復變函數(shù)的積分概念、性質(zhì)和計算方法

1、復變函數(shù)的積分概念、性質(zhì)和計算方法重點 1、復變函數(shù)積分的概念、性質(zhì)和計算方法； 2、單、復連通Cauchy定理(解析函數(shù)的基本定理)的應(yīng)用； 3、應(yīng)用Cauchy公式（解析函數(shù)的基本公式）計算回路積分。2、1 復變函數(shù)的積分1、復變函數(shù)的積分定義f(z)在復平面內(nèi)的l分段光滑曲線上連續(xù),在l上取一系列分點將l分成n小段在每一小段上任取一點。則有下式復變函數(shù)積分存在，且值與點的選取無關(guān)。稱該和的極限為函數(shù)B的路積分，記作f(z)沿曲線l從AAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO積分函數(shù)積分路徑一般來說,復變函數(shù)的積分值與積分路徑有關(guān).1）將復變函數(shù)的路積分化為兩個實變函數(shù)的

2、線積分2、復變函數(shù)積分計算方法 可見 將復變函數(shù)的路積分轉(zhuǎn)化為兩個實變函數(shù)的線積分，因此實變函數(shù)的線積分性質(zhì)對復變函數(shù)而言均成立。應(yīng)學會利用y與x關(guān)系（y和x的關(guān)系顯式,即積分路徑表示式）將復函數(shù)線積分化為定積分或不定積分計算注：例1：沿圖所示的三條曲線分別計算復變函數(shù)l Re(z) dz從O到B（1，1）的定積分。解：分析積分式與路徑（1）路徑OAB：路徑OA+OB 對OA：x=0,dx=0,y:01對AB：y=1,dy=0,x:01（2）同理可求另一條路徑ODB的積分為：1/2+iOBDA（3）路徑：y=x，則：計算，l 為從原點到3+i4的三條直線段。 例解：分析：積分式為： 復積分化為

3、：OBDA（1）路徑OAB：路徑OA+OB 對OA：x=0,dx=0,y:04對AB：y=4,dy=0,x:03（2）同理可求另一條路徑ODB的積分也為此數(shù)（3）路徑： OBDAOB（1，1）DAOB（3，4）DA思考： 究竟哪些函數(shù)積分與路徑有關(guān)，哪些無關(guān)？有什么規(guī)律？2）參數(shù)積分法若積分曲線的參數(shù)方程z=z(t)則（極坐標法，通常用來計算積分路徑為圓弧時的情況）通常思路：積分路徑l為圓?。鹤诹坑弥笖?shù)形式表示：計算積分積分路徑是（1）直線段例2（2）單位圓周的上半（3）單位圓周的下半（1）在-1到1的直線段上路徑方程為y=0解：dz=dx+idy=dx 所以=2）在單位圓上半周上：則令3)

4、在單位圓下半圓周上:=可見 例：計算圓弧積分：n為整數(shù)3、復積分的性質(zhì)用來求積分的估計值試證：證明：要證上式，只需證明由（1）（2）式，得：得證復習：1）將復變函數(shù)的路積分化為兩個實變函數(shù)的線積分2、復變函數(shù)積分計算方法2）參數(shù)積分法積分路徑l為圓?。鹤诹坑弥笖?shù)形式表示：3、復積分的性質(zhì)試證：試證：積分函數(shù)積分路徑OB（1，1）DAOB（3，4）DA思考： 究竟哪些函數(shù)積分與路徑有關(guān)，哪些無關(guān)？有什么規(guī)律？解析？2、2 Cauchy定理主要討論復變函數(shù)滿足什么條件其路積分值才能不決定于積分路徑，而只與始末位置有關(guān)。1、單連通區(qū)域的柯西(Cauchy)定理如果函數(shù)在閉連通區(qū)域上解析，則沿上任一分

5、段光滑閉合曲線L （L也可以是的境界線），有BL在定義域上處處可導的函數(shù)，在此區(qū)域上積分與路徑無關(guān)證明：BL下一頁附：格林公式l：B的邊界線若函數(shù)P（x，y）、Q（x，y）在閉域 上具有連續(xù)的一階偏微商，則：BL2、復連通區(qū)域的柯西定理Cauchy定理1)復通區(qū)域境界線：外境界線：逆時針為正方向 區(qū)域在行走的左側(cè)內(nèi)境界線：順時針為正方向 區(qū)域在行走的左側(cè)2)復通區(qū)域的Cauchy定理：如果f(z)是閉合復通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，則l為區(qū)域的外邊界，是。區(qū)域的內(nèi)邊界Bll1l2l3ll1AABB證明：1 閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線或區(qū)域內(nèi)任一分段光滑閉合曲線l積分為零BL柯西定理：相關(guān)推論：

6、（2）單通區(qū)域B上的解析函數(shù)f（z）沿B上任一路徑l的積分值 只與l的起點和終點有關(guān)，與路徑無關(guān)DCl1（3）區(qū)域B上的解析函數(shù)f（z），設(shè)B內(nèi)二點C、D，連接兩點的任一條曲線l（在B內(nèi)且只經(jīng)過f（z）的解析區(qū)）， 只與l的起點和終點有關(guān)，與路徑無關(guān)（1） f（z）在單通區(qū)域B上解析，在 上連續(xù)，仍有（條件放寬了）2 閉復通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向積分和為零（1） 閉復通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時針方向積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時針方向積分之和Bll1l2l3柯西定理：相關(guān)推論：（2） 設(shè)f（z）是閉區(qū)域（單通區(qū)域或復通區(qū)域）B+L上的解析函數(shù)，B內(nèi)任一條閉曲線l可以在B內(nèi)連續(xù)

7、變形（只要不跨過非連通區(qū)域）而積分值 保持不變。1、不定積分的定義及證明 2、3 不定積分原函數(shù)： 若函數(shù)F(z)滿足，則F(z)稱為f(z)的原函數(shù)f(z)的所有原函數(shù)僅相差一個復常數(shù)F(z)+c 不定積分定義：所有f(z)的原函數(shù)的集合稱為f(z)的不定積分。即求解復函數(shù)定積分的另一個方法：由原函數(shù)求解例2 求積分 的值解 函數(shù)zcos z在全平面內(nèi)解析, 容易求得它有一個原函數(shù)為zsin z+cos z. 所以例3 試沿區(qū)域Im(z)0, Re(z)0內(nèi)的圓弧|z|=1, 計算積分解 函數(shù) 在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析.計算積分：整數(shù)）l 為任意閉合曲線例1點,則由Cauchy定理知積分為零。1) 若l 不包圍點,則有由Cauchy定理知f(z)在上有可能不解析2) 若l 包圍解圓周的方程可寫為： 0 時不解析， 解析。n1.OC1C2Ci-ixy根據(jù)復通區(qū)域柯西定理,OC1C2Ci-ixy例：計算？23例：計算積分函數(shù) 在積分回路 內(nèi)解析，因此有單通區(qū)域的柯西定理可知在使用柯西公式之前，一定先要判斷被積函數(shù)的奇點在不在閉合曲線內(nèi)23作圖！例2 已知函數(shù)把 當作參數(shù)，把t 認為是復變數(shù)，試應(yīng)用Cauchy公