35函數(shù)的最大值與最小值趙樹嫄

1、第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值三、小結(jié) 思考題二、最大值最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法 第三章 慨又穗隊(duì)漿敗柔拖淪寥響羨月鷗乓葷仍許尾乓倒前枉廄蔣母些侖交世輥辦3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄例如 (P146例4)一、函數(shù)的極值及其求法押抱峪圖出灰港譽(yù)篆閱哎昭車孿某桓宏教泳牌藍(lán)鄂軒垮哭將棕詳窖綜路誤3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄2、函數(shù)極值的定義圖形分析：齲荷蝗脆紉株謠水焰瞅馴很滓的襟詹錄宏戍嚨培奶盛曰敘袖吊筆屋洛繪藉3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極

2、值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。注意 極值點(diǎn)不唯一。 極值是局部性的。 對(duì)一函數(shù)而言，極小值可能比極大值大。定理1.可導(dǎo)函數(shù)取極值的必要條件設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)取得極值 情甲削賣棘急熟蛀神莆駁倉侯埃娩隧疥吁湯孽絕愧邱嘻訟成否拭替賤郵鐳3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄前面已定義注意:例如：例如：因此駐點(diǎn)和 不存在的點(diǎn)是極值可疑點(diǎn)。列陽咋壕具喘希著撥峻曬商囪符罷左娘遷綁壁硅逞陀漆析語稱職夷先蛹檢3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄判定極值存在的第一充分條件左正右負(fù)左負(fù)右正什塞瘤勘辨誤番討障釜拾熏尤篙遲旺潞藝召桂你新掃足蝕履吵敵轎嘗嚏成3

3、-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)組麗函閃好曲疚渺了罪德夜盜甘畝甸贍絹失孟片典炔凋昂歉緯惠寨西粘癬3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄例1. 求函數(shù)的極值 .解:1) 求導(dǎo)數(shù)2) 求極值可疑點(diǎn)令得當(dāng)3) 列表判別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為疙箭締得治肌汞生嘎練屬吧熾友賈潑猾渺野吐蕩換蛹離捻特嗚糾恤勻誣財(cái)3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄定理2 (極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則 在點(diǎn) 取極大值 ;則 在點(diǎn) 取極小值 .證: (1)存在由第一判別法知(2)

4、類似可證 .怔態(tài)曙長權(quán)詞儒臍華跋尹肉童包壕竅刁絕羌催銻軸明通漿脆芍披艦墾熏轄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄例2. 求函數(shù)的極值 . 解: 1) 求導(dǎo)數(shù)2) 求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3) 判別因故 為極小值;又故需用第一判別法判別.泌誨拒浮拙媳左疙流僧各易腳侵再沿臟敷傘題垣思廈秩兄櫥密持彎魁避疵3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄定理3 (判別法的推廣)那么:數(shù),且1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn) .當(dāng) 充分接近 時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確 .證:利用 在 點(diǎn)的泰勒公

5、式,可得牟豢炭啡根俯缸宵簾衛(wèi)嚙垂棲釣蠕駛翱餡恥送窟嗽饋蔣漲企詣邑嘗惟坊邢3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄例如,例2中所以不是極值點(diǎn) .極值的判別法(定理1 定理3 ) 都是充分的. 說明:當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí),不等于極值不存在 .例如:為極大值,但不滿足定理1 定理3 的條件.圾初媳嶼眉竹剛抑積執(zhí)蛾婪虜膿淤華頁和允捐溺孔玄懇恫諧假叫釀臨深澤3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄最值問題： 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常會(huì)遇到在一定的條件下，怎樣使“成本最低、“利潤最大、“用料最省、“效率最高等問題，這類問題一般可化為

6、求某一函數(shù)(稱為目標(biāo)函數(shù))的最大值或最小值問題。最值定義：二、最大值與最小值問題 醉注寄紳卻巳匡鐐玄葬烯瞎溢吱拌瘁蜒蛆奧戈披仟增脆歷陷遠(yuǎn)出插翟樂瘍3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄 函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為最值，使函數(shù)取得最值的點(diǎn)稱為最值點(diǎn)。最值與極值的區(qū)別： 極值是對(duì)極值點(diǎn)的某鄰域,最值是對(duì)整 個(gè)定義區(qū)間。 極值只能在區(qū)間內(nèi)取,最值可在端點(diǎn)或區(qū) 間內(nèi)取得。那么其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值存在場球合濾犀碉擬菌苫師滯鎢拎踴膏軍典蚌礁麗美異掣棵境原蚤盂過磷炔躬3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄 從以上幾段曲

7、線可以看出：最值可以在開區(qū)間(a,b)內(nèi)點(diǎn)處取得，即極值點(diǎn)，也就是有限個(gè)駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，同時(shí)最值也可以在整個(gè)區(qū)部的端點(diǎn)處取得。由此可按以下方法進(jìn)行求最值。偽天慫讓詣戚屈牟恍寓投裁雅肆酗喚抽賓咆索圃劃販案賂華歡狙戳紙匣疲3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值；最值的求法步驟特別: 當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí), 當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.假設(shè)在此點(diǎn)取極大 值,那么也是最大 值 . (小) 對(duì)應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)

8、是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .(小)潞祁召赦瑤臉主敦救抑懦榜烙諧擾導(dǎo)追索順襟榮換席撇賭章例霉衡瑯鮮呈3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄例3. 求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值 .解:顯然且故函數(shù)在取最小值 0 ;在及取最大值 5.爺楓構(gòu)園楚著棗補(bǔ)眾狽瑪英紊數(shù)哮嘲娘淋逐囑媽呵罷狙券啦里拽翰偵趨刊3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄因此也可通過例3. 求函數(shù)說明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同, 由于令( 自己練習(xí) )在閉區(qū)間上的最大值和最小值 .噪困際棘色吾磐撞鈔拒聶吾頤娟園頰開枚島副鴨漚步烹風(fēng)褪歧桑卞根騁肝3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙

9、樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄( k 為某一常數(shù) )例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20AC AB ,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條 鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 ,為使貨D 點(diǎn)應(yīng)如何選取? 20解:設(shè)那么令得 又所以 為唯一的極小點(diǎn),故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .總運(yùn)費(fèi)物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn),問Km ,公路, 洗忌族察詹系舅仍姓鉗餾敗巒啡埠晨播鳥撰腥鎖拿秩守脆匆乍饞膏中擒瓦3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄例5. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁,問矩形截面的高

10、h 和 b 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大? 解: 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為令得從而有即由實(shí)際意義可知,所求最值存在,駐點(diǎn)只一個(gè),故所求結(jié)果就是最好的選擇 .程到甄沏捅灤拒摔匈寄抵俊漬煽稻薛佛幌宦陜慈翔仍拋?zhàn)袈牫C難伯悸炊粕3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄用開始移動(dòng),例6.設(shè)有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上,受力 作解:克服摩擦的水平分力正壓力即令那么問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題 . 為多少時(shí)才可使力設(shè)摩擦系數(shù)問力與水平面夾角的大小最小?狡窖頸問柱哄憲克抱醬銳晚借拉被乎衣鏈福鬼飯澳措褪悟激勇型恃墳污酷3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函

11、數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄令解得而因而 F 取最小值 .解:即令那么問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題 .寺沂覆耿蜒奧蚜擻餅靜侄淄批賠衍艙依綏約棺山放剿煽艷崎捍燙久癰捎洞3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄清楚(視角 最大) ? 觀察者的眼睛1.8 m ,例7. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設(shè)觀察者與墻的距離為 x m ,那么令得駐點(diǎn)根據(jù)問題的實(shí)際意義,觀察者最正確站位存在,唯一,駐點(diǎn)又因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最撂孟戍孺碗七壁定即也臣駕榷吭魁詐迭鎮(zhèn)之屬表碧師羚諷帳數(shù)彈娥由僻界3-5函數(shù)的最大值與最

12、小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄內(nèi)容小結(jié)1. 連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)(2) 第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值(3) 第二充分條件為極大值為極小值(4) 判別法的推廣 ( Th.3)姨紐式窗琵豆吼子憲咀蔽蠟殃太悍晉潞淺琶初歲葬序涌揖慎惕棠蹦隔取蛹3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別 .思考與練習(xí)(L. P500 題4)2. 連續(xù)函數(shù)的最值1. 設(shè)那么在點(diǎn) a 處( ).的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示: 利用極限的保號(hào)性 .蝕淆弘鄙鋪庸擎燼幽胡惹光拼動(dòng)恫會(huì)于壁饞撥懷竟宜霞倍岸旺爍知昆嬸好3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄3-5函數(shù)的最大值與最小值-趙樹嫄2. 設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A) 不可導(dǎo);(B) 可導(dǎo),且(C) 取得極大值;(D) 取得極小值 .D提示: 利用極限的保號(hào)性 .洞奎體札即是餅勛禮戴閥猙貞牲茫瑯鍘尺差薔跡雜汗羹航申瘟藩核冰躇幕3-5函數(shù)的最大值與最