數(shù)學(xué)軟件Mathematicappt課件

1、數(shù)學(xué)軟件 Mathematica 使用入門(mén)1主要內(nèi)容 符號(hào)計(jì)算系統(tǒng) Mathematica 基本用法 基本運(yùn)算 符號(hào)計(jì)算 圖形功能 程序設(shè)計(jì)（略）2 符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)借助計(jì)算機(jī)速度快的特點(diǎn)，幫助人們完成在短時(shí)間內(nèi)無(wú)法完成的公式推導(dǎo)計(jì)算。 也稱為計(jì)算機(jī)代數(shù) 以推理為主，是一個(gè)表示數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)工具的系統(tǒng) 與代數(shù)計(jì)算、算法設(shè)計(jì)、機(jī)器學(xué)習(xí)、自動(dòng)推理等緊密聯(lián)系 一般由系統(tǒng)內(nèi)核、符號(hào)計(jì)算語(yǔ)言和若干軟件包組成 通常包括符號(hào)計(jì)算、數(shù)值計(jì)算、圖形演示和程序設(shè)計(jì)符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)3 常見(jiàn)的符號(hào)計(jì)算軟件 商業(yè)軟件 Mathematica，Maple，MuPAD，MathCad符號(hào)計(jì)算系統(tǒng) 免費(fèi)軟件 Axiom，CoCoA，

2、Derive，Euler，GAP，Maxima， . . .更多符號(hào)計(jì)算軟件參見(jiàn)課程主頁(yè)相關(guān)網(wǎng)絡(luò)鏈接。 符號(hào)計(jì)算軟件的兩種運(yùn)行方式：交互方式和程序方式4 Mathematica 由美國(guó) Wolfram Research 公司于 1988 年推出，目前的最新版本為 Mathematica 8.04Mathematica 介紹 Mathematica 有簡(jiǎn)體中文版：中文界面和中文幫助 可在官方網(wǎng)站上下載試用版 Mathematica 很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語(yǔ)言、文本系統(tǒng)以及與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接，是目前使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一，也是世界上符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)中最強(qiáng)大的兩個(gè)系統(tǒng)之一

3、。5Mathematica 歡迎界面6Mathematica 工作界面 Mathematica 的工作平臺(tái)：自帶的 Notebooks 環(huán)境 在 Notebooks 環(huán)境下輸入命令，系統(tǒng)執(zhí)行后返回結(jié)果 Mathematica 工作界面菜單欄Notebooks 環(huán)境最好最完整的學(xué)習(xí)材料：系統(tǒng)自帶的使用幫助和實(shí)例演示7Mathematica 使用 Mathematica 語(yǔ)言規(guī)則 所有命令和內(nèi)置函數(shù)都是以大寫(xiě)字母開(kāi)始 函數(shù)的參數(shù)是在方括號(hào)中給出 乘法運(yùn)算符可以用空格代替（不建議這么做） 內(nèi)置的函數(shù)名通常都很長(zhǎng)，使用函數(shù)的名字的全拼8Mathematica 使用 可以運(yùn)行單個(gè)命令或語(yǔ)句 也可以運(yùn)行多

4、個(gè)語(yǔ)句：輸入全部語(yǔ)句后再按執(zhí)行鍵 命令（語(yǔ)句）分隔符：回車或分號(hào) 如果不需要顯示運(yùn)行結(jié)果：在語(yǔ)句后面加分號(hào) Mathematica 命令的執(zhí)行（簡(jiǎn)稱執(zhí)行鍵） 輸入和輸出標(biāo)識(shí)符：Inn: 和 OutnIn1:= SinPi/4+CosPi/4Out1=Shift + Enter9數(shù)學(xué)公式的輸入 直接輸入 數(shù)學(xué)公式的輸入In1:= SinPi/4+CosPi/4 借助 Mathematica 提供的面板 (Palettes)10一些常用符號(hào)()運(yùn)算的結(jié)合fx函數(shù)取值列表 k分量%最后一次的計(jì)算結(jié)果%倒數(shù)第二次的計(jì)算結(jié)果%(k)倒數(shù)第 k 次的計(jì)算結(jié)果%k第 k 次計(jì)算結(jié)果，即 Outk 的值?na

5、me顯示系統(tǒng)變量、命令或函數(shù)的簡(jiǎn)短介紹?name顯示系統(tǒng)變量、命令或函數(shù)的全部信息(*comments*)注解Ctrl+K命令補(bǔ)全功能11內(nèi)部常數(shù) 常用內(nèi)部常數(shù) Mathematica 中的數(shù)：普通數(shù)字和內(nèi)部常數(shù)Degree角度到弧度的轉(zhuǎn)換系數(shù)，Pi/180E自然對(duì)數(shù)的底，2.71828.EulerGammaEuler 常數(shù): GoldenRatio黃金分割數(shù)：I虛部單位Infinity無(wú)窮大Pi圓周率 整數(shù)，有理數(shù)，實(shí)數(shù)（任意精度和機(jī)器精度），復(fù)數(shù)12基本運(yùn)算符 基本運(yùn)算：+ - * /加減乘除冪!階乘（運(yùn)算級(jí)別比加減乘除和冪運(yùn)算高） 算術(shù)運(yùn)算= = a,y-b,.變量替換 （變量本身沒(méi)有被

6、賦值）例：已知 f(x,y)=2x+y, 計(jì)算 f(2,3) In1:= Clearx,y; In2:= f=2*x+y;In3:= f./x-2,y-3 (* f(2,3) 的值 *)In3:= f./2-5 (*把 2 替換成 5*)15數(shù)的基本運(yùn)算Nx,nx 的帶 n 位有效數(shù)字的近似值Nxx 的雙精度近似值IntegerPartx整數(shù)部分 FractionalPartx小數(shù)部分 Floorx取整：不大于 x 的最大整數(shù) Roundx取整：四舍五入 Ceilx取整：不小于 x 的最小整數(shù) Precisionexpr顯示計(jì)算精度 Mathematica 中的實(shí)數(shù)分精確數(shù)和雙精度數(shù)在 Mat

7、hematica 中，當(dāng)輸入的式子中所有數(shù)字都為整數(shù)時(shí)，輸出的結(jié)果是精確的；但若式子中含有小數(shù)點(diǎn)，則通常以近似方式輸出運(yùn)算結(jié)果。16數(shù)字進(jìn)制的轉(zhuǎn)換bxxxxx輸入一個(gè) b 進(jìn)制數(shù) (2=b=36)BaseFormx,b十進(jìn)制數(shù) x 的 b 進(jìn)制形式IntegerStringx,b同上，但寫(xiě)成字符串形式 FromDigitsstr從字符串構(gòu)造整數(shù) FromDigitslist,b從 b 進(jìn)制數(shù)字列表中構(gòu)造整數(shù) IntegerDigitsx,b十進(jìn)制數(shù) x 的 b 進(jìn)制數(shù)字列表 17內(nèi)置函數(shù) Mathematica 具有超過(guò) 3000 個(gè)內(nèi)置函數(shù)，具體見(jiàn) “幫助” “參考資料中心” 的左下角處的

8、“函數(shù)索引” Mathematica 函數(shù)命名規(guī)則 第一個(gè)字母大寫(xiě)，后面跟小寫(xiě)字母，如 Sinx, Logx 大多數(shù)函數(shù)名與數(shù)學(xué)中的名稱相同 當(dāng)函數(shù)名分為幾段時(shí)，每一段的頭一個(gè)字母大寫(xiě)，后面的用小寫(xiě)字母，如：ArcSinx 尋求幫助： ?函數(shù)名In1:= ?Sin 18常用初等函數(shù)Absx絕對(duì)值Signx符號(hào)函數(shù)Powerx,y冪函數(shù) x ySqrtx平方根Expx以 e 為底的指數(shù)函數(shù) Logx, Logb,x以 e 和 b 為底的對(duì)數(shù)函數(shù) Factorialnn! Factorial2nn! GCDn1,n2,.最大公約數(shù) GCDlist列表中所有數(shù)的最大公約數(shù) LCMn1,n2,., L

9、CMlist最小公倍數(shù) Maxx1,x2,., Maxlist求最大值Minx1,x2,., Minlist求最小值 19常用初等函數(shù)Rex, Imx 提取實(shí)部和虛部Conjugatex取共軛Argx輻角Modm,n m 除以 n 的余數(shù) Quotientm,n m 除以 n 的整數(shù)商 Sinx, Cosx, .三角函數(shù) ArcSinx, ArcCosx, .反三角函數(shù)Sinh, Cosh, ., 雙曲函數(shù) ArcSinh, ArcCosh, .反雙曲函數(shù)Primek第 k 個(gè)素?cái)?shù) PrimeQn判斷 n 是否為素?cái)?shù) Binomialn,m二項(xiàng)式系數(shù) 20隨機(jī)函數(shù)Random生成 0,1 內(nèi)的

10、一個(gè)隨機(jī)實(shí)數(shù)RandomReal, a生成 0,a 內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)實(shí)數(shù) RandomReal, a,b生成 a,b 內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)實(shí)數(shù)RandomInteger隨機(jī)給出整數(shù) 0 或 1RandomInteger, a,b生成 a,b 內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)整數(shù)RandomComplex生成一個(gè) 0,1X0,1 內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)復(fù)數(shù)In1:= RandomReal,10 In2:= RandomInteger,1,100 21打印函數(shù)Printx,y,.在屏幕輸出變量的值In1:= x=5; Printx=,x 22函數(shù)調(diào)用方式 標(biāo)準(zhǔn)方式 ：函數(shù)名變量列表In1:= x=Pi/4; Sinx In2:= x=Pi

11、/4; x/Sin (* 后綴形式 *) 其它方式In3:= x=Pi/4; Sinx (* 前綴形式 *)In4:= 5Mod3 (* 中綴形式，等價(jià)于 Mod5,3 *)23自定義函數(shù) Mathematica 允許用戶自定義函數(shù)，一般格式為函數(shù)名自變量名1_, 自變量名2_, .:= 表達(dá)式 這里函數(shù)名與變量名的規(guī)定相同 方括號(hào)中的每個(gè)自變量名后都要有一個(gè)下劃線 “_” 中間的 “:=” 為定義號(hào) 注意符號(hào)表達(dá)式與函數(shù)的區(qū)別 fx_:=2*x-3定義一個(gè)一元函數(shù) fx_,y_:=Logx/y-Powerx,y定義一個(gè)二元函數(shù)Clearf清除自定義的函數(shù) 自定義函數(shù)前，最好先清除自變量的值，

12、否則可能會(huì)出現(xiàn)意想不到的錯(cuò)誤 24自定義函數(shù)In1:= f=2*x+y (* 符號(hào)表達(dá)式 *)In2:= gx_,y_:=2*x+y (* 函數(shù) *)In3:= f2,3 (* 結(jié)果是什么？ *)In4:= g2,3 (* 這個(gè)結(jié)果又是什么？ *)25字符串 字符串：用雙引號(hào)括起來(lái)的字符序列 字符串相關(guān)函數(shù)Charactersstr轉(zhuǎn)化為字符列表StringJoins1,s2,.字符串合并s1s2.字符串合并StringLengthstr字符串長(zhǎng)度StringSplitstr按空白字符分割字符串 ToExpressionstr轉(zhuǎn)化為表達(dá)式 ToStringexpr將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為字符串 更多字符

13、串相關(guān)函數(shù)參見(jiàn) “參考資料中心”26列表 列表 分為標(biāo)準(zhǔn)列表和稀疏列表 是 Mathematica 的基本對(duì)象，可用來(lái)表示集合，數(shù)組等 標(biāo)準(zhǔn)列表： 用大括號(hào)括起來(lái)的有限個(gè)元素，元素之間用逗號(hào)分隔 稀疏列表：通常由 SparseArray 來(lái)定義In1:= x=1,2,hello,1,0; 列表中的元素可以是不同類型的任意 Mathematica 對(duì)象 列表可以嵌套，如 矩陣Mathematica 提供了上千個(gè)列表操作函數(shù)，參見(jiàn) “參考資料中心”27列表生成 利用 Array，Range，Table 等函數(shù) 枚舉法：利用大括號(hào)，直接輸入Arrayf,n生成一維列表 f1,f2,.,fnArray

14、f,n1,n2,.生成多維列表（嵌套）, 這里的 f 為函數(shù)Rangea,b,h生成等差數(shù)列列表：a 為首項(xiàng)，h 為公差，最后一項(xiàng)不超過(guò) b；a 和 h 的缺省值為 1Tableexpr,n生成 n 元列表 expr,expr,.,exprTableexpr,i,a,b,hexpr|i 在 Rangea,b,h中變化 Tableexpr,i,listexpr|i 在列表 list 中變化 RandomIntegerrange,n生成 n 個(gè)偽隨機(jī)整數(shù)，range 表示取值范圍 RandomRealrange,n生成 n 個(gè)偽隨機(jī)實(shí)數(shù)，n 缺省值為 1 Table 中的 expr 一般給的是通項(xiàng)

15、公式28列表生成舉例In1:= x=ArraySin,3 Out1= Sin1, Sin2, Sin3In2:= y=TableSink,k,3 Out2= Sin1, Sin2, Sin3In3:= f=RandomReal1,5,2 Out3= 4.68541, 2.86979In4:= z=Tablei*j,i,3,5,j,2,4,2 Out4= 6, 12, 8, 16, 10, 20生成二維列表 29列表分量listk第 k 個(gè)分量list-k倒數(shù)第 k 個(gè)分量listij第 i 個(gè)分量的第 j 個(gè)分量listi,j第 i 個(gè)分量的第 j 個(gè)分量 listi,j,.listi,lis

16、tj, . Firstlist第一個(gè)分量Lastlist最后一個(gè)分量Takelist,k前 k 個(gè)分量Takelist,-k最后 k 個(gè)分量Takelist,ilistiTakelist,i,jlisti,listi+1, ., listjlisti;j同上Takelist,i,j,hlisti,listi+h, . listi;j;h同上 30列表修改Droplist,k刪除第 k 個(gè)分量Droplist,k刪除前 k 個(gè)分量Droplist,-k刪除最后 k 個(gè)分量Droplist,i,j,h刪除 listi,listi+h, .Restlist刪除第一個(gè)分量 Mostlist刪除最后一個(gè)

17、分量Deletelist,k刪除第 k 個(gè)分量Deletelist,-k刪除倒數(shù)第 k 個(gè)分量Deletelist,i,j, .刪除 listi,j,. Insertlist,x,k在第 k 個(gè)位置插入 x Prependlist,x將 x 插入到 list 的最前面 PrependTolist,x將 x 插入到 list 的最前面，并將結(jié)果賦給 listAppendlist,x將 x 插入到 list 的最后面 AppendTolist,x將 x 插入到 list 的最前面，并將結(jié)果賦給 list31列表運(yùn)算Sortlist從小到大排序Reverselist將列表中的元素順序倒過(guò)來(lái)Apply

18、Plus,list求列表中所有元素之和ApplyTimes,list求列表中所有元素之積Totallist求列表中所有元素之和Lengthlist列表元素的個(gè)數(shù) 當(dāng)函數(shù)作用在列表上時(shí)，表示作用在每個(gè)分量上 In1:= x=Range0,Pi,Pi/4;In2:= y=Sinx 利用列表可以同時(shí)給多個(gè)變量賦值In3:= x,y=2,332矩陣定義 矩陣是列表的一種，可用 Array，Table 等函數(shù)創(chuàng)建In1:= Cleari,j; fi_,j_:=1/(i+j-1);In2:= A=Arrayf,3,3Arrayf,n生成向量 f1,f2,.,fnArrayf,m,n生成 m 行 n 列的矩

19、陣 fi,jArray函數(shù)名,取值范圍33矩陣定義Tableexpr,i,a,b,h向量Tableexpr,i,a1,b1,h1,j,a2,b2,h2矩陣Table通項(xiàng)公式,循環(huán)范圍,循環(huán)范圍,.i,a,b,hi 從 a 到 b，步長(zhǎng)為 h，最后一項(xiàng)不超過(guò) bi,a,b缺省步長(zhǎng)為 1i,b缺省首項(xiàng)為 1k重復(fù) k 次 循環(huán)范圍表示方法34矩陣舉例In1:= x=Table0,5 (* 長(zhǎng)度為 5 的零向量 *)In2:= A=Table0,5,5 （* 5 階零矩陣 *）In3:= A=Table1/(i+j-1),i,3,j,3In4:= B=Tablex+y,x,2,6,2,y,3,12,

20、3In5:= P=TableBinomiali,j,i,0,4,j,0,i;In6:= TableFormP (* 楊輝三角形 *)35矩陣分量MatrixFormA按矩陣方式顯示TableFormA按表格方式顯示（沒(méi)有括號(hào)）Ai,j矩陣分量 aijAAll,j矩陣第 j 列TakeA,i1,i2,.,j1,j2,.子矩陣In1:= TakeA,1,2,2,3/MatrixFormDimensionsA矩陣的維數(shù)（行數(shù)和列數(shù)）DimensionsA,k矩陣的前 k 重維數(shù)36特殊矩陣IdentityMatrixnn 階單位矩陣ConstantArrayc,m,n生成 m 行 n 列的常數(shù)矩陣，

21、元素都為 cDiagonalMatrixlist以列表 list 中的元素為對(duì)角線的對(duì)角矩陣HilbertMatrixnn 階的 Hilbert 矩陣In4:= A=RandomReal0,1,3,4 In5:= DimensionsA,1 (* 矩陣的行數(shù) *)RandomIntegerrange,m,nm 行 n 列的偽隨機(jī)整數(shù)矩陣range 表示元素取值范圍RandomRealrange,m,nm 行 n 列的偽隨機(jī)實(shí)數(shù)矩陣37矩陣運(yùn)算A+B, A-B, A+a, A-a矩陣加減A.B普通矩陣乘積A*B, A/B對(duì)于分量相乘或相除DetA, InverseA行列式與矩陣的逆Transpo

22、seA轉(zhuǎn)置（不取共軛）ConjugateTransposeA共軛轉(zhuǎn)置MatrixRankA矩陣的秩EigenvaluesA特征值EigenvectorsA特征向量EigensystemA特征值和特征向量LinearSolveA,b解線性方程組 Ax=b設(shè) A，B 是矩陣，a 是標(biāo)量，b 是向量38符號(hào)計(jì)算 多項(xiàng)式運(yùn)算（略） 解代數(shù)方程（略） 解微分方程（略） 計(jì)算極限 計(jì)算導(dǎo)數(shù) 計(jì)算積分39計(jì)算極限Limitf,x-ax 趨向于 a 時(shí) f 的極限Limitf,x-a,Direction-1左極限Limitf,x-a,Direction-1右極限In1:= LimitSinx/x, x-0例：

23、計(jì)算 和In2:= Limit1/x, x-0, Direction-140計(jì)算導(dǎo)數(shù)Df,x計(jì)算 f 關(guān)于 x 的導(dǎo)數(shù)Df,x,y二重偏導(dǎo)數(shù)Df,x,y,.多重偏導(dǎo)數(shù)Df,x,nn 重導(dǎo)數(shù)In1:= DSinx*Tanx, x,2例：計(jì)算 和In2:= DSinx*x*y3, x, y41計(jì)算積分Integratef,x計(jì)算 f 關(guān)于 x 的不定積分（省略積分常數(shù)）Integratef,x,y二重積分（積分順序自右向左）Integratef,x,a,b定積分，積分區(qū)間為 a,bNIntegratef,x,a,b數(shù)值積分In1:= Integrate3*a*x*x, x例：計(jì)算 和In2:= I

24、ntegrate2*x+y, x, y (* 注意積分順序 *)In3:= IntegrateSinSinx, x,0,Pi例：計(jì)算 的精確值和近似值In4:= NIntegrateSinSinx, x,0,Pi42作圖 二維曲線做圖 函數(shù)作圖 參數(shù)方程作圖 極坐標(biāo)作圖 散點(diǎn)圖 三維做圖 三維曲線作圖 三維曲面函數(shù)作圖 三維曲面參數(shù)方程作圖43二維函數(shù)作圖Plotf,x,a,b畫(huà) f 關(guān)于 x 的圖像，繪圖區(qū)間為 a,bPlotf,x,a,b,options-val帶繪圖選項(xiàng)Plotf1,f2,., x,a,b在一個(gè)繪圖區(qū)域做多個(gè)函數(shù)的圖像 常用作圖選項(xiàng)AspectRatio圖形的高寬比，缺省

25、為 0.618AxesLabel坐標(biāo)軸標(biāo)注，缺省為不加標(biāo)注AxesStyle坐標(biāo)軸的粗細(xì)PlotLabel標(biāo)題，缺省為不加PlotPoint作圖時(shí)計(jì)算的點(diǎn)數(shù)，缺省為 25BaseStyle坐標(biāo)軸屬性：顏色，標(biāo)注字體大小PlotStyle指定線型，顏色，粗細(xì)（最常用的選項(xiàng)） 曲線方程：44作圖選項(xiàng) BaseStyle 和 PlotStyle 取值線型Dashed, Dotted, DotDashed粗細(xì)Thin, Thick, Thicknessw （w0,1,通常小于 0.1）顏色Red, Blue, White, Green, Yellow, Black, .RGBColorr,g,b字體大

26、小FontSize-大小In1:= PlotSinx2/(x+1), x,0,2*PiIn2:= PlotSinx2/(x+1), x,0,2*Pi, AxesLabel-x,fx, AxesStyle-Thick, PlotLabel-y=sinx/(x+1), BaseStyle-RGBColor0.6,0.6,0.2, FontSize-15, PlotStyle-Blue,Thick,Dashed45作圖選項(xiàng) 更多作圖選項(xiàng)In3:= PlotSinx2/(x+1), x,0,2*Pi, Filling-Axis, Frame-True, BaseStyle-FontSize-15, P

27、lotStyle-Blue,Thick,DashedFilling-Axis填充曲線與 x 軸所圍區(qū)域Ticks-None取消刻度Axes-None取消坐標(biāo)軸Frame-True加邊框FrameLabel邊框標(biāo)注可輸入命令 OptionsPlot 查看 Plot 的所有作圖選項(xiàng)46參數(shù)方程作圖ParametricPlotx,y,t,a,b參數(shù)方程，繪圖區(qū)域 ta,bIn3:= ParametricPlotSint,Sin2*t, t,0,2*Pi, BaseStyle-FontSize-15, PlotStyle-Blue,Thick,Dashed 曲線方程： 該函數(shù)也可以同時(shí)繪制多個(gè)圖像Pa

28、rametricPlotx1,y1,x2,y2,., t,a,b47參數(shù)方程作圖In4:= ParametricPlot2*Cost,2*Sint, 2*Cost,Sint, Cost,2*Sint, Cost,Sint, t,0,2*Pi, PlotStyle-Blue,Thick, Red,Dashed, Green,Dotted, Black,DotDashed48極坐標(biāo)方程作圖PolarPlotr,極坐標(biāo)方程作圖，可帶繪圖選項(xiàng)In1:= PolarPlot2, t,0,2*Pi 曲線極坐標(biāo)方程：In2:= PolarPlott, t,0,3*PiIn3:= PolarPlot0.5,0

29、.5+1/24*Sin12*t, t,0,2*PiIn4:= PolarPlotExpCost-Pi/2-2*Cos4*(t-Pi/2) +Sin(t-Pi/2)/125, t,0,36*Pi, Axes-None49散點(diǎn)圖ListPlotx1,y1,x2,y2,.散點(diǎn)圖ListPloty1,y2,.數(shù)據(jù)點(diǎn)：(1, y1), (2, y2), . ListPlotlist,Joined-True畫(huà)過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)的連線ListLinePlotlist帶連線的散點(diǎn)圖ListPolarPlotlist極坐標(biāo)下的散點(diǎn)圖 常用選項(xiàng)PointSizea點(diǎn)的大小，通過(guò) PlotSytle 來(lái)設(shè)置PlotMarke

30、rs-g,size點(diǎn)的形狀和大?。赏ㄟ^(guò)面板 Palettes 輸入） 給的數(shù)據(jù)點(diǎn)：50散點(diǎn)圖In1:= list=Tablex,Sinx,x,-Pi,Pi,Pi/10; ListPlotlist,BaseStyle-FontSize-15, PlotStyle-PointSize0.03In2:= ListPlotlist,PlotMarkers-, 25In3:= ListPolarPlotSinRange0, 12*Pi, Pi/20, 0.8*SinRange0, 12*Pi, Pi/20, PlotMarkers-,12, Joined-True, Axes-None51三維曲線作圖ParametricPlot3Dx,y,z,t,a,b,選項(xiàng)三維曲線繪圖 三維曲線方程：In1:= ParametricPlot3Dt*Sint,t*Cost,t, t,0,100,PlotStyle-Blue,Thickness0.00552三維曲面作圖Pl