浙教版八年級(jí)競(jìng)賽培優(yōu)訓(xùn)練第5講直角三角形

1、圖1一5一3第5講直角三角形Iq思維訓(xùn)練【思維入門(mén)】.在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于60。，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是 ()A. 120B. 90C. 60D, 30.如圖 1一51, A8C 中，A8=AC=10, BC=8,平分N84C 交 8c 于點(diǎn) O,點(diǎn)E為4c的中點(diǎn)，連結(jié)。E,則CQE的周長(zhǎng)為()C圖1一5一1.如圖 1一52, RtZA8C 中，ZACB=90 ,點(diǎn)。為斜邊 48 的中點(diǎn)，A8=10cm, 則CD的長(zhǎng)為 cm.圖1一5一2.將一副三角板拼成如圖15 3所示的圖形，過(guò)點(diǎn)C作CT平分NOCE交OE于點(diǎn)F.(1)求證：CF/ABx(2)求/C的度數(shù).如圖 1一54,在A8

2、C 中，AB = CB, NA8C=90 ,。為 A8 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn) E在BC邊上，且BE=BD,連結(jié)AE, DE, DC.(1)求證：ABE/CBD；若NC4E=30 ,求N8OC的度數(shù).【思維拓展】.如圖1一5 5,在RtZVlBC中，D, E為斜邊48上的兩個(gè)點(diǎn)，且BO=BC, AE=AC, 則NOCE的大小為:圖1一5一5.如圖 156, ZVIBC 中，AB=AC,。石垂直平分 A8, BELAC, AFVBC, iZEFC圖1一5一6.如圖 1一5 7, ZABC=90Q , D, E 分別在 8C, 4c 上，ADLDE,且 AO=0E,點(diǎn) 產(chǎn)是AE的中點(diǎn)，尸。與48延長(zhǎng)線相

3、交于點(diǎn)M.(1)求證：ZFMC=ZFCM；(2)4。與MC垂直嗎？并說(shuō)明理由.A圖1一5一7.如圖15 8,在A8C中，ZACB=90D , AC=BC, E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ADLAB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)且 NACF=NC8G.D.求證:(Y)AF=CG；(2)CF=2DE.【思維升華】10.如圖1一5一9,有一塊直角三角板X(qián)YZ放置在A8C上，恰好三角板X(qián)VZ的兩條直 角邊 XY, XZ 分別經(jīng)過(guò)點(diǎn) 8, C,若NA=40 ,則 NABX+NACX=()11 .如圖1510,直線/平行于射線AM,要在直線/與射線4M上各找一點(diǎn)8和C, 使得以A, B,。為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，

4、這樣的三角形最多能畫(huà)一個(gè).圖1一5一3AKB圖 1 5 1012 .如圖 1一511,點(diǎn)尸在ABC 的 8C 邊上，且 PC=2PB,若N48C=45 , ZAPC= 60 ,則NAC3的度數(shù)是圖 1一51113 .如圖1-5-12,在A3C 中，AC=BC,且NAC8=90 ,點(diǎn)。是 AC 上一點(diǎn)，AE-LBD,交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且AE=3b。，則NABO=圖 1 51214.如圖1一513,在48C中，NAC8=90 , M是NC48的平分線4L的中點(diǎn)，延r/rl.NACK長(zhǎng) CM 交 A8 于 K, BK=BC,則 NCA8=, /” =Z. AC n圖 1 51315.如圖1一5

5、14,已知84。和8CE均為等腰直角三角形，NBAD=NBCE=90 , 點(diǎn)、M為DE的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E與A。平行的直線交射線AM于點(diǎn)N.(1)當(dāng)A, B, C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1一514)，求證：M為AN的中點(diǎn)；(2)將圖1一5一14中BCE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A, B,石三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1 一514)，求證：C4N為等腰直角三角形；(3)將圖1一514中ABCE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí),(2)中的結(jié)論是否仍然成立？ 若成立，試證明之；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖 1 5 14第5講直角三角形|白思維訓(xùn)練【思維入門(mén)】.在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于60。，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是(D )A.

6、120B. 90C. 60D. 30.如圖中，AB=AC=09 BC=8, AO 平分N84。交 BC 于點(diǎn)。，點(diǎn)A. 20B. 12E為AC的中點(diǎn)，連結(jié)OE,圖1一5一1(C )D. 13【解析】9：AB = AC ,平分NA4C , 8C=8 ,：ADBC , CD = BD = BC = 4 ,.點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，1：.DE= CE = yC = 5 ,aCDE 的周長(zhǎng)= C + DE+C = 4 + 5 + 5= 14.如圖 15 2, RtZVIBC 中，ZACB=90 ,點(diǎn) Z 為斜邊 AB 的中點(diǎn),38=10 cm,則CD的長(zhǎng)為二cm.圖1一5一2.將一副三角板拼成如圖15 3所

7、示的圖形，過(guò)點(diǎn)C作CT平分NOCE交OE于點(diǎn) F.(1)求證：CF/AB,(2)求NOFC的度數(shù).解：(1)證明：VZ)CE = 90 , C尸平分NOCE,：.zDCF = 45 ,“ABC是等腰直角三角形，：.zBAC = 45 , ：.zBAC= ZDCF , J.CFAB ;(2)VZ) = 30 ,S.zDFC = 180 - 30 - 45 = 105.如圖1一54,在ABC中，AB = CB, ZABC=90 ,。為48延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)七 在8c邊上，且BE=BD,連結(jié)AE, DE, DC. TOC o 1-5 h z (1)求證：ABE/4CBD；.A(2)若NCAE=30 ,

8、求N8OC 的度數(shù).K解：證明：: NA8C = 90。，:/DBE = 180 - ZABC = 180 - 90 = 90 , r ：.ABE = ZCBD.口在A8E 和C8O 中，圖 1一5一4AB = CB ,zABE= ZCBD ,EB = DB ,JAABCBD ;(2Y：AB = CB , zABC = 90 ,.”ABC是等腰直角三角形，.04=45。.nCAE= 30。，zBEA = A EC A + ZEAC ,.,.nBE4=45 + 30 = 75.由知 N8OC= ZBEA.：.zBDC = 75.B圖1一5一8【思維拓展】.如圖1一5 5,在Rt/VIBC中，D,

9、 E為斜邊A8上的兩個(gè)點(diǎn)，且BD=BC, AE=AC, 則NOCE的大小為差一。.圖1一5一5【解析】iZDCE = x , ACD = y ,貝iNACE = x + y , zBCE = 90 - ZACE=90 -x y：AE = AC ,：.zACE= ZAEC - x + y ,;BD = BC ,J.zBDC = A BCD = A BCE + ZDCE = 90 - x - y + a = 90 - y.在ADCE 中，：zDCE + ZCDE+ NDEC= 180 ,+ (90 -)，)+ (x + )= 180 ,解得x = 45 ,：.zDCE = 45.如圖 1一56,

10、ZVIBC 中，AB=AC,。上垂直平分 A8, BEAC, AFLBC,則NFC =_45.圖1一5一6.如圖 1一57, ZABC=90 , D, E 分別在 8C, AC 上，ADLDE, S.AD=DE,點(diǎn) 尸是AE的中點(diǎn)，尸。與48延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M.(1)求證：4FMC=/FCM；(2)4。與MC垂直嗎？并說(shuō)明理由.M圖1一5一7解：(1)證明：:AOE是等腰直角三角形，尸是AE的中點(diǎn)，：.DF1AE , DF = AF = EF.又NABC = 90 , zDCF , zAM/都與NMAC 互余，. /DCF= ZAMF.又 ZDFC = ZAFM = 90 ,JDFAFM.：.C

11、F = MF.:/FMC= NFCM ;(2)40 J_MC由(1)知 NMFC = 90。，/。=在，F(xiàn)M = FC ,：.zFDE = ZFMC = 45 ,：.DECM ,：AD1MC.如圖15 8,在ABC中，ZACB=90D , AC=BC9 E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ADLAB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)DAD. CG平分NAC8交8。于點(diǎn)G, F為AB邊上一點(diǎn),連結(jié)CR 且N4c/=NC8G.求證：(l)AF=CG；(2)CF=2DE.證明：(l)./AC8 = 90 , CG 平分NACB , AC = BC.：/BCG= NC48 = 45 ,又丁 ZACF= ZCBG , AC =

12、BC ,：aACCBG(ASA) , ：AF=CG ;(2)如答圖，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H.AC = BC , CG 平分NAC8 , J.CH1AB ,，為 AB 的中點(diǎn)，又AOLAB , J.CHAD ,：.G 為 BD 的中點(diǎn)，zD = ZEGC ,.E 為 AC 的中點(diǎn),：AE = EC ,又 ZAED = AC EG ,JAAEDCEG ,. .DE = EG ,.DG = IDE，:.BG = DG = 2DE ,由(1)得 CF=BG , ：.CF = 2DE.第9題答圖【思維升華】.如圖159,有一塊直角三角板X(qián)YZ放置在48C上，恰好三角板X(qián)YZ的兩條直角邊XY, XZ分別經(jīng)過(guò)

13、點(diǎn)3, C,若NA=40 ,則NABX+NACX=(D ).如圖1一510,直線/平行于射線AM,要在直線/與射線AM上各找一點(diǎn)8和C, 使得以A, B,。為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，這樣的三角形最多能畫(huà)_3一個(gè).圖 1 510【解析】如答圖.4c為直角邊時(shí)，符合的等腰直角三角形有2個(gè)，一個(gè)是以N84C為直角，一個(gè)是第11題答圖以NAC8為直角；4c為斜邊時(shí)，符合的等腰直角三角形有1個(gè).這樣的三角形最多能畫(huà)3個(gè)，.如圖 1一511,點(diǎn)尸在A8C 的 8C 邊上，且 PC=2PB,若N48C=45 , ZAPC=60 ,則NAC8的度數(shù)是_75一圖 1一511第12題答圖【解析】過(guò)。作AP的

14、垂線CD ,垂足為點(diǎn)。，連結(jié)中，zAPC = 60 ,：.zDCP = 30 , PC = 2PD ,：PC = 2PB , ：.BP = PD ,:BPD 是等腰三角形，/BDP= ZDBP = 30 ,8P = 45 , .28。= 15。，zBAP = ZAPC . ZABC = 60 -45= 15 ,：.zABD= ZBAD=50 , J.BDAD ,ZDBP= NOCP = 30 ,：.BD = DC , .BOC是等腰三角形，：BD = AD , ：AD = DC ,.NCOA = 90 , .28 = 45 ,：.zACB = ZDCP + ZACD = 75.13.如圖 1一

15、5 12,在ABC 中，AC=BC,且 NAC8=90 ,點(diǎn)。是 AC 上一點(diǎn)，AELBD,交 8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,且則 NA8D=_22.5。.第13題答圖【解析】延長(zhǎng)AE , 8c交于點(diǎn)丘.mBE ,尸=90 ,又N4C77= NACB = 90。，：.zDBC+ ZAFC= ZFAC+ A AFC = 90 ,:2DBC= ZFAC ,在人(7尸和BCO中，zACF= ZBCD = 90 , AC = BC,、/C= ZDBC ,：aACBCD(ASA),：AF = BD.又，：.AE = EF ,即點(diǎn)E是A/的中點(diǎn).：AB = BF ,是NA8C的角平分線.：.zABD = 22.5

16、.M是NC4B的平分線4L的中點(diǎn)，延14.如圖 1一513,在48C 中，ZACB=90Q ,ZACK X/KCB = 3一長(zhǎng) CM 交 A8 于 K, BK=BC,則 NC48=_45_,圖 1 513【解析】設(shè)NC4B = 2a.AM = ML ,且 NAC8 = 90 ,.,CM = M4 ,J.zACM = ZMAC = a.nCK8= NCAK+ ZACM = 3a ,KCB = 90 - A ACM = 90 - a.:BK = BC ,：.zCKB= NKCB.zACK 22.513,.;3a=90 - a ,即 a = 22.5.S.zCAB = 45 ,=zKCB 67.51

17、5.如圖1一514,已知A4O和8CE均為等腰直角三角形，NBAD= NBCE=90： 點(diǎn)M為。石的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E與4。平行的直線交射線AM于點(diǎn)N.(1)當(dāng)A, B, C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1一514)，求證：M為AN的中點(diǎn)；(2)將圖1一514中aBCE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A, B, E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1 一514)，求證：CAN為等腰直角三角形；(3)將圖1一514中ABCE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí),(2)中的結(jié)論是否仍然成立？ 若成立，試證明之；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.證明：(1)點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，:DM = ME.-ADEN , ：.zADM= NNEM ,又,? A DM A = ZEMN ,:DMAEMN ,SAM = MN ,即M為AN的中點(diǎn)；由(1)中aOM4g砂1% 可知 D4 = EN ,y. ：DA=AB , ：AB = NE ,. BC= ZNEC= 135 , BC=CE ,:ABQNEC ,：AC=CN , zACB = ZNCE ,