2017年中考數(shù)學(xué)綜合題復(fù)習(xí)講義

1、2014年中考數(shù)學(xué)綜合題復(fù)習(xí)（動(dòng)點(diǎn)問題詳細(xì)分層解析，尖子生首選資料 ）所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考查從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解

2、決問題的能力圖形在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)幾何、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向發(fā)展這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（1）運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動(dòng)向，它有利于

3、我們教師在教學(xué)中研究對策，把握方向只的這樣，才能更好的培養(yǎng)學(xué)生解題素養(yǎng)，在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀點(diǎn)專題一：建立動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運(yùn)動(dòng)變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動(dòng)點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢?下面結(jié)合中考試題舉例分析.一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式例 1 )如圖 1,在半徑為 6,圓心角為 90的扇形 OAB的弧

4、AB上,有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P,PHOA,垂足為 H,OPH的重心為 G.(1)當(dāng)點(diǎn) P在弧 AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段 GO、GP、GH中,有無長度保持不變的線段?如果有,請指出這樣的線段,并求出相應(yīng)的長度.(2)設(shè) PH x ,GP y ,求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變量 x 的取值范圍).(3)如果PGH是等腰三角形,試求出線段 PH的長.解:(1)當(dāng)點(diǎn) P在弧 AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),OP保持不變,于是線段 GO、GP、GH2 12BO中,有長度保持不變的線段，這條線段是 GH= NH= OP=2.33 2POH OP2 PH 2 36 x2(2)在 Rt POH中 ,yNx112G

5、MH OH 36 x 2.2AMH在 RtMPH中,圖 11 1 36 3xMP PH2 MH2 x2 9 x2242.第 1 頁 共 48 頁213 y =GP= MP=36 3x2(0 6).x3(3)PGH是等腰三角形有三種可能情況:12GP=PH時(shí),GP=GH時(shí),36 3x x ,解得 x 6 . 經(jīng)檢驗(yàn), x 6 是原方程的根,且符合題意.3136 3x2 2 ,解得 x 0. 經(jīng)檢驗(yàn), x 0是原方程的根,但不符合題意.3PH=GH時(shí),x 2 .綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段 PH的長為 6 或 2.二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式例 2 如圖 2,在ABC中,AB=AC=

6、1,點(diǎn) D,E在直線 BC上運(yùn)動(dòng).設(shè) BD=x, CE=y .(1)如果BAC=30,DAE=105,試確定 y 與 x 之間的函數(shù)解析式；(2)如果BAC的度數(shù)為 ,DAE的度數(shù)為 ,當(dāng) , 滿足怎樣的關(guān)系式時(shí),(1)中 y 與 x 之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由.A解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30,ABC=ACB=75,ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105, DAB+CAE=75,又DAB+ADB=ABC=75,DECAE=ADB,BCADBEAC, ABBD ,圖 2CE AC1x 1 , y .1 xy(2)由于DAB+CAE= ,又DAB+ADB=A

7、BC=90 ,且2F3(1)E函數(shù)關(guān)系式成立,90 = , 整理得 90.B221當(dāng) 90時(shí),函數(shù)解析式 y 成立.P2x例 3(2005年 上 海 )如 圖 3(1),在 ABC中 , ABC=90,AB=4,BC=3. 點(diǎn) O是邊 AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn) O為圓心作半圓,與邊AB相切于點(diǎn) D,交線段 OC于點(diǎn) E.作 EPED,交射線 AB于點(diǎn) P,交射線CB于點(diǎn) F.DACE O(1)求證: ADEAEP.PB(2)設(shè) OA=x ,AP=y ,求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式,并寫出它的定F義域.D(3)當(dāng) BF=1時(shí),求線段 AP的長.第 2 頁 共 48 頁COA3(2)解:(1)連結(jié)

8、 OD.根據(jù)題意,得 ODAB,ODA=90,ODA=DEP.又由 OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.ODxADx(2)ABC=90,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90, ODBC, , ,35453438OD= x ,AD= x. AE=x x= x .555585y4 x5x25).8AE AD165ADEAEP, ,. yx (0 x AP AE8x5(3)當(dāng) BF=1時(shí)，若 EP交線段 CB的延長線于點(diǎn) F,如圖 3(1)，則 CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90, FPB=DPE,F=PDE,8F=FEC,

9、 CF=CE.55- x =4,得 x .可求得 y 2,即 AP=2.58若 EP交線段 CB于點(diǎn) F,如圖 3(2), 則 CF=2.類似,可得 CF=CE.8155- x =2,得 x .58可求得 y 6,即 AP=6.綜上所述, 當(dāng) BF=1時(shí),線段 AP的長為 2或 6.三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式例 4 如圖,在ABC中,BAC=90,AB=AC=2 2 ,A的半徑為 1.若點(diǎn) O在 BC邊上運(yùn)動(dòng)(與點(diǎn) B、C不重合),設(shè) BO=x ,AOC的面積為 y .A(1)求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.(2)以點(diǎn) O為圓心,BO長為半徑作圓 O,求當(dāng)O與A

10、相切時(shí),AOC的面積.C解:(1)過點(diǎn) A作 AHBC,垂足為 H.BOH1BAC=90,AB=AC=2 2 , BC=4,AH= BC=2. OC=4-x .圖 821 SAOC OC AH , y x 4 (0 x 4 ).2(2)當(dāng)O與A外切時(shí),在 RtAOH中,OA=x 1,OH=2 x ,(x 1)2 22 (2 x)2.解得x 7.6717此時(shí),AOC的面積 y =4 .66當(dāng)O與A內(nèi)切時(shí),第 3 頁 共 48 頁在 RtAOH中,OA=x 1,OH=x 2,(x 1)2 22 (x 2)2.解得x 7.271此時(shí),AOC的面積 y =4 .221761或 .2綜上所述,當(dāng)O與A相

11、切時(shí),AOC的面積為專題二：動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、以動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸題（一）點(diǎn)動(dòng)問題1（09年徐匯區(qū)）如圖， ABC 中， AB AC 10 ， BC 12 ，點(diǎn) D 在邊 BC 上，且 BD 4，以點(diǎn) D 為頂點(diǎn)作 EDF B ，

12、分別交邊 AB 于點(diǎn) E ，交射線CA 于點(diǎn) F （1）當(dāng) AE 6 時(shí)，求 AF 的長；（2）當(dāng)以點(diǎn)C 為圓心CF 長為半徑的C 和以點(diǎn) A 為圓心 AE 長為半徑的 A 相切時(shí)，求 BE 的長；（3）當(dāng)以邊 AC 為直徑的O 與線段 DE 相切時(shí)，求 BE 的長題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)A本題改編自新教材九上相似形24.5(4)例六,典型F的一線三角(三等角)問題,試題在原題的基礎(chǔ)上改編出第一小題,當(dāng) E點(diǎn)在 AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滲透入圓與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第二小題,加入直線與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第三小題區(qū)分度測量點(diǎn)在直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位

13、置關(guān)系,從而利用方程思想來求解EDBC區(qū)分度性小題處理手法1直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用 d=r建立方程2圓與圓的位置關(guān)系的存在性(相切問題)的處理方法：利用 d=Rr(R r )建立方程3解題的關(guān)鍵是用含 x 的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解CF CD解：（1） 證明 CDF EBD ，代入數(shù)據(jù)得CF 8，AF=2BD BE32（2）設(shè) BE=x ,則 d AC 10, AE 10 x, 利用（1）的方法CF ，x32相切時(shí)分外切和內(nèi)切兩種情況考慮： 外切，10 10 x ， x 4 2 ；x32內(nèi)切，10 10 x x ， x 10 2 17 0 x 10當(dāng)C 和 A 相切時(shí)，

14、BE 的長為 4 2 或10 2 17 第 4 頁 共 48 頁203（3）當(dāng)以邊 AC 為直徑的O 與線段 DE 相切時(shí)， BE 類題 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：09楊浦 25題（四月、五月）、09靜安 25題、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)：09閘北 25題、09松江 25題、09盧灣 25題、09青浦 25題（二）線動(dòng)問題在矩形 ABCD中，AB3，點(diǎn) O在對角線 AC上，直線 l過點(diǎn) O，且與 AC垂直交 AD于點(diǎn) E.(1)若直線l過點(diǎn) B，把ABE沿直線 l翻折，點(diǎn) A與矩形 ABCD的對稱中心 A重合，求 BC的長；1(2)若直線 l與 AB相交于點(diǎn) F，且 AO AC，設(shè) AD的長為 x ，五邊形4lBCDEF的面

15、積為 S.求 S關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并指出 x 的取值范AED圍；3O探索：是否存在這樣的 x ，以 A為圓心，以 x 長為半徑的圓A4與直線 l相切，若存在，請求出 x 的值；若不存在，請說明理由題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)BC本題以矩形為背景,結(jié)合軸對稱、相似、三角等相關(guān)知識編制得到第一小題考核了學(xué)生軸對稱、矩形、勾股定理三小塊知識內(nèi)容；當(dāng)直線 l 沿 AB邊向上平移時(shí)，探求面積函數(shù)解析式為區(qū)分測量點(diǎn)一、加入直線與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了區(qū)分度測量點(diǎn)二區(qū)分度性小題處理手法lAEDO1找面積關(guān)系的函數(shù)解析式，規(guī)則圖形套用公式或用割補(bǔ)法，不規(guī)則圖形用割補(bǔ)法F2直線與圓的相切的

16、存在性的處理方法：利用 d=r建立方程3解題的關(guān)鍵是用含 x 的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解BC1(1)A是矩形 ABCD的對稱中心ABAA AC2ABAB，AB3AC6 BC 3 3 9 ， AO 1x 9 ， AF 1 (x 9) ， AE x2 9(2) AC x2224124x SAEF 1 AE AF (x2 9)2， S 3x (x2 9)2296x96xS x4 270 x2 8196x( 3 x 3 3 )314 9 ， x1 0 (舍去)， x2 8 x 38x x2不存在若圓 A與直線 l相切，則2455這樣的 x ，使圓 A與直線 l相切類題09虹口 25題（三）面動(dòng)問

17、題如圖，在 ABC 中， AB AC 5, BC 6 ， D 、 E 分別是邊 AB 、 AC 上A第 5 頁 共 48 頁DEB GF C的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ D 不與 A 、 B 重合），且保持 DEBC ，以 DE 為邊，在點(diǎn) A 的異側(cè)作正方形 DEFG.（1）試求 ABC 的面積；（2）當(dāng)邊 FG 與 BC 重合時(shí)，求正方形 DEFG 的邊長；（3）設(shè) AD x ， ABC 與正方形 DEFG 重疊部分的面積為 y ，試求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（4）當(dāng) BDG 是等腰三角形時(shí)，請直接寫出 AD 的長題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)例七,典型的共角相似三角形問題,試題為了形成坡度，

18、在原題的基礎(chǔ)上改編出求等腰三角形面積的第一小題,當(dāng) D點(diǎn)在 AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，正方形 DEFG 整體動(dòng)起來，GF邊落在 BC邊上時(shí)，恰好和教材中的例題對應(yīng)，可以說是相似三角形對應(yīng)的小高比大高=對應(yīng)的小邊比大邊，探尋正方形和三角形的重疊部分的面積與線段 AD的關(guān)系的函數(shù)解析式形成了第三小題，仍然屬于面積類習(xí)題來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)一，用等腰三角形的存在性來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)二區(qū)分度性小題處理手法AKAADADAEFEFDEFDEFDEFC BCB GKCC B G KCBUGBGG圖3-3圖3-4圖3-1圖3-2圖3-51找到三角形與正方形的重疊部分是解決本題的關(guān)鍵，如上圖 3-1、3-2重疊部分分別為正方

19、形和矩形包括兩種情況2正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖 3-3、3-4、3-5用方程思想解決3解題的關(guān)鍵是用含 x 的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解解：（1） SABC 12 .a4 a12（2）令此時(shí)正方形的邊長為 a ，則 ，解得 a .6452 6 5 36（3）當(dāng) 0 x 2 時(shí)，y x x，22564245x 24當(dāng) 2 x 5時(shí)，y x 5 x x2.5525125 25 20, .73 11 7（4） AD ,類題 改編自 09奉賢 3月考 25題，將條件（2）“當(dāng)點(diǎn) M、N分別在邊 BA、CA上時(shí)”,去掉，同時(shí)加到第（3）題中.F已知：在ABC中，AB=AC，B=30

20、，BC=6，點(diǎn) D在邊 BC上，點(diǎn) E在線段 DC上，DE=3，DEF是等邊三角形，邊ANDF、EF與邊 BA、CA分別相交于點(diǎn) M、NM第 6 頁 共 48 頁BDEC （1）求證：BDMCEN；（2）設(shè) BD=x ，ABC與DEF重疊部分的面積為 y ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出定義域（3）當(dāng)點(diǎn) M、N分別在邊 BA、CA上時(shí),是否存在點(diǎn) D，使以 M為圓心, BM為半徑的圓與直線 EF相切,如果存在，請求出 x的值；如不存在，請說明理由例 1：已知O的弦 AB的長等于O的半徑，點(diǎn) C在O上變化（不與 A、B）重合，求ACB的大小 .分析：點(diǎn) C的變化是否影響ACB的大小的變化

21、呢?我們不妨將點(diǎn) C改變一下,如何變化呢？可能在優(yōu)弧 AB上，也可能在劣弧 AB上變化，顯然這兩者的結(jié)果不一樣。那么，當(dāng)點(diǎn) C在優(yōu)弧 AB上變化時(shí)，ACB所對的弧是劣弧 AB，它的大小為劣弧 AB的一半，因此很自然地想到它的圓心角，連結(jié) AO、BO，則由于 AB=OA=OB，即三角形 ABC為等邊三角形，則AOB=600，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系1得出：ACB=2 AOB=300，當(dāng)點(diǎn) C在劣弧 AB上變化時(shí)，ACB所對的弧是優(yōu)弧 AB，它的大小為優(yōu)弧 AB的一半，由AOB=600得，優(yōu)弧 AB的度數(shù)為 3600-600=3000，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：ACB=15

22、00，AB因此，本題的答案有兩個(gè)，分別為 300或 1500.反思：本題通過點(diǎn) C在圓上運(yùn)動(dòng)的不確定性而引起結(jié)果的不唯一性。從C而需要分類討論。這樣由點(diǎn) C的運(yùn)動(dòng)變化性而引起的分類討論在解題中經(jīng)常ABC出現(xiàn)。O變式 1：已知ABC是半徑為 2的圓內(nèi)接三角形，若 AB 2 3 ，求C的大O小.本題與例 1的區(qū)別只是 AB與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化,其解題方法與上1AB13122sin AOB AOB 6002OB2 ,則面一致,在三角形 AOB中,即AOB 1200,C 600從而當(dāng)點(diǎn) C在優(yōu)弧 AB上變化時(shí)，C所對的弧是劣弧 AB，它的大小為劣弧 AB的一半，即,當(dāng)點(diǎn) C在劣弧 AB上變化

23、時(shí)，C所對的弧是優(yōu)弧 AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=1200得，優(yōu)弧 AB的度數(shù)為 3600-1200=2400，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：C=1200，BAAC 600或C=1200.因此變式 2: 如圖,半經(jīng)為 1的半圓 O上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) A、B，若 AB=1，判斷AOB的大小是否會(huì)隨點(diǎn) A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。CCDDOBE四邊形 ABCD的面積的最大值。FH O G第 7 頁 共 48 頁解：（1）由于 AB=OA=OB，所以三角形 AOB為等邊三角形，則AOB=600，即AOB的大小不會(huì)隨點(diǎn)A、B的變化而變化。3（2）四

24、邊形 ABCD的面積由三個(gè)三角形組成，其中三角形 AOB的面積為 4 ，而三角1211OD AF OC BG (AF BG)22形 AOD與三角形 BOC的面積之和為，又由梯形12(AF BG) EH的中位線定理得三角形 AOD與三角形 BOC的面積之和，要四邊形3ABCD的面積最大，只需 EH最大，顯然 EHOE= 2 ，當(dāng) ABCD時(shí)，EH=OE，因此33 3 3四邊形 ABCD的面積最大值為 4 + 2 =4.對于本題同學(xué)們還可以繼續(xù)思考:四邊形 ABCD的周長的變化范圍.變式 3: 如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)分C別為 A、B，另一個(gè)頂點(diǎn) C在半圓

25、上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明理由（廣州市 2000年考題）分析：要使三角形 ABC的面積最大，而三角形 ABC的底邊 AB為圓的直徑為常量，只需 AB邊上的高最大即可。過點(diǎn) C作 CDAB于點(diǎn) D，連結(jié) CO，AOBCD由于 CDCO，當(dāng) O與 D重合，CD=CO，因此，當(dāng) CO與 AB垂直時(shí)，即 C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，其三角形 ABC的面積最大。本題也可以先猜想，點(diǎn) C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形 ABC的面積最大，故只需另選一個(gè)位置 C1（不與 C重合），證明三角形 ABC的面積大于三角形 ABC1的面積即可。如圖AOB121212顯然三角形 ABC1的面積= ABC1D

26、，而 C1D C1O=CO,則三角形 ABC1的面積= ABC1D ABC1O=三角形 ABC的面積,因此,對于除點(diǎn) C外的任意點(diǎn) C1,都有三角形 ABC1的面積小于三角形三角形 ABC的面積,故點(diǎn) C為半圓中點(diǎn)時(shí),三角形 ABC面積最大.本題還可研究三角形 ABC的周長何時(shí)最大的問題。C1C提示：利用周長與面積之間的關(guān)系。要三角形 ABC的周長最大，AB為常數(shù)，只需 AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2ACBC=AB2+4ABC的面積，因此ABC的面積最大時(shí)，AC+BC最大，從而ABC的周長最大。從以上一道題及其三個(gè)變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動(dòng)態(tài)幾何問題的常見方法有:A

27、DOB一、特殊探路，一般推證例 2：如圖，O1和O2內(nèi)切于 A，O1的半徑為 3，O2的半徑為第 8 頁 共 48 頁BPPC2，點(diǎn) P為O1上的任一點(diǎn)（與點(diǎn) A不重合），直線 PA交O2于點(diǎn) C，PB切O2于點(diǎn) B，則的值為326232（D）（A）（B）（C）分析：本題是一道選擇題，給出四個(gè)答案有且只有一個(gè)是正確的，因此可以取一個(gè)特殊位置進(jìn)行研究，當(dāng)點(diǎn) P滿足 PBAB時(shí)，可以通過計(jì)算得出 PB=BO2A3 1 2 22 2O1BCAP=BPAB，因此CPAB BP8 2 8 2 4 216 8 2 6 6 ，AB2 BP2BC=2 6BP BC 2 23BA在三角形 BPC中，PC=，O1

28、 O2BP所以， PC =3選（B）CPBP APPC BP ，即可計(jì)算出結(jié)論。當(dāng)然，本題還可以根據(jù)三角形相似得作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但如果是一道解答題，我們得出的結(jié)論只是一個(gè)特殊情況，還要進(jìn)一步證明對一般情況也成立。例 3：如圖，在等腰直角三角形 ABC中，斜邊 BC=4，OA BC于 O,點(diǎn) E和點(diǎn) F分別在邊 AB、AC上滑動(dòng)并保持 AE=CF,但點(diǎn) F不與 A、C重合，點(diǎn) E不與 B、A重合。A判斷 OEF的形狀，并加以證明。E判斷四邊形 AEOF的面積是否隨點(diǎn) E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.F AEF的面積是否隨著點(diǎn) E、F的變化而變化，若變化

29、，求其變化范圍CBO，若不變化，求它的值。分析：本題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特殊情況入手。最特殊情況為 E、F分別為 AB、AC中點(diǎn)，顯然有EOF為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn) E與 A無限接近時(shí)，點(diǎn) F與點(diǎn) C無限接C近，此時(shí)EOF無限接近AOC，而AOC為等腰直角三角形，幾種特殊情D況都可以得出EOF為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎？OE與 OF相等B嗎？EOF為直角嗎？能否證明。如果它們成立，便可以推出三角形 OFC與三角形 OEA全等，一般情況下這兩個(gè)三角形全等嗎？A不難從題目的條件可得：OA=OC，OCF=OAE，而 AE=CF，則OEAOFC， 則 OE=OF， 且 FOC= EOA，

30、 所 以 EOF= EOA+ AOF= FOC+FOA=900，則EOF為直角，故EOF為等腰直角三角形。第 9 頁 共 48 頁二、例 4 ）在O中，C為弧 AB的中點(diǎn)，D為弧 AC上任一點(diǎn)（與 A、C不重合），則（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB與 AD+DB的大小關(guān)系不確定分析:本題可以通過動(dòng)手操作一下,度量 AC、CB、AD、DB的長度，可以嘗試換幾個(gè)位置量一量，得出結(jié)論（C）例 5：如圖，過兩同心圓的小圓上任一點(diǎn) C分別作小圓的直徑 CA和非直徑的弦 CD，延長 CA和CD與大圓分別交于點(diǎn) B、E，則下列結(jié)論中正確的是（ * ）DE AB

31、（B） DE AB（A）EDE, AB 的大小不確定（C） DE AB （D）D分析：本題可以通過度量的方法進(jìn)行，選（B）本題也可以可以證明得出結(jié)論，連結(jié) DO、EO，則在三角形 OED中，CBA由于兩邊之差小于第三邊，則OEODDE,即 OBOA3).動(dòng)點(diǎn) M，N同時(shí)從 B點(diǎn)出發(fā)，分別沿 BA，BC運(yùn)動(dòng)，速度是 1厘米/秒.過 M作直線垂直于 AB，分別交 AN，CD于 P，Q.當(dāng)點(diǎn) N到達(dá)終點(diǎn) C時(shí)，點(diǎn) M也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒.(1)若 a=4厘米，t=1秒，則 PM=厘米；(2)若 a=5厘米，求時(shí)間 t，使PNBPAD，并求出它們的相似比；(3)若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻

32、使梯形 PMBN與梯形 PQDA的面積相等，求 a的取值范圍；(4)是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形 PMBN，梯形 PQDA，梯形 PQCN的面積都相等?若存在，求 a的值；若不存在，請說明理由. 評析 本題是以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，矩形為背景創(chuàng)設(shè)的存在性問題.試題由淺入深、層層遞進(jìn)，將幾何與代數(shù)知識完美的綜合為一題，側(cè)重對相似和梯形面積等知識點(diǎn)的考查，本題的難點(diǎn)主要是題(3)，解決此題的關(guān)鍵是運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)用 t的代數(shù)式表示 PM，進(jìn)而利用梯形面積相等列等式求出 t與 a的函數(shù)關(guān)系式，再利用 t的范圍確定的 a取值范圍. 第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應(yīng)用，在解決此問題的

33、過程中，要有全局觀念以及對問題的整體把握.4 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問題 例 4 )如圖 9，在邊長為 82cm的正方形 ABCD中，E、F是對角線 AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，沿對角線以 1cm/s的相同速度運(yùn)動(dòng)，過 E作 EH垂直 AC交 RtACD的直角邊于 H；過 F作 FG垂直 AC交 RtACD的直角邊于 G，連結(jié) HG、EB.設(shè) HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為 S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為 S2(這里規(guī)定：線段的面積為 0).E到達(dá) C，F(xiàn)到達(dá) A停止.若 E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間第 13 頁 共 48 頁為 x(s)，解答下列問題：(1)當(dāng) 0X(

34、2)若 y是 S1與 S2的和，求 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式； (圖 10為備用圖)求 y的最大值.解 (1)以 E、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，因?yàn)檎叫?ABCD的邊長為 82，所以 AC=16，過 B作BOAC于 O，則 OB=89，因?yàn)?AE=x，所以 S2=4x，因?yàn)?HE=AE=x，EF=16-2x，所以 S1=x(16-2x)，當(dāng) S1=S2時(shí)， 4x=x(16-2x)，解得 x =0(舍去)，x =6，所以當(dāng) x=6時(shí)， S1=S2.12(2)當(dāng) 0 x8時(shí)，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20 x，當(dāng) 8x16時(shí)，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16

35、-x)=2x-16，所以 S1=(16-x)(2x-16)， 所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.當(dāng) 0 x8時(shí)，y=-2x2+20 x=-2(x-5)2+50，所以當(dāng) x=5時(shí)，y的最大值為 50.當(dāng) 8x16時(shí)，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，所以當(dāng) x=13時(shí)，y的最大值為 82.綜上可得，y的最大值為 82.評析 本題是以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，正方形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問題.要求學(xué)生認(rèn)真讀題、領(lǐng)會(huì)題意、畫出不同情況下的圖形，根據(jù)圖形建立時(shí)間變量與其它相關(guān)變量的關(guān)系式，進(jìn)而構(gòu)建面積的函數(shù)表達(dá)式. 本題在知識點(diǎn)上側(cè)重對二次函數(shù)最值問題的考查

36、，要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識、靈活的解題方法、良好的思維品質(zhì)；在解題思想上著重對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模等思想的靈活運(yùn)用.專題四：函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例題 如圖 1，已知拋物線的頂點(diǎn)為 A（2，1），且經(jīng)過原點(diǎn) O，與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 B。y 1x x2）4求拋物線的解析式；（用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為若點(diǎn) C在拋物線的對稱軸上，點(diǎn) D在拋物線上，且以 O、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求 D點(diǎn)的坐標(biāo)；連接 OA、AB，如圖 2，在 x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出 P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。yyAABOBOx

37、x圖 1圖 2例 1 題圖分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)應(yīng)以兩個(gè)頂點(diǎn)的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以 O、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類討論:按 OB為邊和對角線兩種情況2. 函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個(gè)解題途徑第 14 頁 共 48 頁 求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論?；蚶靡阎切沃袑?yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示

38、各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。 5 3 bx c經(jīng)過 P( 3，3)， E y ax2，0及原點(diǎn)O(0，0)練習(xí) 1、已知拋物線225 3x ）3y x2（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為3（2）過 P 點(diǎn)作平行于 x 軸的直線 PC 交 y 軸于C 點(diǎn)，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線 PC 下方的拋物線上，任取一點(diǎn)Q ，過點(diǎn)Q 作直線QA平行于 y 軸交 x 軸于 A 點(diǎn)，交直線 PC 于 B 點(diǎn)，直線QA與直線 PC 及兩坐標(biāo)軸圍成矩形 OABC 是否存在點(diǎn) Q ，使得OPC 與PQB 相似？若存在，求出 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的Q 點(diǎn)

39、在 x 軸的上方，連結(jié)OQ ，矩形OABC 內(nèi)的四個(gè)三角形yOPC，PQB，OQP，OQA 之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？PBCOQEAx練習(xí) 2、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn) A在 x軸上，點(diǎn) C在 y軸上，將邊 BC折疊，使點(diǎn) B3落在邊 OA的點(diǎn) D處。已知折疊CE 5 5 ，且 tan EDA 。4（1）判斷OCD 與ADE 是否相似？請說明理由；（2）求直線 CE與 x軸交點(diǎn) P的坐標(biāo)；（3）是否存在過點(diǎn) D的直線 l，使直線 l、直線 CE與 x軸所圍成的三角形和直線 l、直線 CE與 y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直

40、線；如果不存在，請說明理由。第 15 頁 共 48 頁練 習(xí) 3、 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy 中 ， 已 知 二 次 函 數(shù)yy ax2 bx c(a 0)的圖象與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) BBCO的左邊），與 y 軸交于點(diǎn) C ，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1，且過點(diǎn) (2，3) 和E(3，12) A xD（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由一般式得拋物線的解析式為練習(xí) 2 圖y x2 2x 3）（2）若直線l : y kx(k 0) 與線段 BC 交于點(diǎn) D （不與點(diǎn) B，C 重合），則是否存在這樣的直線l，使得以 B，O，D 為頂點(diǎn)的三角形與 BAC 相似？若存在，求出該

41、直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn) D 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； A(1，0)，B(3，0),C(0，3)（3）若點(diǎn) P 是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角 PCO 與ACO 的大小（不必證明），并寫出此時(shí)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) x 的取值范圍pyxlCPAByoOAB xCx 1練習(xí) 4 圖練習(xí) 3 圖與 軸交于 A、B兩點(diǎn)，與x y 軸交于點(diǎn) Cy x21練習(xí) 4 (2009廣東湛江市) 如圖所示，已知拋物線（1）求 A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)（2）過點(diǎn) A作 APCB交拋物線于點(diǎn) P，求四邊形 ACBP的面積（3）在 x 軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn) M，過 M作 MG x

42、軸于點(diǎn) G，使以 A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與 PCA相似若存在，請求出 M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由練習(xí) 5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC 是直角三角形， ACB 90 ，點(diǎn) A，C 的坐標(biāo)分3別為 A(3，0) ，C(1，0) ， tan BAC y4B（1）求過點(diǎn) A，B 的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn) A(3，0) ， C(1，0) ，第 16 頁 共 48 頁xAOC394B (1，3) ， y x 4（2）在 x 軸上找一點(diǎn) D ，連接 DB ，使得 ADB 與 ABC 相似（不包括全等），并求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如 P，Q 分別是 AB 和 AD 上的動(dòng)點(diǎn)

43、，連接 PQ ，設(shè) AP DQ m，問是否存在這樣的 m 使得APQ 與ADB 相似，如存在，請求出 m 的值；如不存在，請說明理由參考答案例題、解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為 y a(x 2)2 1拋物線過原點(diǎn)， 0 a(0 2)2 11 a .4拋物線的解析式為 y 1(x 2)21,即 y 1x2 x44y如圖 1,當(dāng) OB為邊即四邊形 OCDB是平行四邊形時(shí),CDOB,ABO由 0 1(x 2)21得 x 0, x 4,x124B(4,0),OB4.D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 6D 1(x 2)21,得 y3,C圖 1將 x6代入 y4D(6,3);根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存

44、在點(diǎn) D,使得四邊形 ODCB是平行四邊形,此時(shí) D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3),y當(dāng) OB為對角線即四邊形 OCBD是平行四邊形時(shí),D點(diǎn)即為 AA點(diǎn),此時(shí) D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)BOE如圖 2，由拋物線的對稱性可知:AOAB,AOBABO.若BOP與AOB相似,必須有POBBOABPO設(shè) OP交拋物線的對稱軸于 A點(diǎn),顯然 A(2,1)1xA直線 OP的解析式為 y x圖 2P2 1x x 241 x ,由2得 x 0, x 612.P(6,3)過 P作 PEx軸,在 RtBEP中,BE2,PE3,PB 13 4.PBOB,BOPBPO,第 17 頁 共 48 頁P(yáng)BO與BAO不相似,同理可說明在對

45、稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的 P點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn) P,使得BOP與AOB相似.練習(xí) 1、解：（1）由已知可得：3a 3b 3755 3225 33a b 0 解之得， a ，b ， c 0 43c 025 3y x2x 因而得，拋物線的解析式為：（2）存在3325 33設(shè)Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (m， n) ，則n m2m ，325 333 m2mBQ PB ，則有 3 n m 3m 33要使OCP PBQ,，即CP OC3333解之得， m 2 3， m 2 12當(dāng) m 2 3 時(shí)， n 2 ，即為Q 點(diǎn)，所以得Q(2 3，2)123 m5 332mBQ PB ，則有 3 n m

46、 3m 33要使OCP QBP,，即OC CP3333解之得， m 3 3， m 3 ，當(dāng) m 3 時(shí)，即為 P 點(diǎn)，12y當(dāng) m 3 3 時(shí)， n 3，所以得Q(3 3， 3) 1BCO故存在兩個(gè)Q 點(diǎn)使得OCP 與PBQ 相似Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2 3，2)，(3 3， 3) CP3E12DA x3所以 COP 30 3圖 1（3）在 RtOCP 中，因?yàn)?tan COP OC當(dāng)Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2 3，2) 時(shí)， BPQ COP 30 所以 OPQ OCP B QAO 90 第 18 頁 共 48 頁因此，OPC，PQB，OPQ，OAQ 都是直角三角形QAAO3又在 RtOAQ 中，因?yàn)?

47、tan QOA 所以 QOA 30 3即有 POQ QOA QPB COP 30 所以O(shè)PC PQB OQP OQA ，又因?yàn)镼POP， QAOA POQ AOQ 30 ，yl所以O(shè)QAOQP NBECOMG練習(xí) 2解：（1）OCD 與ADE 相似。P理由如下：DAx由折疊知， CDE B 90 ，1 2 90 ， 1 3 90 2 3.，又COD DAE 90 ，OCD ADE 。AEAD34（2）tan EDA ，設(shè) AE=3t，F(xiàn)則 AD=4t。圖 2由勾股定理得 DE=5t。OC AB AE EB AE DE 3t 5t 8t 。OC CD由（1）OCD ADE ，得，AD DE8tC

48、D ，4t 5tCD 10t 。在DCE 中，CD DE CE2 2 2，(10t)2 (5t)2 (5 5)2，解得 t=1。OC=8，AE=3，點(diǎn) C的坐標(biāo)為（0，8），第 19 頁 共 48 頁點(diǎn) E的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線 CE的解析式為 y=kx+b，110k b 3， k ，b 8，解得 2b 8，1 y x 8，則點(diǎn) P的坐標(biāo)為（16，0）。2（3）滿足條件的直線 l有 2條：y=2x+12，y=2x12。如圖 2：準(zhǔn)確畫出兩條直線。練習(xí) 3解：（1）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1，且過點(diǎn) (2，3) 和 (3，12) ， b1，a 1，2a由 4a 2b c 3， 解得 b

49、 2，9a 3b 2 12.c 3.此二次函數(shù)的表達(dá)式為 y x2 2x 3（2）假設(shè)存在直線 l : y kx(k 0) 與線段 BC 交于點(diǎn) D （不與點(diǎn) B，C 重合），使得以 B，O，D 為頂點(diǎn)的三角形與BAC 相似y x2 2x 3中，令 y 0，則由 x2 2x 3 0 ，解得 x1 1，x 32在xl A(1，0)，B(3，0)令 x 0 ，得 y 3C(0，3) COD設(shè)過點(diǎn)O 的直線l 交 BC 于點(diǎn) D ，過點(diǎn) D 作 DE x 軸于點(diǎn) E 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (3，0) ，點(diǎn)C 的坐標(biāo)為 (0，3) ，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (1，0)AEBy AB 4，OB OC 3，OBC

50、45 . BC 32 32 3 2 x 1要使BOD BAC 或BDO BAC ，第 20 頁 共 48 頁BDBCBOBA已有 B B ，則只需，BOBCBDBA或.成立BO BC 33 2 9 24若是，則有 BD BA4而 OBC 45 ， BE DE 29 24在 RtBDE 中，由勾股定理，得 BE2 DE2 2 BE2 BD2解得BE DE 9 （負(fù)值舍去）4934 OE OB BE 3 4 3 9 4 4 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為， 將點(diǎn) D 的坐標(biāo)代入 y kx(k 0)中，求得 k 3滿足條件的直線l 的函數(shù)表達(dá)式為 y 3x 或求出直線 AC 的函數(shù)表達(dá)式為 y 3x 3，則與直線

51、 AC 平行的直線 l 的函數(shù)表達(dá)式為 y 3x 此時(shí)易知BOD BAC ，再求出直線 BC 的函數(shù)表達(dá)式為 y x 3 聯(lián)立 y 3x，y x 3 求得 3 9 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ， 4 4 BO BA 34 2 2 3 2若是，則有 BD BC而 OBC 45 ， BE DE 2 2 2 2在 RtBDE 中，由勾股定理，得 BE DE 2 BE BD (2 2)2解得BE DE 2（負(fù)值舍去） OE OB BE 3 2 1第 21 頁 共 48 頁點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (1，2) 將點(diǎn) D 的坐標(biāo)代入 y kx(k 0)中，求得 k 2 滿足條件的直線l 的函數(shù)表達(dá)式為 y 2x 存在直線

52、l : y 3x 或 y 2x 與線段 BC 交于點(diǎn) D （不與點(diǎn) B，C 重合），使得以 B，O，D 為頂點(diǎn) 3 9 的三角形與BAC 相似，且點(diǎn) D 的坐標(biāo)分別為 ， 或 (1，2) 4 4 （3）設(shè)過點(diǎn)C(0，3)，E(1，0) 的直線 y kx 3(k 0)與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn) P 將點(diǎn) E(1，0) 的坐標(biāo)代入 y kx 3中，求得 k 3此直線的函數(shù)表達(dá)式為 y 3x 3設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (x，3x 3) ，并代入y x2 2x 3，得x25x 0解得 x 5，x 0（不合題意，舍去）x12x 5，y 12C點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (5，12)C此時(shí)，銳角 PCO ACO又二次函數(shù)

53、的對稱軸為 x 1，AOEB點(diǎn)C 關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)C 的坐標(biāo)為 (2，3) 當(dāng) x 5 時(shí)，銳角 PCO ACO ；pPx 1當(dāng) x 5 時(shí)，銳角 PCO ACO；p當(dāng) 2 x 5時(shí)，銳角 PCO ACOyp練習(xí)四P解：（1）令 y 0，得令 x 0 ，得 y 1x21 0解得x 1o A(1, 0) B(1, 0) C(0,1)AB xC（2）OA=OB=OC=1 BAC= ACO= BCO=45圖 1第 22 頁 共 48 頁APCB， PAB=45過點(diǎn) P作 PE x 軸于 E，則 APE為等腰直角三角形令 OE=a ，則 PE=a 1 P(a,a 1)y x2 1上 a 1 a2 1

54、點(diǎn) P在拋物線解得 a 2， a 1（不合題意，舍去）12PE=31111四邊形 ACBP的面積 S = ABOC+ ABPE= 21 23 42222(3) 假設(shè)存在 PAB= BAC =45PA ACMG x 軸于點(diǎn) G， MGA= PAC =90y在 RtAOC中，OA=OC=1在 RtPAE中，AE=PE=3設(shè) M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 m ，則 MAC= 2MGPAP= 3 2(m,m 1)2點(diǎn) M在 y 軸左側(cè)時(shí)，則 m 1oABAG MGC() 當(dāng) AMG PCA時(shí)，有=PA CA圖 2m 1 m21AG=m 1，MG=m21即y3 222解得 m 1（舍去） m （舍去）12P3AG M

55、GM() 當(dāng) MAG PCA時(shí)有=CA PAm 1 m21G解得： m 1（舍去） m 2o即A2B23 2CM(2, 3) 點(diǎn) M在 y 軸右側(cè)時(shí)，則 m 1圖 3AG MG() 當(dāng) AMG PCA時(shí)有=PA CAAG=m 1，MG=m 12第 23 頁 共 48 頁m 1 m2143解得 m 1（舍去） m 1 23 224 7M( , )3 9AG MG() 當(dāng) MAG PCA時(shí)有=CA PAm 1 m21即23 2解得： m 1（舍去） m 412M(4,15)存在點(diǎn) M，使以 A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與 PCA相似4 7M點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2, 3) ， ( , )， (4,15)3

56、 9練習(xí) 5、解：（1）點(diǎn) A(3，0) ，C(1，0)3 AC 4， BC tanBAC AC 4 3， B 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，3)4設(shè)過點(diǎn) A，B 的直線的函數(shù)表達(dá)式為 y kx b ，0 k (3) b由 3 k b39394y得 k ，b 直線 AB 的函數(shù)表達(dá)式為 y x B444P（2）如圖 1，過點(diǎn) B 作 BD AB ，交 x 軸于點(diǎn) D ，在 RtABC 和 RtADB 中，BAC DABRtABC RtADB ，O Q CD xA4D 點(diǎn)為所求又 tanADB tanABC ，圖 134913 13 4 ，D 4 ，0CD BC tanADB 3 OD OC CD 34（3）

57、這樣的 m 存在在 RtABC 中，由勾股定理得 AB 5如圖 1，當(dāng) PQBD 時(shí)，APQ ABDyB13P34 mm259則，解得 m 1353Q O CAD x4圖 2如圖 2，當(dāng) PQ AD 時(shí)，APQ ADB第 24 頁 共 48 頁1334 m，解得 m 12536則m13 534例 1(2008福建福州)如圖，已知ABC是邊長為 6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn) P、Q同時(shí)從 A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿 AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的速度是 1cm/s，點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)的速度是 2cm/s，當(dāng)點(diǎn) Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（s），解答下列問題：（1）當(dāng) t2時(shí)，判斷

58、BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為 S（cm2），求 S與 t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作 QR/BA交 AC于點(diǎn) R，連結(jié) PR，當(dāng) t為何值時(shí)，APRPRQ？分析:由 t2求出 BP與 BQ的長度,從而可得BPQ的形狀;1作 QEBP于點(diǎn) E,將 PB,QE用 t表示,由 SBPQ = BPQE可得2S與 t的函數(shù)關(guān)系式;先證得四邊形 EPRQ為平行四邊形,得 PR=QE,再由APRPRQ,對應(yīng)邊成比例列方程,從而 t值可求.解:(1)BPQ是等邊三角形,當(dāng) t=2時(shí),AP=21=2,BQ=22=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4,即 BQ=BP.又因?yàn)锽=600,所以BPQ是

59、等邊三角形.(2)過 Q作 QEAB,垂足為 E,由 QB=2t,得 QE=2tsin600= 3 t,113 t2+3 3 t；2由 AP=t,得 PB=6-t,所以 SBPQ = BPQE= (6-t) 3 t=22(3)因?yàn)?QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因?yàn)镃=600,所以QRC是等邊三角形,這時(shí) BQ=2t,所以 QR=RC=QC=6-2t.1因?yàn)?BE=BQcos600= 2t=t,AP=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,2所以 EP=QR,又 EPQR,所以四邊形 EPRQ是平行四邊形,所以 PR=EQ= 3 t,AP PR ,即t

60、3t6由APRPRQ,得到,解得 t= ,5PR RQ3t 6 2t6所以當(dāng) t= 時(shí), APRPRQ.5點(diǎn)評: 本題是雙動(dòng)點(diǎn)問題.動(dòng)態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類試題信息量大,對同學(xué)們獲取信息和處理信息的能力要求較高;解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過程,并特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動(dòng)中取靜,靜中求動(dòng).例 2(2008浙江溫州)如圖，在 RtABC 中， A 90 ， AB 6， AC 8， D，E 分別是邊AB，AC 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出發(fā)沿 DE 方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) P 作 PQ BC 于 Q ，過點(diǎn) Q 作 QRBA