建筑結構抗震原理-多自由度體系地震反應分析

1、工程抗震原理Principles of Seismic Engineering土木工程專業(yè)本科專業(yè)課 主要內容工程結構抗震原理2/322第一章 工程抗震基礎知識第二章 場地與地基基礎抗震原理第三章 建筑結構抗震原理第六章 橋梁結構抗震原理第七章 工程結構減震控制原理第三章 建筑結構抗震原理1 概述2 單自由度體系地震反應分析3 單自由度體系水平地震作用4 多自由度體系地震反應分析5 地震分析振型分解反應譜法6 水平地震作用的底部剪力法7 考慮扭轉的水平地震作用8 結構豎向地震作用9 建筑結構抗震驗算10 結構自振周期和頻率的實用計算方法11 工程結構地震反應的時程分析方法12 地基與結構動力相

2、互作用效應4 多自由度體系地震反應分析4.1 動力方程的建立實際工程結構的質量都是沿結構幾何形狀連續(xù)分布的，因此，嚴格地說，其動力自由度應該是無限的。但是，采用無限自由度模型，一方面計算過于復雜；另一方面也沒這種必要，因為，選用有限多自由度模型的計算結果已能充分滿足一般工程設計的精度要求。因此，在研究和應用中，一般通過結構的離散化方法，將無限自由度體系轉化為有限自由度體系。4 多自由度體系地震反應分析由結構動力學理論可知，結構離散化的基本方法有廣義坐標法、有限元法和集中質量法。集中質量法是最早提出、也是最簡單的方法。這一方法人為地將質量集中于一些點處，與之相對應，結構的剛度特性、阻尼特性、荷載

3、特征則被集中于質量的平移自由度方向。集中質量法所帶來的計算便利是顯而易見的，但是，對于動力問題，不適當?shù)丶匈|量也可能導致較大的計算誤差。因此，對集中質量法應附加動能等效原則，即集中前后體系的動能不發(fā)生顯著變化。4 多自由度體系地震反應分析4 多自由度體系地震反應分析定義影響系數(shù)ij是由j坐標單位物理量在i坐標方向上引起的力，其具體含義可以是剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、質量等。對于一般多自由度體系，假定任意時刻t，j坐標方向的位移（相對于平衡位置）為uj，相應的速度、加速度分別為 、 。則在此時刻，所有j坐標處的物理量（包括i坐標處）與相應于坐標i處的影響系數(shù)乘積之和即為i坐標方向所受到的力，即：4

4、多自由度體系地震反應分析慣性力： 其中mij質量，對于集 中質量法，ij時mij=0；恢復力： kij剛度系數(shù)； n動力自由度數(shù);阻尼力: cij阻尼系數(shù)。根據(jù)達朗貝爾原理，上述各力之和即等于i坐標處作用的外力pi(t)，即：8/1804 多自由度體系地震反應分析全部n個坐標的運動方程可用矩陣形式表示為式中， M、C和K分別為結構離散體系的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，對于集中質量法，M為對角矩陣； uj、 和 分別為結構離散體系的位移向量、速度向量和加速度向量； P動外力向量。4 多自由度體系地震反應分析圖示多自由度彈性體系在水平地震運動作用下的變形情況。這時，體系上并無動外力p(t)作用，

5、僅有地震引起的地面運動 。此時，i質點的慣性力為：4 多自由度體系地震反應分析注意到彈性力和阻尼力僅與相對位移和相對速度有關，因此，由達朗貝爾原理可得水平地震運動作用下的運動方程為：寫成矩陣形式為：式中，I慣性力指示向量，4 多自由度體系地震反應分析4.2 地震反應分析的振型疊加法1. 振型與自振頻率求解彈性體系的自振頻率和振型稱為自振特性分析。由于體系的固有頻率和相應的振型都僅取決于體系自身的性質，而與時間無關，所以從廣義的觀點，自振特性分析的基本手段是變量分離法，即把時間因素與結構位置因素分離后，利用特征方程具有非零解的充分必要條件求取自振頻率及相應的振型。4 多自由度體系地震反應分析無阻

6、尼多自由度彈性體系的自由振動方程為：設結構作簡諧振動，其位移反應為：式中，自振頻率；初始相位角; 僅與位置坐標有關的向量?？梢缘玫教卣鞣匠蹋焊鶕?jù)線性代數(shù)的知識，特征方程存在非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零，即得到頻率方程：4 多自由度體系地震反應分析對于穩(wěn)定結構體系，其質量矩陣和剛度矩陣具有實對稱性和正定性，所以，相應的頻率方程的根都是正實根。對于處于隨遇平衡狀態(tài)或不穩(wěn)定狀態(tài)的結構體系，頻率方程會出現(xiàn)等于零的重根或虛根。一般地，地震工程中遇到的結構體系多為穩(wěn)定體系。4 多自由度體系地震反應分析根據(jù)特征方程：對應于頻率方程中的每一個根，都存在特征方程的一個非零解j，稱為振型向量，或叫特征向量，

7、或叫模態(tài)向量。由于特征方程的齊次性，該非零解是不定的，即振型向量幅值是任意的，但形狀是唯一的。因此，振型定義為結構位移形狀保持不變的振動形式。根據(jù)可知，若結構體系按某一振型振動，則體系的所有質點將按同一頻率作簡諧振動。4 多自由度體系地震反應分析為了對不同頻率的振型進行形狀上的比較，需要將其化為無量綱形式，這種轉化過程稱為振型的規(guī)格化。振型規(guī)格化的方法可采用下述三種方法之一：(1)特定坐標的規(guī)格化方法：指定振型向量中某一坐標值為1，其它元素按比例確定；(2)最大位移值的規(guī)格化方法：將振型向量各元素分別除以其中的最大值；4 多自由度體系地震反應分析(3)正交規(guī)格化方法：令 其中 對于M為對角質量

8、矩陣時，可簡寫為： 式中， jij振型向量第i坐標處的值； Mjj振型的廣義質量。4 多自由度體系地震反應分析2. 振型的正交性根據(jù)特征方程：分別對振型i、j列出運動方程：左式(a)兩邊乘以向量j的轉置jT，右式兩邊乘以向量i的轉置iT，則有：左式不變，而對右式進行轉置運算可得18/1804 多自由度體系地震反應分析將右式減去左式，可得：若ji，則有：同時有：分別稱為振型對質量矩陣的正交性和振型對剛度矩陣的正交性。4 多自由度體系地震反應分析振型對質量矩陣的正交性的物理意義是：某一振型在振動過程中所引起的慣性力在其它振型上所作的功為零。這說明某一個振型的動能不會轉移到其它振型上去，或者說體系按

9、某一振型作自由振動時不會激起該體系其它振型的振動。振型對剛度矩陣正交性的物理意義是，體系按某一振型振動時，它的位能不會轉移到其它振型上去。4 多自由度體系地震反應分析振型的兩兩正交特性說明它們具備作為一類線性空間基底的基本條件。事實上，由振型向量所張成的線性空間正是一般動力反應空間，在這空間的任一點表示一個特定的動力反應，并且這一點的坐標值可由關于基底（振型）的廣義坐標給出。4 多自由度體系地震反應分析3. 正交阻尼若無外部能量輸入，則任何原來振動的物理系統(tǒng)都會隨著時間的增長趨于靜止，這是因為系統(tǒng)的能量會因為某些原因而耗散。產生振動系統(tǒng)能量耗散的原因稱為阻尼。目前，關于結構振動的耗能機理并不十

10、分清楚，已經提出的許多材料阻尼的數(shù)學模型，每一種模型都有其適應范圍和局限性。由于結構的阻尼機制十分復雜，工程上常采用簡單的正交阻尼模型。4 多自由度體系地震反應分析目前工程上廣泛應用的是瑞雷阻尼模型，其數(shù)學表達式為： 式中，0、1瑞雷阻尼系數(shù)。由于振型向量對質量矩陣和剛度矩陣具有正交性，因此，對于瑞雷阻尼模型，也有：即振型對阻尼矩陣也具有正交性。利用上述正交性條件，并注意到：4 多自由度體系地震反應分析其中： 為第j振型的廣義質量； 為第j振型的廣義剛度； 為第j振型的廣義阻尼； 為第j振型阻尼比。因此有：若已知任意兩階振型的阻 尼比，則可定出阻尼系數(shù)：4 多自由度體系地震反應分析4. 求解地

11、震反應的振型分解法4 多自由度體系地震反應分析4 多自由度體系地震反應分析4 多自由度體系地震反應分析4 多自由度體系地震反應分析4 多自由度體系地震反應分析4 多自由度體系地震反應分析4 多自由度體系地震反應分析4. 求解地震反應的振型分解法一組正交向量可以作為線性空間的一組基底，這些基的適當線性組合構成空間的點。根據(jù)這一觀點，線性結構的動力反應必然是其振型向量所張成的線性空間中的點，點的規(guī)跡則反映動力反應的時程變化過程。為簡單明了地說明問題， 先考慮兩個自由度的體系。4 多自由度體系地震反應分析將質點m1和m2在水平向地震作用下任一時刻的位移u1(t)和u2(t)用兩個振型的線性組合表示：

12、 其中，第一振型向量 ，第二振型向量 。這實際上是一個坐標變換式，原來的變量u1(t)和u2(t)為幾何坐標，而新的坐標q1(t)和q2(t)可稱為廣義坐標。由于體系的振型是唯一確定的，因此，當q1(t)和q2(t)確定后，質點的位移u1(t)和u2(t)也將隨之確定。4 多自由度體系地震反應分析對此也可以這樣理解：體系的位移可看作是由各振型向量乘以相應的組合系數(shù)q1(t)和q2(t)后疊加而成的。換句話講，這種方法是將實際位移按振型加以分解，故稱為振型分解法。另外，由于q1(t)和q2(t)是隨時間變化的，因此，同一振型在不同時刻對總位移“貢獻”的大小是不一樣的。4 多自由度體系地震反應分析

13、對于一般的多自由度線彈性體系，有： 式中， 為位移向量； 為廣義坐標向量； 為振型矩陣， 其中j為體系的第j個振型向量。將上式兩邊分別前乘jTM ，利用振型關于質量矩陣的正交性及上式，可導出廣義坐標與一般位移反應的關系。一般用于決定各振型的初始條件。4 多自由度體系地震反應分析在水平地震作用下，多自由度彈性體系的運動方程為：為應用振型分解法，一般采用瑞雷阻尼模型。將：代入，并前乘振型向量的轉置jT，利用振型向量對質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣的正交性，可得：注意到4 多自由度體系地震反應分析則上式可轉化為： 其中 稱為第j振型的振型參與系數(shù)。利用有阻尼體系的Duhamel積分公式：廣義坐標qj(t)可表示為(假定初始條件為 ， )：4 多自由度體系地震反應分析可簡記為其中式中，j(t)阻尼比和自振頻率分別為j 和j 的單自由度彈性體系的位移反應。4 多自由度體系地震反應分析【例】兩個質點的彈性體系如圖所示，質量分別為m1=6104kg、m2=4.5104kg，側移剛度分別為K1=4104kN/m、K2=3104kN/m。試求該體系的自振周期和振型，并驗證振型正交性?！窘狻抠|量矩陣剛度矩陣4 多自由度體系地震反