2022年全等三角形問題中常見的種輔助線的作法

1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個(gè)角之間的相等1. 等腰三角形“ 三線合一” 法：合一” 的性質(zhì)解題遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“ 三線2. 倍長中線： 倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形 3. 角平分線在三種添輔助線 4. 垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5. 用“ 截長法” 或“ 補(bǔ)短法”：遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6. 圖形補(bǔ)全法： 有一個(gè)角為60 度或 120 度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7. 角度數(shù)為 30、60 度的作垂線法： 遇到三角形中的一個(gè)角為 30 度或 60 度，可以

2、從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后計(jì)算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8. 計(jì)算數(shù)值法： 遇到等腰直角三角形，正方形時(shí)，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形 , 常計(jì)算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“ 三線合一” 的性

3、質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“ 對(duì)折” 法 構(gòu)造全等三角形2) 遇到三角形的中線，倍長中線， 使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“ 旋轉(zhuǎn)”法構(gòu)造全等三角形3) 遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“ 對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理 （2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形。（ 3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。4)過圖形上某一點(diǎn)作特

4、定的平分線，構(gòu)造全等三角形， 利用的思維模式是全等變換中的“ 平移” 或“ 翻轉(zhuǎn)折疊”5)截長法與補(bǔ)短法， 具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長， 是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目6) 已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。特殊方法： 在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長中線（線段）造全等常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連例 1、（“ 希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5，AC=3，則中線

5、AD的取值范圍是 _. ABDC例 2、如圖，ABC中， E、F 分別在 AB、AC上， DEDF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與 EF 的大小 . AEF例 3、如圖，ABC中， BD=DC=AC，E 是 DC的中點(diǎn)，求證：BDCAD平分 BAE. ABDEC應(yīng)用：Rt1、（ 09崇文二模）以ABC 的兩邊 AB、AC 為腰分別向外作等腰RtABD 和等腰ACE ，BADCAE90 ,連接 DE，M、N分別是 BC、DE 的中點(diǎn)探究： AM 與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（ 1）如圖 當(dāng) ABC 為直角三角形時(shí)，AM 與DE的位置關(guān)系是，線段 AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（ 2）將圖中的等腰 Rt A

6、BD繞點(diǎn) A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) (0 AD+AE. ABDEC四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC中， B=60 ， ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn) O，求證： OE=OD AE O2、如圖，BDCABC中， AD平分 BAC，DGBC且平分 BC，DEAB于 E，DF AC于 F. （1）說明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE的長 . ABEGCFD應(yīng)用：1、如圖， OP 是 MON 的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P 所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖， 在 ABC 中，ACB 是直角， B

7、=60 ，AD、CE 分別是 BAC、BCA的平分線， AD、CE 相交于點(diǎn) F。請(qǐng)你判斷并寫出FE 與 FD 之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在 (1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。B M B O P E F D E F D 圖 N A 圖 C A 圖 C (第 23 題圖 ) 五、旋轉(zhuǎn)例 1 正方形 ABCD中，E 為 BC上的一點(diǎn)， F 為 CD上的一點(diǎn)， BE+DF=EF，求 EAF的度數(shù) . A DFBEC例 2 D 為等腰 Rt ABC 斜邊 AB的中點(diǎn)， DMDN,DM,DN分別

8、交 BC,CA于點(diǎn) E,F 。（1）當(dāng)MDN 繞點(diǎn) D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。B（2）若 AB=2，求四邊形DECF的面積。AEMCFAN例 3 如圖，ABC 是邊長為 3 的等邊三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC1200，以 D為頂點(diǎn)做一個(gè)0 60 角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn) M，交 AC于點(diǎn) N，連接 MN，則AMN的周長為；AMNB CD應(yīng)用：1 、 已 知 四 邊 形 A B C D中 ， A B A D， BC CD ， AB BC ，ABC 120，MBN 60，MBN 繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD，DC（或它們的延長線）于 E，F(xiàn)當(dāng)MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AE CF 時(shí)

9、（如圖 1），易證 AE CF EF 當(dāng)MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AE CF 時(shí)，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段 AE，CF， EF 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明BAMBAMADEMEEBCFNDCFNDFCN（圖 1）（圖 2）（圖 3）2、（西城 09 年一模） 已知 :PA=2 ,PB=4, 以 AB為一邊作正方形ABCD,使 P、D兩點(diǎn)落在直線 AB的兩側(cè) .(1) 如圖 , 當(dāng) APB=45 時(shí) , 求 AB及 PD的長 ; (2) 當(dāng) APB變化 , 且其它條件不變時(shí), 求 PD的最大值 , 及相應(yīng) APB的大

10、小 . 3、在等邊 ABC 的兩邊 AB 、AC 所在直線上分別有兩點(diǎn) M 、N，D 為 ABC 外一點(diǎn)，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：當(dāng) M 、N 分別在直線 AB 、AC 上移動(dòng)時(shí)，BM 、NC 、MN 之間的數(shù)量關(guān)系及 AMN 的周長 Q 與等邊 ABC 的周長 L 的關(guān)系圖 1 圖 2 圖 3 （I）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) M 、N 邊 AB 、AC 上，且 DM=DN關(guān)系是； 此時(shí)Q；L時(shí)， BM 、NC 、MN 之間的數(shù)量（II）如圖 2，點(diǎn) M 、N 邊 AB 、AC 上，且當(dāng) DM DN 時(shí)，猜想（ I）問的兩個(gè)結(jié)論還 成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（II

11、I ） 如圖 3，當(dāng) M 、 N 分別在邊 AB 、CA 的延長線上時(shí)，若 AN= x，則 Q= （用 x 、L 表示）參考答案與提示一、倍長中線（線段）造全等例 1、（“ 希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5，AC=3，則中線 AD的取值范圍是 _. 解：延長 AD至 E 使 AE 2AD，連 BE，由三角形性質(zhì)知AAB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范圍是 1AD4 B D C例 2、如圖，ABC中， E、F 分別在 AB、AC上， DEDF，D是中點(diǎn)，試比較 BE+CF與 EF 的大小 . A解： ( 倍長中線 , 等腰三角形“ 三線合一” 法 ) 延長 FD至 G使 F

12、G2EF，連 BG，EG, E顯然 BGFC，F(xiàn)在 EFG中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三線合一知 B D CEG EF 在 BEG中，由三角形性質(zhì)知EGBG+BE 故： EFBE+FC 例 3、如圖，ABC中， BD=DC=AC，E 是 DC的中點(diǎn)，求證：AD平分 BAE. ABDEC解：延長 AE至 G使 AG 2AE，連 BG，DG, 顯然 DGAC，GDC=ACD 由于 DC=AC，故ADC=DAC 在 ADB與 ADG中， BDAC=DG，AD AD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDC ADG 故 ADB ADG，故有 BAD=DAG，即 AD平分 BAE 應(yīng)用：Rt1、（

13、09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰ABCRtABD 和 等 腰ACE ，BADCAE90 ,連接 DE，M、N分別是 BC、DE 的中點(diǎn)探究： AM 與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（ 1）如圖 當(dāng) ABC 為直角三角形時(shí)，AM 與DE的位置關(guān)系是，線段 AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（ 2）將圖中的等腰 Rt ABD繞點(diǎn) A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) (0 90) 后，如圖所示，（ 1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由二、截長補(bǔ)短1、如圖，ABC 中， AB=2AC，AD平分 BAC ，且 AD=BD，求證： CDAC 解：（截長法）在 AB上取中點(diǎn) F，連 FD ADB是等腰三角形，F(xiàn)

14、 是底 AB中點(diǎn)，由三線合一知DF AB，故 AFD90 ADF ADC（SAS）ACD AFD90 即： CDAC 2、如圖， AD BC，EA,EB分別平分 DAB,CBA，CD過點(diǎn) E，求證 ;ABAD+BC 解：（截長法）在AB上取點(diǎn) F，使 AFAD，連 FE AD ADE AFE（SAS）ADE AFE，EADE+BCE180AFE+BFE180故 ECB EFB BC FBE CBE（AAS）故有 BFBC 從而 ;ABAD+BC ABQPBAC600，C4003、如圖，已知在ABC 內(nèi)，BAC ，C，P，Q分別在 BC，CA上，并且 AP，BQ分別是BQ+AQ=AB+BP AB

15、C 的角平分線。求證：解：（補(bǔ)短法 , 計(jì)算數(shù)值法）延長AB至 D，使 BD BP，連 DP 在等腰BPD中，可得 BDP40從而 BDP 40 ACP ADP ACP（ASA）故 ADAC 又 QBC40 QCB 故 BQ QC BD BP 從而 BQ+AQ=AB+BP 4、如圖，在四邊形ABCD中， BC BA,AD CD，BD平分ABC ，AD求證：AC1800解：（補(bǔ)短法）延長BA至 F，使 BFBC，連 FD BDF BDC（SAS）故 DFB DCB ，F(xiàn)DDC 又 ADCD 故在等腰BFD中BCDFB DAF 故有 BAD+BCD1805、如圖在ABC中， ABAC， 1 2，P

16、 為 AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC A1 2P解：（補(bǔ)短法）延長AC至 F，使 AFAB，連 PD BDC ABP AFP（SAS）故 BPPF 由三角形性質(zhì)知PB PCPFPC BF=BA+AF=BA+AC 從而 PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=例 2 如圖，在ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且 BD=CE，求證： AB+ACAD+AE. 證明：取 BC 中點(diǎn) M,連 AM 并延長至 N,使 MN=AM, 連 BN,DN.BD=CE, DM=EM, DMN EMA(SAS), DN=AE, 同理 BN=CA. 延長 ND 交 AB 于 P,則 BN+BPPN,DP

17、+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各減去 DP,得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE 。四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC中， B=60 ， ABC的角平分線 AD,CE相交于點(diǎn) O，求證： OE=OD，ADC+AE =AC證明 (角平分線在三種添輔助線 , 計(jì)算數(shù)值法 )B=60 度, 則 BAC+BCA=120 度; EOAD,CE 均為角平分線 , 則 OAC+ OCA=60 度=AOE=COD; AOC=120 度. BDC在 AC 上截取線段 AF=AE, 連接 OF. 又 AO=AO; OAE= OAF .則OAE OAF(SAS),O

18、E=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度. 則 COF=AOC- AOF=60 度=COD; 又 CO=CO; OCD= OCF. 故 OCD OCF(SAS),OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如圖，ABC中， AD平分 BAC，DGBC且平分 BC，DEAB于 E，DF AC于 F. （1）說明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE的長 . 解： ( 垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端) 連接 BD，DC BEGACDG垂直平分 BC，故 BD DC 由于 AD平分 BAC， DE AB于 E，DFAC于 F，故有ED D

19、F DF故 RT DBERT DFC（HL）故有 BECF。AB+AC2AE AE（ a+b） /2 BE=(a-b)/2 應(yīng)用：1、如圖， OP 是 MON 的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P 所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖， 在 ABC 中，ACB 是直角， B=60 ，AD、CE 分別是 BAC、BCA的平分線， AD、CE 相交于點(diǎn) F。請(qǐng)你判斷并寫出FE 與 FD 之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在 (1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)

20、說明理由。B M B E F D E F D O P 圖 N A 圖 C A 圖 C (第 23 題圖 ) 五、旋轉(zhuǎn)例 1 正方形 ABCD中，E 為 BC上的一點(diǎn)， F 為 CD上的一點(diǎn)， BE+DF=EF，求 EAF的度數(shù) . 證明：將三角形 ADF 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 度，至三角形ADABG F則 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE ，AF=AG ，所以三角形 AEF 全等于 AEG BEC所以 EAF= GAE= BAE+GAB= BAE+ DAF 又 EAF+BAE+ DAF=90 所以 EAF=45 度例 2 D 為等腰 Rt ABC 斜邊 AB的中點(diǎn)， D

21、MDN,DM,DN分別交 BC,CA于點(diǎn) E,F 。(1) 當(dāng) MDN 繞點(diǎn) D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證 DE=DF。(2) 若 AB=2，求四邊形 DECF的面積。解： (計(jì)算數(shù)值法 ) （1）連接 DC，D為等腰 RtABC 斜邊 AB的中點(diǎn)，故有CDAB，CDDA CD平分 BCA 90 ， ECD DCA 45由于 DMDN，有 EDN 90由于 CDAB，有 CDA 90從而 CDE FDA故有 CDE ADF（ASA）故有 DE=DF （2）S ABC=2, S 四 DECF= S ACD=1例 3 如圖，ABC 是邊長為 3 的等邊三角形，BDC 是等腰三角形，且 BDC 120 0，以 D

22、為頂點(diǎn)做一個(gè) 60 角，使其兩邊分別交 0 AB于點(diǎn) M，交 AC于點(diǎn) N，連接 MN，則 AMN的周長為；解： (圖形補(bǔ)全法 , “ 截長法” 或“ 補(bǔ)短法”, 計(jì)算數(shù)值法 ) AC 的延長線與 BD 的延長線交 于點(diǎn) F，在線段 CF 上取點(diǎn) E，使 CEBM ABC 為等邊三角形，BCD 為等腰三角形，且BDC=120， MBD= MBC+ DBC=60+30 =90 ，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又 BM=CE ，BD=CD ， CDE BDM ， CDE= BDM ， DE=DM ，NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120-60 =60 ，在 DMN 和 DEN 中，DM=DE MDN= EDN=60 DN=DN DMN DEN ，MN=NE 在 DMA 和 DEF 中，DM=DE MDA=60- MDB=60- CDE=EDF (CDE= BDM) DAM= DFE=30 DMN DEN (AAS) ，MA=FE AMN 的周長為 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6應(yīng)用：1 、 已 知 四 邊 形 A B C D中 ， A