測(cè)量誤差基本知識(shí)培訓(xùn)講義PPT（內(nèi)容全面）

1、第3章 測(cè)量誤差基本知識(shí)3.1 測(cè)量誤差概述一、測(cè)量誤差1. 測(cè)量誤差（Observation Magement Error）觀測(cè)量的觀測(cè)值與其真值之差，包括觀測(cè)誤差和模型誤差。 觀測(cè)誤差：觀測(cè)值發(fā)生的偏差。如：對(duì)同一量進(jìn)行多次觀測(cè)，其結(jié)果通常略有差異。 模型誤差：數(shù)學(xué)模型不恰當(dāng)而導(dǎo)致待求量發(fā)生 的偏差。如：二、觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因1. 儀器的原因（Instrumental Errors） 每一種測(cè)量?jī)x器具有一定的精確度，使測(cè)量結(jié)果受到一定的影響。另外，儀器結(jié)構(gòu)的不完善，也會(huì)引起觀測(cè)誤差。2. 觀測(cè)者的原因（Personal Errors） 由于觀測(cè)者的感覺(jué)器官的辨別能力存在局限性，在儀器對(duì)中、

2、整平、瞄準(zhǔn)、讀數(shù)等操作時(shí)都會(huì)產(chǎn)生誤差。 3. 外界環(huán)境的影響（Natural Errors） 測(cè)量作業(yè)環(huán)境的溫度、氣壓、濕度、風(fēng)力、日光照射、大氣折光、煙霧等客觀情況時(shí)刻在變化，使測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生誤 差。例如，溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮， 風(fēng)吹和日光照射使儀器的安置不穩(wěn)定， 大氣折光使望遠(yuǎn)鏡的瞄準(zhǔn)產(chǎn)生偏差等。 三、測(cè)量誤差的分類與處理原則 1. 系統(tǒng)誤差（Systematic Error） 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果出現(xiàn)的誤差在符號(hào)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。如：測(cè)距儀的固定誤差和比例誤差等。 系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響具有累積性，因而對(duì)成果質(zhì)量的影

3、響也特別顯著。但由于它具有規(guī)律性，可采用下列方法消除或削弱其影響：計(jì)算改正數(shù)。采用一定的觀測(cè)方法。2. 偶然誤差（Accident Error，& Random Error） 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果誤差在大小、符號(hào)上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個(gè)誤差看，其大小和符號(hào)沒(méi)有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。 如讀數(shù)誤差、照準(zhǔn)誤差等。 偶然誤差是不可避免的，且具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，可應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法加以處理。 3. 粗差（Blunder, & Gross Error） 觀測(cè)數(shù)據(jù)中存在的錯(cuò)誤，稱為粗差。是由于作業(yè)人員的粗心大意或各種因素的干擾造

4、成的，如瞄錯(cuò)目標(biāo)、讀錯(cuò)大數(shù)，光電測(cè)距、GPS測(cè)量中對(duì)載波信號(hào)的干擾等。 粗差必須剔除，而且也是可以剔除的。 4. 誤差處理原則 在進(jìn)行觀測(cè)數(shù)據(jù)處理時(shí)，按照現(xiàn)代測(cè)量誤差理論和測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法，可以消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響；探測(cè)粗差的存在并剔除之；對(duì)偶然誤差進(jìn)行適當(dāng)處理，來(lái)求得被觀測(cè)量的最可靠值。四、偶然誤差的特性 設(shè)某一量的真值為X，在相同的觀測(cè)條件下對(duì)此量進(jìn)行n次觀測(cè)，得到的觀測(cè)值為l1， l2， ln ，在每次觀測(cè)中產(chǎn)生的誤差（又稱“真誤差”）為1，2， n，則定義 從單個(gè)偶然誤差來(lái)看，其符號(hào)的正、負(fù)和數(shù)值的大小沒(méi)有任何規(guī)律性。但是，如果觀測(cè)的次數(shù)很多，觀察其大量的偶然誤差，就能發(fā)現(xiàn)隱藏在偶

5、然性下面的必然規(guī)律。進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的數(shù)量越大，規(guī)律性也越明顯。下面結(jié)合某觀測(cè)實(shí)例，用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行說(shuō)明和分析。 實(shí)例 在某一測(cè)區(qū)，在相同的觀測(cè)條件下共觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，由于每個(gè)三角形內(nèi)角之和的真值（180）為已知，因此，可以上式計(jì)算每個(gè)三角形內(nèi)角之和的真誤差i，將它們分為負(fù)誤差和正誤差，按誤差絕對(duì)值由小到大排列次序。以誤差區(qū)間d=3進(jìn)行誤差個(gè)數(shù)k的統(tǒng)計(jì)，并計(jì)算其相對(duì)個(gè)數(shù)kn（n358）， kn稱為誤差出現(xiàn)的頻率。 誤差區(qū)間 d 負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值KK/nKK/nKK/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330

6、.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上000000181050517704953581.000 由此，可以歸納出偶然誤差的特性如下：界限性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值 。聚中性：絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小。對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的出現(xiàn)頻率 。抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的理論平均

7、值趨近于零，即： 由上圖可以看出：偶然誤差的出現(xiàn)符合正態(tài)分布，其分布曲線的方程式為： +3 +6 +9 +12 +15 +18 +21 +24X=-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -30式中，參數(shù)為觀測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。從中可以看出正態(tài)分布具有偶然誤差的特性。即 f()是偶函數(shù)，即絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差求得的f()相等，故曲線對(duì)稱于縱軸。 越小， f()越大；越大， f()越小。 當(dāng)= 0時(shí)， f()最大，其值為 當(dāng)方差為偶然誤差平方的理論平均值： 標(biāo)準(zhǔn)差為 由上式可知，標(biāo)準(zhǔn)差的大小決定于在一定條件下偶然誤差出現(xiàn)的絕對(duì)值的大小。由于在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)取各個(gè)偶然誤差的平方和，因此，當(dāng)出

8、現(xiàn)有較大絕對(duì)值的偶然誤差時(shí)，在標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值大小中會(huì)得到明顯的反映。3.2 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn) 一、精度（Precision） 測(cè)量值與其真值的接近程度準(zhǔn)確度（Accuracy）：表示測(cè)量結(jié)果與其真值接近程度的量。反映系統(tǒng)誤差的大小。精密度（ Precision ）：表示測(cè)量結(jié)果的離散程度。反映偶然誤差的大小量。二、衡量精度的指標(biāo) 1. 中誤差（root mean square error） 根據(jù)偶然誤差概率分布規(guī)律，以標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)衡量在一定觀測(cè)條件下觀測(cè)結(jié)果的精度是比較合適的。 在測(cè)量中定義：按有限次觀測(cè)的偶然誤差求得的標(biāo)準(zhǔn)差為中誤差，用m表示，即兩組觀測(cè)值的誤差絕對(duì)值相等m1 m2，第一組的觀測(cè)

9、成果的精度高于第二組觀測(cè)成果的精度次序第一組觀測(cè)第二組觀測(cè) 觀測(cè)值真誤差觀測(cè)值真誤差1800003-391800000001800002-241795959+111795958+241800007-7491795956+4161800002-241800001-111800001-111800000001795959+111800004-4161795952+8641795957+391800000001795958+241795957+391800003-391800001-11|247224130中誤差 -m2 -m1 +m1 +m2XY不同中誤差的正態(tài)分布曲線2. 相對(duì)誤差（relati

10、ve error） 觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比 ，一般用分子為1的分式表示。 例如：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是2cm ，可見(jiàn)其精度相同，但 前者的相對(duì)中誤差為0.02200 110000，而后者則為0.0240l2000，顯然前者的量距精度高于后者。 3. 極限誤差（limit error） 根據(jù)正態(tài)分布曲線，可以表示出偶然誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間d中的概率： 根據(jù)上式的積分，可得到偶然誤差在任意大小區(qū)間中出現(xiàn)的概率。設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率為： 分別以k1，2，3代入上式，可得到偶然誤差的絕對(duì)值不大于中誤差、2倍中誤差和3倍中誤差的概率： 由此

11、可見(jiàn)，偶然誤差的絕對(duì)值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5%，而大于3倍中誤差的僅占誤差總數(shù)的0.3%。一般進(jìn)行的測(cè)量次數(shù)有限，2倍中誤差應(yīng)該很少遇到，因此，以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為允許誤差，簡(jiǎn)稱“限差”，即 允2m 現(xiàn)行測(cè)量規(guī)范中通常取2倍中誤差作為限差。3.3 誤差傳播定律一、誤差傳播定律 觀測(cè)值的誤差對(duì)觀測(cè)值函數(shù)的影響。用觀測(cè)值的中誤差去表征待求量中誤差的數(shù)學(xué)模型，則為中誤差傳播定律。二、線性函數(shù)的中誤差傳播定律 設(shè)Xi（i=1,2, ,n）是一組獨(dú)立觀測(cè)量，而Y是Xi的函數(shù)，即： 式中，系數(shù)ai已知，且假定無(wú)誤差。設(shè)xij是第i個(gè)觀測(cè)量的第j次觀測(cè)值，則按上式求出待定量的計(jì)算值

12、yj為：將（1）式減去（2）式得： 當(dāng)對(duì)Xi各觀測(cè)k次時(shí)，上式將共有k個(gè)，分別將各式兩邊平方，并對(duì)k個(gè)式求其和，再除以觀測(cè)次數(shù)k，考慮到偶然誤差的抵償性，可得： 顧及中誤差的定義公式，并設(shè)Xi的中誤差為mi，則可得：三、非線性函數(shù)的中誤差傳播定律 設(shè)有非線性函數(shù)Y = f（X1，X2，Xn），Xi（i =1,2, ,n）為獨(dú)立觀測(cè)量，并設(shè)Xi的中誤差為mi，為此，可先將非線性函數(shù)線性化，然后再按線性函數(shù)處理。 四、誤差傳播定律的應(yīng)用 1. 步驟：列出正確的函數(shù)模型注意：模型符合測(cè)量事實(shí)；觀測(cè)量各自獨(dú)立非線性函數(shù)線性化運(yùn)用誤差傳播定律 2. 應(yīng)用舉例例1：用尺長(zhǎng)為l的鋼尺丈量距離S，共丈量4個(gè)尺

13、段，設(shè)丈量一個(gè)尺段的中誤差為m，試求S的中誤差。解一：應(yīng)用誤差傳播定律得： 解二： 應(yīng)用誤差傳播定律得： 由兩種解算方法的結(jié)果可以看出：距離S的中誤差不相等，顯然，解二的數(shù)學(xué)模型是錯(cuò)誤的。例2：設(shè)有函數(shù) 。若 X、Y為獨(dú)立觀測(cè)量，其觀測(cè)值中誤差為mx、my ，試求U的中誤差。 解一：由線性中誤差傳播定律，顯然有：則有：解二：由于 應(yīng)用線性函數(shù)中誤差傳播定律，得：即： 顯然，這兩種解法中至少有一種解法是錯(cuò)誤的。解法一中由于未考慮觀測(cè)量的獨(dú)立性，顯然是錯(cuò)誤的。例3：設(shè)有函數(shù) 若觀測(cè)值d=180.23m，中誤差md=0.05m；=612210，其中誤差為m=20，試求y的中誤差。 解：故有：思考題1

14、、設(shè)自已知點(diǎn)A向待定點(diǎn)B進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量，共觀測(cè)n站。設(shè)每站的觀測(cè)精度相同，其中誤差為m站，試求A、B兩點(diǎn)間高差的中誤差。2、設(shè)等精度觀測(cè)n個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，獲得n個(gè)三角形內(nèi)角和的閉和差，試求測(cè)角中誤差。例4：水平角觀測(cè)限差的制定 水平角觀測(cè)的精度與其誤差的綜合影響有關(guān)，對(duì)于J6光學(xué)經(jīng)緯儀來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)時(shí)考慮了有關(guān)誤差的影響，保證室外一測(cè)回的方向中誤差為6。實(shí)際上，顧及到儀器使用期間軸系的磨損及其它不利因素的影響，設(shè)計(jì)精度一般小于6，新出廠的儀器，其野外一測(cè)回的方向中誤差小于6，在精度上有所富裕。 對(duì)于水平角觀測(cè)的精度，通常以某級(jí)經(jīng)緯儀的標(biāo)稱精度作為基礎(chǔ)，應(yīng)用誤差傳播定律進(jìn)行分析，求得必要的數(shù)據(jù)，再

15、結(jié)合由大量實(shí)測(cè)資料經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析求得的數(shù)據(jù)，考慮系統(tǒng)誤差的影響來(lái)確定。下面僅以標(biāo)稱精度為基礎(chǔ)進(jìn)行分析。3.3 誤差傳播定律設(shè)J6經(jīng)緯儀室外一測(cè)回的方向中誤差為：（1）一測(cè)回角值的中誤差（2）半測(cè)回方向值的中誤差（3）歸零差的限差（4）同一方向值各測(cè)回較差的限差 3.4 等精度觀測(cè)值平差一、等精度觀測(cè)與非等精度觀測(cè)等精度觀測(cè) 在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的觀測(cè)。由等精度觀測(cè)而獲得的觀測(cè)值稱為等精度觀測(cè)值。非等精度觀測(cè) 在不同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的觀測(cè)。由非等精度觀測(cè)而獲得的觀測(cè)值稱為非等精度觀測(cè)值。二、測(cè)量平差由于觀測(cè)結(jié)果不可避免地存在偶然誤差的影響，因此，在實(shí)際工作中，為提高成果質(zhì)量，同時(shí)也為了檢查和及

16、時(shí)發(fā)現(xiàn)觀測(cè)值中的粗差，通常進(jìn)行多余觀測(cè)。（例如：一個(gè)平面三角形，只要觀測(cè)其中的兩個(gè)內(nèi)角，即可確定其形狀，但通常是觀測(cè)三個(gè)內(nèi)角）。 由于偶然誤差的存在，通過(guò)多余觀測(cè)必然會(huì)發(fā)現(xiàn)觀測(cè)結(jié)果不一致。因此，必須對(duì)帶有偶然誤差的觀測(cè)值進(jìn)行處理，使得消除不符值后的結(jié)果，可認(rèn)為是觀測(cè)值的最可靠結(jié)果。由此可知，測(cè)量平差的任務(wù)是：（1）對(duì)一系列帶有觀測(cè)誤差的觀測(cè)值，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)消除它們之間的不符值，求出未知量的最可靠值。（2）評(píng)定測(cè)量成果的精度測(cè)量平差方法嚴(yán)密平差：所依據(jù)的準(zhǔn)則是建立在嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上。如：間接平差法等（見(jiàn)測(cè)量平差基礎(chǔ)）近似平差：所依據(jù)的準(zhǔn)則是建立在近似的理論基礎(chǔ)之上，亦稱簡(jiǎn)易平差。 根據(jù)

17、某一待求量的一系列觀測(cè)值，求出其最佳估值（或最或是值）稱為直接觀測(cè)平差，分為等精度直接觀測(cè)平差和不等精度直接觀測(cè)平差。三、等精度直接觀測(cè)值平差1. 算術(shù)平均值原理 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某個(gè)未知量進(jìn)行n次觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l1，l2, ，ln，將這些觀測(cè)值取算術(shù)平均值，作為該量的最或是值，即： 現(xiàn)用偶然誤差的特性來(lái)證明:設(shè)某一量的真值為X，各次觀測(cè)值為l1，l2, ，ln ，其相應(yīng)的真誤差為1，2，n，則 將上列等式相加，并除以n，得到 等式兩端取極限，則由偶然誤差的抵償性，有 故可得：2. 觀測(cè)值的改正數(shù)及其性質(zhì) 觀測(cè)值的最或是值與觀測(cè)值之差，即： 將上列等式相加，得 即：一組觀測(cè)值的改正

18、值之和恒等于零。這一特性可以作為計(jì)算中的校核。 3. 等精度觀測(cè)值的中誤差 根據(jù)真誤差計(jì)算等精度觀測(cè)值中誤差 由于真值的不可知，導(dǎo)致真誤差的不可知。但是，有時(shí)可將理論值視為真值，例如：三角形內(nèi)角和為180等。 例4：設(shè)等精度觀測(cè)n個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，試根據(jù)三角形閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差。 解：三角形閉合差： 根據(jù)中誤差的定義公式得三角形閉合差的中誤差為： 而根據(jù)中誤差傳播定律，可得三角形閉合差的中誤差為： 其中，m為測(cè)角中誤差。將此式代入上式得： 此式即著名的菲列羅公式，通常用于計(jì)算三角測(cè)量的測(cè)角中誤差。但當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)大于20時(shí)，由此公式算出的測(cè)角中誤差才比較可靠。 根據(jù)觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算其中誤

19、差 設(shè)某量的n個(gè)等精度觀測(cè)值為l1，l2, ，ln ，其真誤差和改正數(shù)為： 于是有：將上列n個(gè)等式兩邊分別平方，并求其和，再除以n，則有： 上式中， ，考慮到中誤差的定義公式，可得：4. 算術(shù)平均值的中誤差 設(shè)觀測(cè)值的中誤差為m，算術(shù)平均值的中誤差為M，則應(yīng)用誤差傳播定律于算術(shù)平均值的計(jì)算公式，則有： 故算術(shù)平均值的中誤差為：例題 對(duì)某一距離，在相同的條件下進(jìn)行6次觀測(cè)，其觀測(cè)值為：120.031m 120.025m 120.031m 119.983m 120.047m 120.040m試求其最可靠值，并評(píng)定測(cè)量成果的精度。解算見(jiàn)下表:次序觀測(cè)值l（M）l（cm）改正值v (cm)vv(mm)

20、計(jì)算x,m1120.031+3.1-1.41.962120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81(l0=120.000)10.20.045.26思考題: 今有四個(gè)觀測(cè)小組對(duì)同一個(gè)水平角進(jìn)行觀測(cè)，第一組觀測(cè)2個(gè)測(cè)回，水平角值為l1，第二小組觀測(cè)4個(gè)測(cè)回，水平角值為l2 ，第三小組觀測(cè)6個(gè)測(cè)回，水平角值為l3 ，第四小組觀測(cè)8個(gè)測(cè)回，水平角值為l4，試計(jì)算其最可靠值，并評(píng)定測(cè)量成果精度。3.5 權(quán)倒數(shù)傳播律一、權(quán)的概念1. 權(quán)（weight）

21、 衡量觀測(cè)值（或估值）及其函數(shù)的相對(duì)可靠程度的一種指標(biāo)。通常用P表示。 權(quán)的定義公式為： 上式表明：在一組觀測(cè)值中，某觀測(cè)值的權(quán)與其中誤差的平方成反比，而2為比例系數(shù)，可任意選取，但對(duì)于同一個(gè)觀測(cè)問(wèn)題，應(yīng)在數(shù)據(jù)處理前確定，并在計(jì)算過(guò)程中保持不變。2. 單位權(quán)（unit weight） 數(shù)值等于1的權(quán)。此時(shí)，有 ，當(dāng)二者單位相同時(shí)，稱為單位權(quán)中誤差。此時(shí)的觀測(cè)值為單位權(quán)觀測(cè)值。3. 權(quán)的特性 權(quán)只能反映觀測(cè)值之間的相對(duì)精度，在反映觀測(cè)值精度時(shí)，起作用的不是權(quán)本身的大小，而是權(quán)之間的比例關(guān)系。 權(quán)既可反映同一類量的若干個(gè)觀測(cè)值之間的精度高低，也可反映不同類量的觀測(cè)值之間的精度高低。 4. 權(quán)的確定

22、 根據(jù)權(quán)的定義公式確定權(quán)例1：已知一組角量觀測(cè)值X1、X2、X3的中誤差m1=2； m2=4； m3=8，試求各觀測(cè)值之權(quán)。解一：解二： 由上例可以看出，系數(shù)改變，各觀測(cè)值的權(quán)亦改變，但觀測(cè)值之間的權(quán)之比并未改變。 距離測(cè)量中根據(jù)邊長(zhǎng)確定權(quán)例2：按同等精度丈量三條邊長(zhǎng)，得S1，S2，S3，相應(yīng)的長(zhǎng)度為3km，4km，6km。試確定三條邊邊長(zhǎng)觀測(cè)值的權(quán)。解：由于按同精度丈量，所以每千米的丈量中誤差相同。設(shè)每千米丈量中誤差為mkm，則邊長(zhǎng)Si的中誤差為：將其代入權(quán)的定義公式得： 本例中，取C為12km，則得S1，S2，S3的權(quán)分別為4，3，2。此時(shí)S為12km時(shí)的權(quán)為1。也就意味著，以12km的觀

23、測(cè)為單位權(quán)觀測(cè)，相應(yīng)的權(quán)為單位權(quán)，相應(yīng)的中誤差為單位權(quán)中誤差。由此還可以看出，上式中C的含義就是單位權(quán)觀測(cè)。 水準(zhǔn)測(cè)量中根據(jù)水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度或測(cè)站數(shù)定權(quán)例3：設(shè)一個(gè)水準(zhǔn)網(wǎng)由四條同一等級(jí)的水準(zhǔn)路線所構(gòu)成。設(shè)四條水準(zhǔn)路線的路線長(zhǎng)度為S1=4km， S2=2km ， S3=1km ， S4=3km ，相應(yīng)的測(cè)站數(shù)為n1=50， n2=25 ， n3=10 ， n4=40 。試分別按路線長(zhǎng)度和測(cè)站數(shù)來(lái)確定這四條水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的權(quán)。解：由于這四條水準(zhǔn)路線是按同一等級(jí)觀測(cè)的，所以它們每千米觀測(cè)高差中誤差mkm和每測(cè)站觀測(cè)高差中誤差m站均是相同的，則第i條路線觀測(cè)高差的中誤差為：將其代入權(quán)的定義公式得：令則，第i條水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的權(quán)