造形如 的兩點(diǎn)積分公式時(shí)，如果限定求積節(jié)點(diǎn) ，那么所得插值型求積公式 ，其代數(shù)精度僅為1。 （*）但是，如果我們對(duì)公式（*）中系數(shù) 和節(jié)點(diǎn) 都不加限制，那么就可以適當(dāng)選取 使所得公式的代數(shù)精度 m1

2、。 事實(shí)上，若要求（*）對(duì)f(x)=1，x都準(zhǔn)確成立，只要 滿足方程組：由第二式和第四式可得結(jié)合第一式和第三式得易驗(yàn)證，這是代數(shù)精度為m=3的插值型求積公式。代入（*）得：取得 由上例可知，在節(jié)點(diǎn)數(shù)目固定為n 的條件下，可以通過適當(dāng)選取求積節(jié)點(diǎn)xk的位置以及相應(yīng)的求積系數(shù)Ak，使機(jī)械求積公式具有盡可能高(最高2n+1)的代數(shù)精度。 當(dāng)求積系數(shù)Ak、求積節(jié)點(diǎn)xk都可以自由選取時(shí),其代數(shù)精確度最高可以達(dá)到多少次? 下面的引理可以回答上述問題.(4.5.1)考慮帶權(quán)求積公式引理4.5.1 當(dāng)求積系數(shù)Ak、求積節(jié)點(diǎn)xk都可以自由選取時(shí), n點(diǎn)的求積公式(4.5.1)的代數(shù)精確度最高可以達(dá)到2n+1次.

3、怎樣適當(dāng)選擇求積系數(shù)Ak、求積節(jié)點(diǎn)xk ，使求積公式的代數(shù)精度達(dá)到最高，在上面的例子中討論了一種方法-待定系數(shù)法。定義4.5.1 如果求積公式（4.5.1）具有2n+1次代數(shù)精度, 則稱該公式為Gauss型公式。稱其節(jié)點(diǎn) 為Gauss點(diǎn).例4.5.1 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高.(4.5.5)解: 在構(gòu)造形如 的兩點(diǎn)公式時(shí),如果限定求積節(jié)點(diǎn),那么所得插值求積公式 的代數(shù)精度僅為1。但是,如果對(duì)式(4.5.5)中的系數(shù) 和 節(jié)點(diǎn) 都不加限制，由引理1知就可適當(dāng)選取 和 ,使所得公式的代數(shù)精度m1(最高為n-1=3)。即求積公式(4.5.2)對(duì)函數(shù) 都準(zhǔn)確成立，只要 和 滿足

4、方程組 由第二式和第四式可得 ，結(jié)合第一式和第三式得 取 得代入(4.5.5)即得(4.5.6)可以驗(yàn)證，所得公式（4.5.6）是具有3次代數(shù)精度的求積公式。 例4.5.1是直接利用代數(shù)精度的概念去求n+1個(gè)Gauss點(diǎn)和n+1個(gè)求積系數(shù)，即對(duì)于插值型求積公式(4.5.2), 分別取 f(x)=1, x, x2, x3, x2n+1, 用待定系數(shù)法來確定參數(shù)xk和Ak ,(k=0,1,n)從而構(gòu)造n+1個(gè)點(diǎn)高斯求積公式。但是，這種做法是要聯(lián)立求解一個(gè)包含2n+2個(gè)未知數(shù)的非線性方程組，方程組是可解的，但當(dāng)n稍大時(shí)，解析的求解就很難，數(shù)值求解非線性方程組也不容易。其計(jì)算工作量是相當(dāng)大的。另一類較

5、簡(jiǎn)單的方法是：先利用區(qū)間a,b上的n+1次正交多項(xiàng)式確定高斯點(diǎn) xk a,b, (k=0,1,n) (2) 然后利用高斯點(diǎn)確定求積系數(shù)Ak ,(k=0,1,n) 下面從分析Gauss點(diǎn)的特性著手研究Gauss公式的構(gòu)造問題 。插值求積公式節(jié)點(diǎn)一經(jīng)確定，相應(yīng)的求積系數(shù)就確定了，定理 4.5.1 對(duì)于插值求積公式(4.5.1),其節(jié)點(diǎn) 是Gauss點(diǎn)的充分必要條件是以這些點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式 與任意不超過n次的多項(xiàng)式 P(x)帶權(quán)正交,即 （4.5.7）由于n+1次正交多項(xiàng)式與比它次數(shù)低的任意多項(xiàng)式正交，并且n+1次正交多項(xiàng)式恰好有n+1個(gè)互異的實(shí)的單根，我們有下面的推論。推論4.5.2 n+1次正交

6、多項(xiàng)式的零點(diǎn)是n+1個(gè)Gauss公式的Gauss點(diǎn)。 推論4.5.2實(shí)際上給出了構(gòu)造Gauss型求積公式的一種方法. 這種方法,當(dāng)給定了積分區(qū)間a,b和權(quán)函數(shù)(x)以后構(gòu)造n+1個(gè)點(diǎn)的Gauss型求積公式. 先求出區(qū)間a,b上帶權(quán)函數(shù)(x)的n+1次正交多項(xiàng)式Pn(x) ,然后用多項(xiàng)式求根的方法求出Pn(x)的n+1個(gè)根 xk (k=0,1,n)從而獲得了求積節(jié)點(diǎn)xk ( k = 0, 1, , n). 為了求得求積系數(shù)Ak (k=0,1,n) ,將n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)xk (k=0,1,n)代入方程組(4.5.4)中的前n+1個(gè)方程并加以求解,即解線性代數(shù)方程組求得求積系數(shù)Ak (k=0,1,n

7、),完成Gauss型求積公式的構(gòu)造.讓我們看下一個(gè)例子討論用以上方法進(jìn)行Gauss型求積公式的構(gòu)造. 例 4.5.2 確定 使下列公式為Gauss公式：解 方法1 ：像例4.5.1一樣,直接由代數(shù)精度的概念構(gòu)造Gauss公式。方法2：用正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為Gauss點(diǎn)的辦法構(gòu)造該Gauss公式。先構(gòu)造區(qū)間0，1上權(quán)函數(shù) 的正交多項(xiàng)式 這里我們直接用正交性求解。設(shè) 則由得a=-2/5.由由此解得 從而得到Gauss求積公式。由得b=-8/9，從而得c=-8/63。由 的零點(diǎn)按代數(shù)精度的概念，分別令f (x)=1，x時(shí)公式準(zhǔn)確成立，得4.5.2 常用Gauss求積公式1.GaussLegendre

8、求積公式不失一般性，可取a-1，b1而考察區(qū)間-1，1上的高斯公式 在區(qū)間-1，1上取權(quán)函數(shù) 那么相應(yīng)的正交多項(xiàng)式為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式。以Legendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)為Gauss點(diǎn)的求積公式為 （4.5.8）稱之為Gauss-Legendre求積公式。令它對(duì)f(x)=1準(zhǔn)確成立。 即可得出 。這樣構(gòu)造出的一點(diǎn)Gauss-Legendre公式是中矩形公式。若取 的零點(diǎn) 作節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式Legendre多項(xiàng)式組:1,x,(3x2-1)/2,(5x3-3x)/2,再取 的兩個(gè)零點(diǎn) 構(gòu)造求積公式：令它對(duì)f（x）=1，x均準(zhǔn)確成立，即從而得兩點(diǎn)GaussLegendre公式：此時(shí)，公式（4.5.8

9、）即為例4.5.1所給出的公式。當(dāng)n=2時(shí)，三次Legendre多項(xiàng)式零點(diǎn)為以此為Gauss點(diǎn)，仿兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式，求相應(yīng)的求積系數(shù)，可構(gòu)造出具有五次代數(shù)精度的3點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式Guass-Legendre求積公式中的Gauss點(diǎn) xk ( k = 0, 1, , n).和求積系數(shù) Ak (k=0,1,n)見表3-5。xxkAk00.00000002.000000010.57735031.000000020.77459670.00000000.55555560.888888930.86113630.33998100.34785480.6521452

10、40.90617980.53846930.00000000.23692690.47862870.5688889對(duì)于一般區(qū)間a，b上的求積，如果用Gauss-Legendre求積公式，那么務(wù)必須作變量替換對(duì)于上式右邊的積分可以應(yīng)用Guss-Legendre求積公式，有：就可將求積區(qū)間a,b變換到-1,1上，這時(shí)即有 其中 即 代入（A）得：其中系數(shù) 和節(jié)點(diǎn) 可查表3-5得出，由變量替換公式 易見，由于求積公式（C）對(duì)變量t不高于2n+1 的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，從而求積公式（D）對(duì)自變量x的不高于2n+1 的多項(xiàng)式也準(zhǔn)確成立，即（D）是Gauss型求積公式。 例4.5.3 用Gauss-Legendr

11、e求積公式(n=1,2)計(jì)算積分解 由于區(qū)間為0,1,所以先作變量替換x=(1+t)/2,得對(duì)于n=2,由三點(diǎn)Gauss-Legendre公式有令 對(duì)于n=1,由兩點(diǎn)Gauss-Legendre公式有容易求出定積分的精確值為 I=e-2=0.718281828，由此可見,n=1時(shí)的實(shí)際誤差為0.0063340054, n=2時(shí)的實(shí)際誤差為0.000030049。練：利用四點(diǎn)Gauss求積公式計(jì)算 的近似值。解：Gauss型求積公式（D）得：其中a=0，b=1.= -0.86113631，= -0.33998104，將上述各數(shù)據(jù)代入上公式中有：由表3-5，可得 優(yōu)點(diǎn)：在此例計(jì)算過程中，只涉及到

12、四個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，可見Gauss型求積公式具有計(jì)算工作量小，所得近似值精確度高的優(yōu)點(diǎn)，是一種高精度的求積公式。 Gauss型求積公式的缺點(diǎn)是：當(dāng)n改變大小時(shí)，系數(shù)和節(jié)點(diǎn)幾乎都在改變。雖然可以通過其他資料查到較大n的系數(shù)和節(jié)點(diǎn)，但應(yīng)用時(shí)卻十分不便。同時(shí)，余項(xiàng)卻涉及到高階導(dǎo)數(shù)（被積函數(shù)的），要利用它們來控制精度也十分困難。 為克服這些缺點(diǎn)，在實(shí)際計(jì)算中較多地采用復(fù)合求積的方法。例如，先把積分區(qū)間 分成m個(gè)等長(zhǎng)的小 區(qū)間 然后，在每個(gè)小區(qū)間上使用同一低階（如二點(diǎn)的，三點(diǎn)的， ）高斯型求積公式算出積分近似值，再相加即將積分 的近似值： 其中， 由查表可得。同時(shí)在實(shí)際計(jì)算中，還常用相鄰兩次計(jì)算結(jié)果 和

13、的關(guān)系式 來控制運(yùn)算（當(dāng) 時(shí)，相當(dāng)于相對(duì)誤差）即算出 后，觀察 是否成立，以判定是否終止計(jì)算?？蓳?jù)此編程計(jì)算。以此為Gauss點(diǎn),利用Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)可得相應(yīng)的求積系數(shù) 為其中 是關(guān)于Gauss點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù).從而有Gauss-Chebyshev求積公式:2.Guass-Chebyshev求積公式 在區(qū)間-1,1上取權(quán)函數(shù) 的正交多項(xiàng)式是Chebyshev正交多項(xiàng)式。n+1次Chebyshev多項(xiàng)式 的零點(diǎn)為 (4.5.9)對(duì)于n=1,二點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式為對(duì)于n=2,三點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式為例4.5.4 計(jì)算積分解 選用

14、n=2的Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算,這時(shí) 于是有4.5.3 Gauss求積公式的余項(xiàng)與穩(wěn)定性定理 4.5.2 設(shè) ,則Guass公式(4.5.1)的余項(xiàng)是(4.5.10)特別地， 對(duì)于兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式有對(duì)比Newton-Cotes求積公式,Gauss求積公式不但具有高精度,而且是數(shù)值穩(wěn)定的.Gauss公式的穩(wěn)定性之所以能夠得到保證,是由于它的求積系數(shù)具有非負(fù)性.引理4.5.2 Gauss求積公式(4.5.1)中的系數(shù) 全部為正.對(duì)于兩點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式有在實(shí)際計(jì)算積分的近似值 時(shí)， 不能精確地取到，一般只能是近似值，設(shè) 實(shí)際求得的積

15、分值為定理 4.5.3 對(duì)于函數(shù)值的變化所引起的求積公式的誤差有(4.5.11) 由定理4.5.3可知，數(shù)據(jù)誤差對(duì)于求積公式計(jì)算值的影響是可以控制的，即Gauss求積公式在數(shù)值計(jì)算中是穩(wěn)定的。 例1：選取常數(shù)a，求使積分公式的代數(shù)精度盡量高，并問其代數(shù)精度為幾次？解：取f(x)=1.則對(duì)上求積公式，左端f(x)=x. 則 ，左端= 綜合舉例:令左端=右端左端=再取故，當(dāng)取時(shí)，求積公式具有3次代數(shù)精度。例2 若用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分問積分區(qū)間要多少等分才能保證有6位有效數(shù)字？ 解：由復(fù)化梯形公式截?cái)嗾`差式知由于該積分有一位整數(shù)，所以要求使近似積分有6位有效數(shù)字，只需取n滿足：（有效數(shù)字定義見第一

16、章，表示不超過某一位數(shù)字的一半）即即 因此，至少要將0，1區(qū)間212等分。若將同一問題改為復(fù)化Simpson公式，則由復(fù)化Simpson公式截?cái)嗾`差式同樣可得： 由此可見，Simpson公式復(fù)化型比復(fù)化梯形公式計(jì)算量少得多。 的近似值，要求誤差例3 用Romberg求積法計(jì)算解：此時(shí)積分限為a=0,b=1.而 (本例主要說明Romberg過程） 如此繼續(xù)算得：由于 這個(gè)實(shí)例表明,Romberg求積法計(jì)算過程不便于手工計(jì)算，但由于計(jì)算程序具有規(guī)律性，不必存儲(chǔ)求積系數(shù)和節(jié)點(diǎn)，而且精度較高，因此適合于在電子計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。 用Romberg方法計(jì)算時(shí)，是把區(qū)間逐次分半的，因此有時(shí)稱該法為逐次分半加

17、速法。例4 構(gòu)造三個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss-Legendre求積公式，并給出余項(xiàng)估計(jì)式。 解：由于三次Legendre多項(xiàng)式為：其三個(gè)零點(diǎn)分別為：令它對(duì)準(zhǔn)確成立則三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式為：余項(xiàng)為：（節(jié)點(diǎn)數(shù)）例如，若要計(jì)算的近似值，則由上積分公式得：上述積分準(zhǔn)確值為：若利用三點(diǎn)Simpson求積公式。則可見在節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同的情況下，Gauss求積公式的精度是相當(dāng)高的。例5 給出計(jì)算積分的兩點(diǎn)計(jì)算 公式， 使得對(duì)f(x)為三次多項(xiàng)式時(shí)精確成立。 解：設(shè)取 為二次多項(xiàng)式，對(duì)w（x） 上式應(yīng)精確成立：顯然 則但因而 即不妨令 且 于是令積分公式對(duì)f（x）=1，x準(zhǔn)確成立 得：解之得a=b=故所求積分公式為：顯然，由上述過