彈性力學(xué)之平面問(wèn)題的基本理論P(yáng)PT

1、第一節(jié) 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題第二節(jié) 平衡微分方程第三節(jié) 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第四節(jié) 幾何方程 剛體位移第五節(jié) 物理方程第六節(jié) 邊界條件第二章 平面問(wèn)題的基本理論第七節(jié) 圣維南原理及其應(yīng)用第八節(jié) 按位移求解平面問(wèn)題第九節(jié) 按應(yīng)力求解平面問(wèn)題 相容方程第十節(jié) 常應(yīng)力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)第二章 平面問(wèn)題的基本理論 彈性力學(xué)平面問(wèn)題共有應(yīng)力、應(yīng)變和位移8個(gè)未知函數(shù)，且均為 。2-1平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 彈性力學(xué)空間問(wèn)題共有應(yīng)力、應(yīng)變和位移15個(gè)未知函數(shù)，且均為 ；平面應(yīng)力 （4）約束作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變。 （3）面力作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變； （2）體

2、力作用于體內(nèi)，平行于板的中面，沿板厚不變；條件是： 第一種：平面應(yīng)力問(wèn)題 平面應(yīng)力 （1）等厚度的薄板； 坐標(biāo)系如圖選擇。平面應(yīng)力簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題： 故只有平面應(yīng)力 存在。 由于薄板很薄，應(yīng)力是連續(xù)變化的，又無(wú)z向外力，可認(rèn)為：平面應(yīng)力（1）兩板面上無(wú)面力和約束作用，故 所以歸納為平面應(yīng)力問(wèn)題：a.應(yīng)力中只有平面應(yīng)力 存在；b.且僅為 。平面應(yīng)力（2）由于板為等厚度，外力、約束沿z向不變，故應(yīng)力 僅為 。 （2）體力作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體長(zhǎng)度方向不變；平面應(yīng)變第二種：平面應(yīng)變問(wèn)題條件是： （1）很長(zhǎng)的常截面柱體； （3）面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長(zhǎng)度方向不變； （4）約束

3、作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長(zhǎng)度方向不變。坐標(biāo)系選擇如圖：平面應(yīng)變對(duì)稱面 故任何z 面（截面）均為對(duì)稱面。 平面應(yīng)變（1）截面、外力、約束沿z 向不變，外力、約束 平行xy面，柱體非常長(zhǎng)；簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題：（2）由于截面形狀、體力、面力及約束沿 向均不變，故應(yīng)力、應(yīng)變和位移均為 。平面應(yīng)變 所以歸納為平面應(yīng)變問(wèn)題： a.應(yīng)變中只有平面應(yīng)變分量 存在； b.且僅為 。平面應(yīng)變兩種平面問(wèn)題的比較平面應(yīng)變幾何特征受力特征獨(dú)立量基本方程平面應(yīng)力一個(gè)方向的尺寸其它兩個(gè)方向的尺寸、橫截面的形狀和尺寸沿長(zhǎng)度不變面力、體力、約束都平行于橫截面沿長(zhǎng)度不變將平面應(yīng)力問(wèn)題物理方程中的 代換即可22平衡微分方程

4、定義 平衡微分方程-表示物體內(nèi)任一點(diǎn)的微分體的平衡條件。 平面問(wèn)題的平衡微分方程可以由空間問(wèn)題的平衡微分方程簡(jiǎn)化得到。 平衡條件 兩種平面問(wèn)題都有 平面應(yīng)力 。 平面應(yīng)變 ，只是（x,y）的函數(shù)。由平衡條件 簡(jiǎn)化即可得到平面問(wèn)題的平衡微分方程 適用的條件-連續(xù)性，小變形；說(shuō)明對(duì)平衡微分方程的說(shuō)明： 代表A中所有點(diǎn)的平衡條件， 因?yàn)椋?，）A； 應(yīng)力不能直接求出； 對(duì)兩類平面問(wèn)題的方程相同。理論力學(xué)考慮整體 的平衡（只決定整體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）。 說(shuō)明比較:材料力學(xué)考慮有限體 的平衡（近似）。 彈性力學(xué)考慮微分體 的平衡（精確）。 當(dāng) 均平衡時(shí)，保證 ， 平衡；反之則不然。 說(shuō)明 所以彈力的平衡條件是

5、嚴(yán)格的，并且是精確的。 平面問(wèn)題的幾何方程，可以由空間問(wèn)題的幾何方程簡(jiǎn)化得到：說(shuō)明平面問(wèn)題的物理方程可以由空間問(wèn)題的物理方程簡(jiǎn)化得到。定義對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題，由于故其物理方程為：定義對(duì)平面應(yīng)變問(wèn)題，由于故其物理方程為：定義平面應(yīng)力物理方程平面應(yīng)變物理方程：平面應(yīng)變物理方程平面應(yīng)力物理方程： 已知坐標(biāo)面上應(yīng)力 ， 求斜面上的應(yīng)力。（注意此面平行于z軸，即方向余弦 ）問(wèn)題的提出：23平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題由空間問(wèn)題的結(jié)論問(wèn)題斜面應(yīng)力表示：簡(jiǎn)化得到斜面應(yīng)力(2)求（ ）將 向法向，切向投影，得 設(shè)某一斜面為主面，則只有由此建立方程，求出:(3)求主應(yīng)力斜面應(yīng)力(2-6)將x，y放在 方向，列出任一

6、斜面上應(yīng)力公式，可以得出（設(shè) ）(4)求最大，最小應(yīng)力最大，最小應(yīng)力說(shuō)明：以上均應(yīng)用彈力符號(hào)規(guī)定導(dǎo)出。 位移邊界條件 設(shè)在 部分邊界上給定位移分量 和 ,則有（在 上)。（2-14）定義 邊界條件 表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。位移邊界條件26邊界條件 若為簡(jiǎn)單的固定邊， 則有位移邊界條件的說(shuō)明：（在 上）（2-14） 它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條 件，或位移保持連續(xù)性的條件。 它是函數(shù)方程，要求在 上每一點(diǎn) ， 位移與對(duì)應(yīng)的約束位移相等。應(yīng)力邊界條件設(shè)在 上給定了面力分 量 應(yīng)力邊界條件（2-15） 它是邊界上微分體的靜力平衡條件；說(shuō)明應(yīng)力邊界條件的說(shuō)明： 式（2-15）

7、只能在邊界 s上成立； 它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點(diǎn)s 上均滿足，這是精確的條件； 所有邊界均應(yīng)滿足，無(wú)面力的邊界 （自由邊） 也必須滿足。 式（2-15）中， 按應(yīng)力符號(hào)規(guī)定， ， 按面力符號(hào)規(guī)定； 位移,應(yīng)力邊界條件均為每個(gè)邊界兩 個(gè)，分別表示 ， 向的條件；說(shuō)明若x=a為正x 面，l = 1, m = 0, 則式(d)成為當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時(shí)，坐標(biāo)面若x=-b為負(fù)x 面，l = -1, m = 0 , 則式(d)成為應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式：兩種表達(dá)式 在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對(duì) 應(yīng)的面力分量（數(shù)值相等，方向一 致）。即在同一邊界面上,應(yīng)力數(shù)值應(yīng) 等于面力數(shù)值(給定),應(yīng)力方向應(yīng)

8、同面 力方向(給定)。 在邊界點(diǎn)取出微分體，考慮其平衡條 件，得式（2-15） 部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件；混合邊界條件混合邊界條件： 同一邊界上，一個(gè)為位移邊界條件，另一個(gè)為應(yīng)力邊界條件。 彈性力學(xué)問(wèn)題是微分方程的邊值問(wèn)題。應(yīng)力，形變，位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi)的方程和S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。 27圣維南原理及其應(yīng)用 圣維南原理可用于簡(jiǎn)化小邊界上的應(yīng)力邊界條件。 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但 遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。圣維南原理圣維

9、南原理：圣維南原理1.圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界 （小邊界，次要邊界或局部邊界）；圣維南原理的說(shuō)明：4.遠(yuǎn)處 指“近處”之外。3.近處 指面力變換范圍的一，二倍 的局部區(qū)域；2.靜力等效 指兩者主矢量相同，對(duì) 同一點(diǎn)主矩也相同；圣維南原理 圣維南原理表明，在小邊界上進(jìn)行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部區(qū)域）的應(yīng)力，對(duì)絕大部分彈性體區(qū)域的應(yīng)力沒(méi)有明顯影響。 圣維南原理推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。 圣維南原理的應(yīng)用：1.推廣解答的應(yīng)用；2.簡(jiǎn)化小邊界上的邊界條件。應(yīng)用圣維南原理

10、在小邊界上的應(yīng)用： 精確的應(yīng)力邊界條件如圖，考慮 小邊界， 上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點(diǎn)，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。(a)在邊界 上， 在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a)的條件： 在同一邊界 x=l 上， 應(yīng)力的主矢量 = 面力的主矢量（給定); 應(yīng)力的主矩(M) = 面力的主矩（給定）.數(shù)值相等,方向一致.(b)圣維南原理的應(yīng)用積分的應(yīng)力邊界條件 右端面力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，均已給定； 左端應(yīng)力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，應(yīng)與面力相同，并按應(yīng)力的方向規(guī)定確定正負(fù)號(hào)。具體列出3個(gè)積分的條件：即： 應(yīng)力的主矢量，主矩的數(shù)值=面力的主矢量，主矩的數(shù)值； 應(yīng)力的

11、主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。 式中應(yīng)力主矢量，主矩的正方向,正負(fù)號(hào)的確定： 應(yīng)力的主矢量的正方向，即應(yīng)力的正方向， 應(yīng)力的主矩的正方向，即（正應(yīng)力） （正的矩臂）的方向。 精確的應(yīng)力邊界條件 積分的應(yīng)力邊界條件方程個(gè)數(shù) 2 3方程性質(zhì) 函數(shù)方程（難滿足） 代數(shù)方程（易滿足）精確性 精確 近似適用邊界 大，小邊界 小邊界比較： 平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題，除物理方程的彈性系數(shù)須變換外，其余完全相同。因此，兩者的解答相似,只須將 進(jìn)行變換。以下討論平面應(yīng)力問(wèn)題。1.平面問(wèn)題的基本方程及邊界條件平面問(wèn)題28按位移求解平面問(wèn)題 平面應(yīng)力問(wèn)題平面域A內(nèi)的基本方程:應(yīng)力邊界條件 位移邊界

12、條件 （在 上）（在 上）S上邊界條件: 8個(gè)未知函數(shù) 必須滿足上述方程和邊界條件。 按位移求解（位移法）取 ， 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變和應(yīng)力，導(dǎo)出只含 ， 的方程和邊界條件，從而求出 ， ；再求形變和應(yīng)力。2.解法消元法 解法 按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）取 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導(dǎo)出只含應(yīng)力的方程和邊界條件，從而求出應(yīng)力；再求形變和位移。 這是彈力問(wèn)題的兩種基本解法。3. 按位移求解 將其他未知函數(shù)用 ，表示： 形變用 ，表示幾何方程; 應(yīng)力先用形變來(lái)表示（物理方程）， 再代入幾何方程，用 ，表示: 取 ， 為基本未知函數(shù)；按位移求解（2-17） 在

13、A中導(dǎo)出求 ，的基本方程將上式 代入平衡微分方程，上式是用 ，表示的平衡微分方程。2-18位移邊界條件 （在 上） （2-19）（在 上）（2-14）應(yīng)力邊界條件將式(a)代入應(yīng)力邊界條件， 在S上的邊界條件 按位移求解時(shí)， ， 必須滿足A內(nèi)的方程(2-18)和位移邊界條件(2-14)或應(yīng)力邊界條件(2-19)。歸納： 按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點(diǎn)： 求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法，差分法，有限單元法）中有著廣泛的應(yīng)用。 適用性廣可適用于任何邊界條件。（1）取 為基本未知函數(shù)；基本方程29 按應(yīng)力求解平面問(wèn)題相容方程1.按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題（2）其他未知函數(shù)用應(yīng)力來(lái)表示:按應(yīng)力求解

14、位移用形變 應(yīng)力表示，須通過(guò)積分，不僅表達(dá)式較復(fù)雜，而且包含積分帶來(lái)的未知項(xiàng)，因此位移邊界條件用應(yīng)力分量來(lái)表示時(shí)既復(fù)雜又難以求解。故在按應(yīng)力求解時(shí)，只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題。 形變用應(yīng)力表示（物理方程）。 在A內(nèi)求解應(yīng)力的方程(2-20) 從幾何方程中消去位移 ， ，得相容方程（形變協(xié)調(diào)條件）： 補(bǔ)充方程從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出 :平衡微分方程 （2個(gè)）。 (2-1) 代入物理方程，消去形變，并應(yīng)用平衡微分方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，便得用應(yīng)力表示的相容方程 ： 其中 (4) 應(yīng)力邊界條件假定全部邊界上均為應(yīng)力邊界條件 。（2-21）（1）A內(nèi)的平衡微分方程（2-1）；（2）A內(nèi)的相容

15、方程（2-21）；（3）邊界 上的應(yīng)力邊界條件（2-15）；（4）對(duì)于多連體，還須滿足位移的單值條 件（見(jiàn)第四章）。 歸納： （1）-（4）也是校核應(yīng)力分量是否正確的全部條件。 按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題 ，應(yīng)力 必須滿足下列條件：2.形變協(xié)調(diào)條件（相容方程）的物理意義 形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。連續(xù)體位移連續(xù)幾何方程形變協(xié)調(diào)條件。 形變協(xié)調(diào)條件是與形變對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。形變協(xié)調(diào)對(duì)應(yīng)的位移存在位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調(diào)對(duì)應(yīng)的位移不存在不是物體實(shí)際存在的形變微分體變形后不保持連續(xù)。 相容方程 (2-22)1.常體力情況下按應(yīng)力求解的條件(2-1) 平衡微分方程 按應(yīng)力函數(shù)求解2

16、10常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)力邊界條件 (S) (2-15) 多連體中的位移單值條件。 在 - 條件下求解 的全部條件中均不包含彈性常數(shù)，故 與彈性常數(shù)無(wú)關(guān)。2.在常體力,單連體,全部為應(yīng)力邊界條件（ ）下的應(yīng)力 特征：結(jié)論：不同材料的應(yīng)力( )的理論解相 同，用試驗(yàn)方法求應(yīng)力時(shí)，也可以用不 同的材料來(lái)代替。兩類平面問(wèn)題的應(yīng)力解 相同，試 驗(yàn)時(shí)可用平面應(yīng)力的模型代替平面應(yīng)變的 模型。 3.常體力下按應(yīng)力求解的簡(jiǎn)化 對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，Airy已求出為 非齊次微分方程(b)的任一特解，如?。?）常體力下平衡微分方程的通解是： 非齊次特解+齊次通解。所以滿足平衡微分方程的通解為:(2-24)為艾里應(yīng)力函數(shù)。（2）應(yīng)力應(yīng)滿足相容方程（a），將式 （g）代入（a），得 （3）若全部為應(yīng)力邊界條件（ ）， 則應(yīng)力邊界條件也可用 表示。歸納：（1）區(qū)域內(nèi)的相容方程(2-25)；（2）全部應(yīng)力邊界