高三數(shù)學(xué)教案：拋物線經(jīng)典例題講解

1、高三數(shù)學(xué)教案：拋物線經(jīng)典例題講解【】鑒于大家對(duì)查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)非常關(guān)注，小編在此為大家搜集整理了此文高三數(shù)學(xué)教案：拋物線經(jīng)典例題講解，供大家參考!本文題目：高三數(shù)學(xué)教案：拋物線經(jīng)典例題講解拋物線習(xí)題精選精講1拋物線二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的間隔 相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個(gè)美妙的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華美的篇章.【例1】P為拋物線 上任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，那么以PF為直徑的圓與y軸 相交 相切 相離 位置由P確定【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線是.作PH

2、于H，交y軸于Q，那么 ，且 .作MNy軸于N那么MN是梯形PQOF的中位線， .故以PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評(píng)注】相似的問(wèn)題對(duì)于橢圓和雙曲線來(lái)說(shuō)，其結(jié)論那么分別是相離或相交的.2焦點(diǎn)弦常考常新的亮點(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個(gè)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對(duì)破解這些試題是大有幫助的.【例2】 過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于 兩點(diǎn)，求證：1 2【證明】1如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為 ，作.兩式相加即得：2當(dāng)ABx軸時(shí)，有成立;當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為： .代入拋物線方程：.化簡(jiǎn)得：方程1之二根為x1，x2， .故不管弦AB與x軸是否垂直，恒有 成立.3切線

3、拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān).理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的根本功.【例3】證明：過(guò)拋物線 上一點(diǎn)Mx0，y0的切線方程是：y0y=px+x0【證明】對(duì)方程 兩邊取導(dǎo)數(shù)：.由點(diǎn)斜式方程：y0y=px+x04定點(diǎn)與定值拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人忽略的定點(diǎn)和定值.掌握它們，在解題中常會(huì)有意想不到的收獲.例如：1.一動(dòng)圓的圓心在拋物線 上，且動(dòng)圓恒與直線 相切，那么此動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn) 顯然.此題是例1的翻版，該圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，選B.2.拋物線 的通徑長(zhǎng)為2p;3.設(shè)拋物線 過(guò)焦點(diǎn)的弦兩端分別為 ，那么：以下再舉一例【例4】設(shè)拋

4、物線 的焦點(diǎn)弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是A1B1，證明：以A1B1為直徑的圓必過(guò)一定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑，那么A1B1=AB=2p，而A1B1與AB的間隔 為p，可知該圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).由此我們猜測(cè)：一切這樣的圓都過(guò)拋物線的焦點(diǎn).以下我們對(duì)AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為 ，那么：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交x軸于C，那么這就說(shuō)明：以A1B1為直徑的圓必過(guò)該拋物線的焦點(diǎn). 通法 特法 妙法1解析法為對(duì)稱(chēng)問(wèn)題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問(wèn)題如對(duì)稱(chēng)問(wèn)題等.【例5】07.四川文科卷.10題拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x

5、+y=0對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)A、B，那么|AB|等于 A.3 B.4 C.3 D.4【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段AB的中點(diǎn)必在直線x+y=0上，因得解法如下.【解析】點(diǎn)A、B關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線AB的方程為： . 由設(shè)方程1之兩根為x1，x2，那么 .設(shè)AB的中點(diǎn)為Mx0，y0，那么 .代入x+y=0：y0= .故有 .從而 .直線AB的方程為： .方程1成為： .解得：，從而 ，故得：A-2，-1，B1，2. ，選C.2幾何法為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長(zhǎng)足的開(kāi)展，但伴之而來(lái)的卻是難以防止的繁雜計(jì)算，這又使得許多考生對(duì)解析幾何習(xí)題望而生畏.針對(duì)這種現(xiàn)狀，人們研

6、究出多種使計(jì)算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法.【例6】07.全國(guó)1卷.11題拋物線 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ，經(jīng)過(guò) 且斜率為 的直線與拋物線在 軸上方的部分相交于點(diǎn) ， ，垂足為 ，那么 的面積 A. B. C. D.【解析】如圖直線AF的斜率為 時(shí)AFX=60.AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線 交x軸于M，那么且KFM=60， .選C.【評(píng)注】1平面幾何知識(shí)：邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積用公式 計(jì)算.2此題假如用解析法，需先列方程組求點(diǎn)A的坐標(biāo)，再計(jì)算正三角形的邊長(zhǎng)和面積.雖不是很難，但決沒(méi)有如上的幾何法簡(jiǎn)單.3定義法追本求真的簡(jiǎn)單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來(lái)很難.但假如返樸歸真，用最原始

7、的定義去做，反而特別簡(jiǎn)單.【例7】07.湖北卷.7題雙曲線的左準(zhǔn)線為 ，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為 和 ;拋物線 的線為 ，焦點(diǎn)為 與 的一個(gè)交點(diǎn)為 ，那么 等于 A. B. C. D.【分析】 這道題假如用解析法去做，計(jì)算會(huì)特別繁雜，而平面幾何知識(shí)又一時(shí)用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧.如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c，離心率為e，作 ，令.點(diǎn)M在拋物線上，這就是說(shuō)： 的本質(zhì)是離心率e.其次， 與離心率e有什么關(guān)系?注意到：這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于 .選 A.4三角法本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函

8、數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系施行九九歸一到達(dá)解題目的.因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，常可以擺脫困境，簡(jiǎn)化計(jì)算.【例8】07.重慶文科.21題如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)。求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程;假設(shè)a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。【解析】焦點(diǎn)F2，0，準(zhǔn)線 .直線AB：代入1，整理得：設(shè)方程2之二根為y1，y2，那么 .設(shè)AB中點(diǎn)為AB的垂直平分線方程是： .令y=0，那么故于是|FP|-|FP|cos2a= ，故為定值.5消去法合理減負(fù)的

9、常用方法.防止解析幾何中的繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新的永久課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而不求，它類(lèi)似兵法上所說(shuō)的不戰(zhàn)而屈人之兵.【例9】 是否存在同時(shí)滿足以下兩條件的直線 ：1 與拋物線 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B;2線段AB被直線 ：x+5y-5=0垂直平分.假設(shè)不存在，說(shuō)明理由，假設(shè)存在，求出直線 的方程.【解析】假定在拋物線 上存在這樣的兩點(diǎn)線段AB被直線 ：x+5y-5=0垂直平分，且設(shè)線段AB的中點(diǎn)為 .代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中點(diǎn)為 .故存在符合題設(shè)條件的直線，其方程為：6探究法奔向數(shù)學(xué)方法的高深層次有一些解析幾何習(xí)題，初看起來(lái)好似樹(shù)高蔭深，叫樵夫難以下手.這時(shí)

10、就得冷靜分析，探究規(guī)律，不斷地猜測(cè)證明再猜測(cè)再證明.終于發(fā)現(xiàn)無(wú)限風(fēng)光在險(xiǎn)峰.【例10】07.安徽卷.14題如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，將線段OA的n等分點(diǎn)從左至右依次記為P1,P2,Pn-1,過(guò)這些分點(diǎn)分別作x軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次為Q1，Q2，Qn-1，從而得到n-1個(gè)直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,當(dāng)n時(shí)，這些三角形的面積之和的極限為 .【解析】設(shè)OA上第k個(gè)分點(diǎn)為第k個(gè)三角形的面積為：故這些三角形的面積之和的極限拋物線定義的妙用對(duì)于拋物線有關(guān)問(wèn)題的求解，假設(shè)能巧妙地應(yīng)用定義考慮，常能化繁為簡(jiǎn)，優(yōu)化解題思路，進(jìn)步思維才能?，F(xiàn)舉例

11、說(shuō)明如下。一、求軌跡或方程例1. 動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程 ，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 以上都不對(duì)解：由題意得：即動(dòng)點(diǎn) 到直線 的間隔 等于它到原點(diǎn)0，0的間隔 由拋物線定義可知：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)0，0為焦點(diǎn)，以直線 為準(zhǔn)線的拋物線。應(yīng)選C。二、求參數(shù)的值例2. 拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn) 到焦點(diǎn)間隔 為5，求m的值。解：設(shè)拋物線方程為 ，準(zhǔn)線方程：點(diǎn)M到焦點(diǎn)間隔 與到準(zhǔn)線間隔 相等解得：拋物線方程為把 代入得：三、求角例3. 過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為 ，那么 _。A. 45 B

12、. 60 C. 90 D. 120圖1解：如圖1，由拋物線的定義知：那么由題意知：即應(yīng)選C。四、求三角形面積例4. 設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且PQ為過(guò)焦點(diǎn)的弦，假設(shè) ， 。求OPQ的面積。解析：如圖2，不妨設(shè)拋物線方程為 ，點(diǎn) 、點(diǎn)圖2那么由拋物線定義知：又 ，那么由 得：即五、求最值例5. 設(shè)P是拋物線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。1求點(diǎn)P到點(diǎn)A-1，1的間隔 與點(diǎn)P到直線 的間隔 之和的最小值;2假設(shè)B3，2，求 的最小值。解：1如圖3，易知拋物線的焦點(diǎn)為F1，0，準(zhǔn)線是由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線 的間隔 等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的間隔 。于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A-1，1的

13、間隔 與點(diǎn)P到F1，0的間隔 之和最小。顯然，連結(jié)AF交曲線于P點(diǎn)，那么所求最小值為 ，即為 。圖32如圖4，自點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q交拋物線于點(diǎn) ，那么六、證明例6. 求證：以拋物線 過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必與此拋物線的準(zhǔn)線相切。證明：如圖5，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為 ，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作AC、BD垂直于 ，垂足分別為C、D。取線段AB中點(diǎn)M，作MH垂直 于H。圖5由拋物線的定義有：ABDC是直角梯形即 為圓的半徑，而準(zhǔn)線過(guò)半徑MH的外端且與半徑垂直，故此題得證。拋物線與面積問(wèn)題拋物線與面積相結(jié)合的題目是近年來(lái)中考數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題。解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要充分利用拋物線和面積的有關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)把握相交坐標(biāo)點(diǎn)

14、的位置及坐標(biāo)點(diǎn)之間的間隔 ，得出相應(yīng)的線段長(zhǎng)或高，從而求解。例1. 如圖1，二次函數(shù) 的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為-1，0。點(diǎn)C0，5、點(diǎn)D1，8在拋物線上，M為拋物線的頂點(diǎn)。圖11求拋物線的解析式;2求MCB的面積。解：1設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)題意得，解得所求的拋物線的解析式為2C點(diǎn)坐標(biāo)為0，5，OC=5令 ，那么 ，解得B點(diǎn)坐標(biāo)為5，0，OB=5頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為2，9過(guò)點(diǎn)M作MNAB于點(diǎn)N，那么ON=2，MN=9例2. 如圖2，面積為18的等腰直角三角形OAB的一條直角邊OA在x軸上，二次函數(shù) 的圖像過(guò)原點(diǎn)、A點(diǎn)和斜邊OB的中點(diǎn)M。圖21求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式和對(duì)稱(chēng)軸。2在

15、坐標(biāo)軸上是否存一點(diǎn)P，使PMA中PA=PM，假如存在，寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，假如不存在，說(shuō)明理由。解：1等腰直角OAB的面積為18，OA=OB=6M是斜邊OB的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為6，0點(diǎn)M的坐標(biāo)為3，3拋物線，解得解析式為 ，對(duì)稱(chēng)軸為2答：在x軸、y軸上都存在點(diǎn)P，使PAM中PA=PM。P點(diǎn)在x軸上，且滿足PA=PM時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為3，0。P點(diǎn)在y軸上，且滿足PA=PM時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為0，-3。例3. 二次函數(shù) 的圖像一部分如圖3，它的頂點(diǎn)M在第二象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，0和點(diǎn)B0，1。圖31請(qǐng)判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍，并說(shuō)明理由。2設(shè)此二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為c，當(dāng)AMC的面積為ABC面積的 倍時(shí)，

16、求a的值。解：1由圖象可知： ;圖象過(guò)點(diǎn)0，1，所以c=1;圖象過(guò)點(diǎn)1，0，那么 ;當(dāng) 時(shí)，應(yīng)有 ，那么當(dāng) 代入得 ，即所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為 。2此時(shí)函數(shù) ，要使可求得 。例4. 如圖4，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，假如x軸與一次函數(shù) 的圖象以及分別過(guò)C1，0、D4，0兩點(diǎn)且平行于y軸的兩條直線所圍成的圖形ABDC的面積為7。圖41求K的值;2求過(guò)F、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式;3線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1單位/秒的速度沿DC的方向挪動(dòng)點(diǎn)P不重合于點(diǎn)C，過(guò)P點(diǎn)作直線PQCD交EF于Q。當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)t秒后，求四邊形PQFC的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定t的取值范圍。解：1點(diǎn)A、B

17、在一次函數(shù) 的圖象上，且四邊形ABDC的面積為72由F0，4，C1，0，D4，0得3PD=1t=tOP=4-t即 。拋物線1拋物線D：y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓Q： 的右焦點(diǎn)F1重合，且點(diǎn) 在橢圓Q上。求橢圓Q的方程及其離心率;假設(shè)傾斜角為45的直線l過(guò)橢圓Q的左焦點(diǎn)F2，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求ABF1的面積。解：由題意知，拋物線 的焦點(diǎn)為1，0橢圓Q的右焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為1，0。 又點(diǎn) 在橢圓Q上， 即 由，解得 橢圓Q的方程為 離心離由知F2-1，0直線l的方程為 設(shè)由方程組 消y整理，得又點(diǎn)F1到直線l的間隔 2如下圖，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為5，0，傾斜角為 的直線l與

18、線段OA相交不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求AMN的最大面積解法一 由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中-5-4x+m2=0 直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=2m-42-4m2=161-m0,解得m1,又-5設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2那么x1+x2=4-2m，x1x2=m2,|MN|=4 點(diǎn)A到直線l的間隔 為d=S=25+m ,從而S2=41-m5+m2=22-2m5+m5+m2 3=128S8 ,當(dāng)且僅當(dāng)2-2m=5+m,即m=-1時(shí)取等號(hào) 故直線l的方程為y=x-1，AMN的最大面積為8解法二 由題意，可設(shè)l與x軸相交于B

19、m,0, l的方程為x = y +m,其中0由方程組 ,消去x,得y 2-4 y -4m=0 直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=-42+16m=161+m0必成立,設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2那么y 1+ y 2=4，y 1y 2=-4m,S= =4 =4S8 ,當(dāng)且僅當(dāng) 即m=1時(shí)取等號(hào)故直線l的方程為y=x-1，AMN的最大面積為83O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P 為 軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線交拋物線 于A、B兩點(diǎn)，設(shè)SAOB= ，試問(wèn)： 為何值時(shí)，t獲得最小值，并求出最小值。解：交AB與 軸不重疊時(shí)，設(shè)AB的方程為合 消y可得：設(shè)A B 那么 ， 交AB與x軸重疊時(shí)，上述結(jié)論仍然成立又當(dāng)

20、 時(shí) 取=， 綜上 當(dāng)要練說(shuō)，得練聽(tīng)。聽(tīng)是說(shuō)的前提，聽(tīng)得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級(jí)程度的語(yǔ)言。我在教學(xué)中，注意聽(tīng)說(shuō)結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽(tīng)的才能，課堂上，我特別重視老師的語(yǔ)言，我對(duì)幼兒說(shuō)話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專(zhuān)心聽(tīng)別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表?yè)P(yáng)那些靜聽(tīng)的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說(shuō)過(guò)的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專(zhuān)心聽(tīng)，用心記。平時(shí)我還通過(guò)各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽(tīng)邊記，邊聽(tīng)邊想，邊聽(tīng)邊說(shuō)的才能，如聽(tīng)詞對(duì)詞，聽(tīng)詞句說(shuō)意思，聽(tīng)句子辯正誤，聽(tīng)故事講述故事，聽(tīng)謎語(yǔ)猜謎底，聽(tīng)智力故事，動(dòng)腦筋，出主意，聽(tīng)兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動(dòng)活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽(tīng)的才能，強(qiáng)化了記憶，又開(kāi)展了思維，為說(shuō)打下了根底。要練說(shuō)，先練膽。說(shuō)話膽小是幼兒語(yǔ)言開(kāi)展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說(shuō)話時(shí)顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽(tīng)；有的低頭不語(yǔ)，扯衣服，扭身子?？傊?，說(shuō)話時(shí)外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個(gè)關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語(yǔ)言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時(shí)，我總是笑臉相迎，聲音親切，動(dòng)作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動(dòng)的、