遼寧省沈陽市二十2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”意思為有一個人要走378里路，

2、第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達目的地，請問第二天比第四天多走了（ ）A96里B72里C48里D24里2已知曲線的一條對稱軸方程為，曲線向左平移個單位長度，得到曲線的一個對稱中心的坐標為，則的最小值是（ ）ABCD3設(shè)全集集合，則（ ）ABCD4復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則( )AiB2iC2iDi5運行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為99，則判斷框中可以填（ ）ABCD6如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（ ）A該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長C該年第一季度GDP

3、總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元7半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為（ ）ABCD8已知橢圓內(nèi)有一條以點為中點的弦，則直線的方程為( )ABCD9設(shè)全集，集合，則( )ABCD10已知雙曲線的右焦點為，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，延長交右支于點，若，則雙曲線的離心率是（ ）ABCD11已知橢圓：的左，右焦點分別為，過的直線交橢圓于，兩點，若，且的三邊長，成等差數(shù)列，則的離心率為（ ）ABCD12閱讀下面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，程序運行輸出的結(jié)果是（ ）A11B1C29D28二、填空題：本

4、題共4小題，每小題5分，共20分。13棱長為的正四面體與正三棱錐的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體的頂點均在一球的球面上，則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為_.14在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點若該三角形的面積的最大值為，則實數(shù)a的值為_15拋物線上到其焦點距離為5的點有_個16已知全集，集合則_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設(shè)函數(shù)（1）當時，解不等式；（2）若的解集為，求證：18（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.19（12分）已知，函數(shù).（）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，

5、求的值；（）若恒成立，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）20（12分）已知，且的解集為.（1）求實數(shù)，的值；（2）若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14，求實數(shù)取值范圍.21（12分）第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）中，提出推行生活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關(guān)法規(guī)宣傳普及的關(guān)系，對某試點社區(qū)抽取戶居民進行調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計已知在抽取的戶居民中隨機抽取戶，抽到分類意識強的概率為（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為居民分類意識的強弱與政

6、府宣傳普及工作有關(guān)？說明你的理由；（2）已知在試點前分類意識強的戶居民中，有戶自覺垃圾分類在年以上，現(xiàn)在從試點前分類意識強的戶居民中，隨機選出戶進行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，求分布列及數(shù)學(xué)期望參考公式：，其中下面的臨界值表僅供參考22（10分）已知.（） 若，求不等式的解集；（），求實數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，計算，代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此

7、人第一天走的路程為，則，解得，從而可得，故.故選：.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.2C【解析】在對稱軸處取得最值有，結(jié)合，可得，易得曲線的解析式為，結(jié)合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】直線是曲線的一條對稱軸.，又.平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為.，注意到故的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對稱性，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運算的能力，是一道中檔題.3A【解析】先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查集合的基本運算，涉及到補集、交集運算，是一道容易題.4B【解析

8、】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】為純虛數(shù)，解得. .故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.5C【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，即可容易求得結(jié)果.【詳解】運行該程序：第一次，；第二次，；第三次，；第九十八次，；第九十九次，此時要輸出的值為99.此時.故選：C.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及判斷條件的選擇，屬基礎(chǔ)題.6D【解析】根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確；.故D項不正確.故選：D

9、.【點睛】本題考查折線圖、柱形圖的識別，考查學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.7B【解析】設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長與高分別為，利用，可得，進一步得到側(cè)面積，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長與高分別為，則，在中，化為，當且僅當時取等號，此時.故選：B.【點睛】本題考查正三棱柱與球的切接問題，涉及到基本不等式求最值，考查學(xué)生的計算能力，是一道中檔題.8C【解析】設(shè)，則，相減得到，解得答案.【詳解】設(shè)，設(shè)直線斜率為，則，相減得到：，的中點為，即，故，直線的方程為：.故選：.【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)點差法求直線方程，意在考查

10、學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.9A【解析】先求得全集包含的元素，由此求得集合的補集.【詳解】由解得，故，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.10D【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，設(shè)，則，和中，利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，設(shè)，則，根據(jù)對稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.11C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出，利用勾股定理列方程，結(jié)合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式，化簡后求得離心率.【詳解】由已知，成等差

11、數(shù)列，設(shè)，.由于，據(jù)勾股定理有，即，化簡得；由橢圓定義知的周長為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，離心率.故選：C【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.12C【解析】根據(jù)程序框圖的模擬過程，寫出每執(zhí)行一次的運行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.【詳解】初始值， 第一次循環(huán)：，；第二次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，；第四次循環(huán)：，；第五次循環(huán)：，；第六次循環(huán)：，；第七次循環(huán)：，；第九次循環(huán)：，；第十次循環(huán)：，；所以輸出.故選：C【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由棱長為

12、的正四面體求出外接球的半徑，進而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長，可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進而求出體積與表面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑，由等體積，求出內(nèi)切圓的半徑【詳解】由題意可知：多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于，連接，如圖則，且為外接球的直徑，可得，設(shè)三角形 的外接圓的半徑為，則，解得，設(shè)外接球的半徑為，則可得，即，解得，設(shè)正三棱錐的高為，因為，所以，所以，而，所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，即解得：故答案為：.【點睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意借助幾何體的直觀圖進行分析.143【解析】

13、設(shè)直線AB的方程為ykx+1，則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k0），聯(lián)立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【詳解】設(shè)直線AB的方程為ykx+1，則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx0，所以x0或xA的坐標（0，1），B的坐標為（，k1），即B（，），因此AB，同理可得：AC.RtABC的面積為SABAC令t，得S.t2，SABC.當且僅當，即t時，ABC的面積S有最大值為.解之得a3或a.a時，t2不符合題意，a3.故答案為：3.【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.152【

14、解析】設(shè)符合條件的點,由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】設(shè)符合條件的點,則,所以符合條件的點有2個.故答案為:2【點睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用,考查拋物線的焦半徑.16【解析】根據(jù)補集的定義求解即可.【詳解】解：故答案為【點睛】本題主要考查了補集的運算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）見解析.【解析】（1）當時，將所求不等式變形為，然后分、三段解不等式，綜合可得出原不等式的解集；（2）先由不等式的解集求得實數(shù)，可得出，將代數(shù)式變形為，將與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，進而可證得結(jié)論.【詳解】（1）當時，不等式為，且

15、.當時，由得，解得，此時；當時，由得，該不等式不成立，此時；當時，由得，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2）由，得，即或，不等式的解集為，故，解得， ，當且僅當，時取等號，【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了利用基本不等式證明不等式，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.18（）（）見證明【解析】（）求導(dǎo)得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（）由是減函數(shù)，且可得，當時，則，即，兩邊同除以得，即，從而 ，兩邊取對數(shù) ，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)證明即可【詳解】解：（）的定義域為，.由是減函數(shù)得

16、，對任意的，都有恒成立.設(shè).，由知，當時，；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在時取得最大值.又，對任意的，恒成立，即的最大值為.，解得.（）由是減函數(shù)，且可得，當時，即.兩邊同除以得，即.從而 ，所以 .下面證；記，. ，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，即時，當時，.，當時，即.綜上可得，.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計算求解能力，屬于難題，19（）；（）3.【解析】（）先求導(dǎo)，得，已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，令，求得，討論得，而，故，進而得解；（）可通過必要性探路，當時，

17、由知，又由于，則，當，結(jié)合零點存在定理可判斷必存在使得，得，化簡得，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證；【詳解】（）的定義域為.易知單調(diào)遞增，由題意有.令，則.令得.所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.所以，而又有，因此，所以.（）由知，又由于，則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增，而，因此必存在使得，即.且當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；則.綜上，的最大值為3.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值，屬于中檔題20（1），；（2）【解析】（1）解絕對值不等式得，根據(jù)不等式的解集為列出方程組，解出即可；（2）求出的圖像與直線及交點的坐標，通過分割法將四邊形的面積分為兩個三角形

18、，列出不等式，解不等式即可.【詳解】（1）由得：，即，解得，.（2）的圖像與直線及圍成的四邊形，.過點向引垂線，垂足為，則.化簡得：，（舍）或.故的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的求法，以及絕對值不等式在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.21（1）有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系見解析（2）分布列見解析，期望為1【解析】（1）由在抽取的戶居民中隨機抽取戶，抽到分類意識強的概率為可得列聯(lián)表，然后計算后可得結(jié)論；（2）由已知的取值分別為，分別計算概率得分布列，由公式計算出期望【詳解】解：（1）根據(jù)在抽取的戶居民中隨機抽取戶，到分類意識強的概率為，可得分類意識強的有戶，故可得列聯(lián)表如下：分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計因為的觀測值，所以有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系（2）現(xiàn)在從試點前分類意識強的戶居民中，選出戶進行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，則0，1，2，3，故，則的分布列為【點睛】本題考查獨立性檢驗，考查隨