高考全國卷文科數(shù)學(xué)試題(含解析)

1、絕密啟用前如15年高考全國2卷文科數(shù)學(xué)試題（含解析）注意事項(xiàng)：.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息.請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若ai + a3+a5 = 3，則S5=（）A 5 B . 7 C.9 D . 11. 一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積 TOC o 1-5 h z 的比值為（）.已知三點(diǎn)A（1,0）, B（0,J3）, C（2,J3）,則4 ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為（）.下邊程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”，

2、執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a,b分別為14,18,則輸出的2為（）評(píng)卷人得分、填空題（題型注釋）評(píng)卷人得分1,已知集合 A = 1xTx2,B=x|0 x f（2x1）成乂的x的取值氾圍是（）1 x第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明.已知函數(shù)f（x）=ax - 2x的圖像過點(diǎn)（-1,4 ）,則a=x y -5 014.若x,y滿足約束條件2x y1 0 ,則z=2x+y的最大值為x-2y 10）的離心率為匚，點(diǎn)（2,石）在C上.a b2.（本小題滿分 12分） ABC中D是BC上的點(diǎn)，AD平分/ BAC,BD=2DC.（I ）求C的方程;sin B(1)求sin C（n）直線l不經(jīng)

3、過原點(diǎn)O,且不平行于坐標(biāo)軸，1與C有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,線段AB中點(diǎn)為M,證明：直線 OM勺斜率與直線l的斜率乘積為定值.(n)若 ZBAC =60，,求NB.（本小題滿分12分）某公司為了了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)f x = In x a 1- x21 .(本小題滿分12分)已知 用戶，根據(jù)用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度的評(píng)分 滿意度評(píng)分的頻率分布表.，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶（I）討論f（x）的單調(diào)性;A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖（n）當(dāng)f（ x）有最大值，且最大值大于2a-2時(shí)，求a的取值范圍.B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布表22

4、.（本小題滿分10分）選修4-1 :幾何證明選講滿意度評(píng)分分組如圖O是等腰三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，圓O與 ABC的底邊BC交于M,N兩點(diǎn)，與底邊上的高交于點(diǎn) G,且與 AB,AC分別相切于E,F兩點(diǎn).頻數(shù)1410（I）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法與理由）2.已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)a,1）處的切線與曲線y = ax （a 2）x 1相切，則a=（1）證明 efUbc ；（n ）若AG等于圓。半徑，且AE = MN = 2 J3 ,求四邊形EBCF的面積.（I ）在答題卡上作出 B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過此圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度.（不要求計(jì)算出具體值，給

5、出結(jié)論即可）B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖（II）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度評(píng)分分為三個(gè)等級(jí):23.（本小題滿分10分）選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程滿意度評(píng)分低于70分 70分到89分 不低于90分 x = t cos：. 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1M, （t為參數(shù)，且t= 0 ）,其中0Wa,在以。為極點(diǎn)，xy 二tsin：,滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2: P = 2sin8,C3: P = 2j3cosH.(I)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(n)若Ci與C2相交于點(diǎn)A, Ci與C3相交于點(diǎn)B,求AB最大值.24.(本小題滿分10分)選

6、修4-5:不等式證明選講設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c + d .證明：(I)若ab cd ,則囪+期 & +顯；(n)指十而下而十而是a-bc - d的充要條件.參考答案【解析】因?yàn)?A=x1x2, B = x|0 x3,所以 AUB=x|1x3.故選 A考點(diǎn)：本題主要考查不等式基礎(chǔ)知識(shí)及集合的交集運(yùn)算D【解析】由題意可得2+ai = (1十i X3+i )=2+4占a=4 ,故選d.考點(diǎn)：本題主要考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，及復(fù)數(shù)相等的概念.D【解析】由柱形圖可知 2006年以來，我國二氧化碳排放量基本成遞減趨勢，所以二氧化碳排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D.考點(diǎn)：本題主要考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)及對(duì)學(xué)生柱

7、形圖的理解C【解析】試題分析：由題意可得a 2=1+1=2 , ab = 12 = 3,所以2aba 22 a a 4b 二.%選匕二考點(diǎn)：本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.A【解析】一 ，5 a1a5試題解析：由a1+ a3 + a5= 3a3= 3 =a3= 1,所有 S5= 5a3= 5.故選 A.2考點(diǎn)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.D試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個(gè)角，其體積是正方體體積的 1,剩余部分體積6是正方體體積的 ：，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為1 ,故選D.考點(diǎn)：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算B【解析】試題分析： ABC外接圓圓

8、心在直線 BC垂直平分線上即直線 x = 1上，設(shè)圓心D(1b),由 DA=DB得|b = Jl+(b73 j = b = 2 ，所以圓心到原點(diǎn)的距離 d =卅+22=叵.故選B. 3 3考點(diǎn)：本題主要考查圓的方程的求法，及點(diǎn)到直線距離公式.B【解析】試題分析：由題意可知輸出的a是18,14的最大公約數(shù)2,故選B.考點(diǎn)：本題主要考查程序框圖及更相減損術(shù).C【解析】2=包=8=a1a3a5=a4 =4(a41)= a4=2 制、13 試題分析：由題意可得，所以q1 位a2 二 a1q = 一，選 C.2考點(diǎn)：本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)及基本運(yùn)算C【解析】1試題分析：設(shè)千的半徑為R,則4AOB面積為

9、一R2,三棱錐O-ABC體積最大時(shí)，C到平面2AOB距離最大且為 R,此時(shí)V =1R3=36n R = 6 ,所以球。的表面積S = 4tR2=144 7t.6故選C.考點(diǎn)：本題主要考查球與幾何體的切接問題及空間想象能力. B【解析】試題分析：由題意可得f=2也f |=J5+i= f 1lf|i,由此可排除C,D;2424當(dāng) 0 x f （|2x-1 六 | x a 2x -1 仁 x （2x-1）- x1 .故選A.考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及不等式的解法 -2【解析】3試題分析：由 f（x）=ax 一為可得 f（7）=-a+2=4= 一2 .考點(diǎn)：本題主要考查利用函數(shù)解析式求值

10、.8【解析】x y - 5 0試題分析：不等式組,2x-y-120表示的可行域是以 C/M2,3.3,2 ）為頂點(diǎn)的三角形區(qū) x-2y 1, 0域，z=2x + y的最大值必在頂點(diǎn)處取得，經(jīng)驗(yàn)算，*=3,丫=2時(shí)2=8.考點(diǎn)：本題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)及計(jì)算能力2-y2 =14【解析】 TOC o 1-5 h z x2C試題分析：根據(jù)雙曲線漸近線萬程為y = x ,可設(shè)雙曲線的方程為 y2 = m，把 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document 4 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 22 HYPERLINK

11、 l bookmark67 o Current Document （4,73 X弋入 -y2 =m得m = 1.所以雙曲線的方程為 土 y2 =1. 44考點(diǎn)：本題主要考查雙曲線幾何性質(zhì)及計(jì)算能力. 8【解析】試題分析：由y = 1+1可得曲線y = x + lnx在點(diǎn)（11）處的切線斜率為 2,故切線方程為 x2y = 2x-1/y=ax （a 2）x 1聯(lián)立得ax2+ax+2 = 0，顯然a#0 ,所以由2= a - 8a = 0 = a = 8 .考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線與拋物線相切問題.（D 1； （n） 3d.2【解析】試題分析：（I）利用正弦定理轉(zhuǎn)化得：sinB =-

12、DC = - （n）由誘導(dǎo)公式可得sin C BD 2sin/C =sin （BAC+/B ）=cos/B+1sin/B.由（i）知 2sin/B = sin/C , 22所以 tan . B =避，.B =30.3一一 AD試題解析：（I ）由正弦定理得BAC,BD=2DC 所以sin . B DC 1BD AD,sin . BAD sin . CDC一DC一 ,因?yàn)锳葉分/sin. CADsin Bsin C BD 2（n）因?yàn)? C =180；- BAC B ,. BAC =60,所以 sin . C =sin . BAC . B =,32r 1. rcosZB -sin ZB.2由（I

13、）知 2n / B snC,所以 tan . B =，. B = 30. 3 TOC o 1-5 h z 考點(diǎn)：本題主要考查正弦定理及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，意在考查考生的三角變換能力及運(yùn)算能力.（I）見試題解析（n）A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大【解析】試題分析：（I ）通過兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出,B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于 A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值,B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.（II ）由直方圖得P（CA）的估計(jì)值為0.6, P（CB）的估計(jì)值 為0.25.,所以A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.試題解析：（I）通

14、過兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出,B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值,B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.（n） A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.記Ca表示事件“A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；Cb表示事件“B地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”.由直方圖得P（Ca）的估計(jì)值為901 + 0.02 + 0.03尸10 = 0.6,p（Cb）的估計(jì)值為（0.005+0.02r10=0.25., TOC o 1-5 h z 所以A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.考點(diǎn)：本題主要考查頻率分布直方圖及概率估計(jì)一，一，一

15、9 ，、 7（I）見試題解析（n）9或779【解析】試題分析：（I）分別在 AB,CD上取H,G,使AH =DG=10；長方體被平面 3 分成兩個(gè)97高為10的直棱柱，可求得其體積比值為 9或7 79試題解析：解：（I）交線圍成的正方形 EHGF如圖：（n）作 EM _L AB,垂足為 M,則 AM =AE =4 , EB1 =12 , EM = AA1 =8,因?yàn)?EHGF是正方形，所以 EH = EF = BC =10，于是 MH = EEH 2 - EM 2 = 6, AH = 10,HB = 6.因?yàn)殚L方體被平面s分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積比值為9 （I也正確）. TOC o

16、 1-5 h z 79考點(diǎn)：本題主要考查幾何體中的截面問題及幾何體的體積的計(jì)算 HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 2220. (I)試題分析:xT+yT=1（口）見試題解析8442/22. = + w = 1,求得a =8,b =4,由此可得C的方程.2 a2b2（II ）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得（2k2+1 ）x2+4kbx + 2b2-8 = 0.,所以XMx1 x2-2kb2k2 12k2 1,kOMXM2k試題解析:解：（I）由題意有=1,解得a2=8,b2=4,所以橢圓C的方程為22土上-18242(n)設(shè)直線l : y= kx+b

17、(k 0ab。0), A(Xi,yi B(X2,y2 ),M (Xm ,yM 1把 y = kx + b TOC o 1-5 h z 22X y222代入方十 彳=1 得 2k +1 )x +4kbx +2b 8 = 0.8242故xm =x1上里=gkb-,yM =4乂 +b=b,于 是直線 OM的斜率22k2 12k2 1y 11l的斜率乘積為定值.kOM =2=一，即kOM k=-,所以直線OM勺斜率與直線Xm2k2考點(diǎn)：本題主要考查橢圓方程、直線與橢圓及計(jì)算能力、邏輯推理能力 21.（ D a0, f（X）在0i單調(diào)遞增，在工,aa單調(diào)遞減；（n）0,1 .【解析】試題分析：（I）由f

18、（X）= a,可分a0,a0兩種情況來討論；（II ）由（I）知當(dāng) Xa0時(shí)f（X）最大值為fIn a+a -1.因此afil）2a-2仁 In a + a-1 0.令g（a）=|na + a-1,則g（a）在9）是增函數(shù)，當(dāng) a0a0因此a的取值范圍是（0,1）.試題解析：f（X 加定義域?yàn)椋?,）, f（X）= 1-a,若 a0,則 f（X）0, f（X）在（產(chǎn) X是單調(diào)遞增；若a 0,則當(dāng)xw 01i時(shí)f 0，當(dāng)xw ,1* i時(shí)f（x）0時(shí)f（x）在x = 1取得最大 a值 ， 最 大 值 為 f1- = -n 1 +a-ll-1 = al -I iBa 此 1 -aa .a .ff1

19、）2 -a2+ l . a藥.與 g（a-= lna0a-1,則 g（a）在（0，代）是增函數(shù),ag（1）=0，于是，當(dāng)0a1時(shí)，g0,因此a的取值范圍是0,1.考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用及分類討論思想22.（ I）見試題解析；（n）16.33【解析】試題分析：（I）要證明EF BC ,可證明AD _L BC, AD _L EF ; （ n ）先求出有關(guān)線段的長度，然后把四邊形 EBCF的面積轉(zhuǎn)化為 ABC4AEF面積之差來求.試題解析：（I）由于 ABC是等腰三角形，AD_LBC,所以AD是/CAB的平分線，又因?yàn)閳A。與AB,AC分別相切于E,F,所以AE = AF ,故

20、AD _L EF ,所以EF BC .（n）由（I）知AE=AF , AD _LEF ,故AD是EF的垂直平分線，又EF為圓。的弦，所以O(shè)在AD上，連接OE,OF,則OE _L AE ,由AG等于圓。的半徑得AO=2OE所以/OAE =30，,因此，ABC和 AEF都是等邊三角形 ,因?yàn)锳E = 2 J3 ,所以AO = 4, OE= 2,因?yàn)?1OM =OE =2, DM =-MN2所以 OD=1,于是 AD=5,AB=,所以四邊形3_ 2_DBCF的面積為1 但也匕正_1父（2“蟲二曳3 232223考點(diǎn)：本題主要考查幾何證明、四邊形面積的計(jì)算及邏輯推理能力23. （I） （0,0 ）住，| ；（n）4.【解析】試題分析：（I）把C2與C3的方程化為直角坐標(biāo)方程分別為x2+ y2-2y = 0 , x2 + y2 -2Qx = 0 ,聯(lián)立解方程組可得交點(diǎn)坐標(biāo)；（n ）先確定曲線Ci極坐標(biāo)方程為B=a（PER, P.O）,進(jìn)一步求出點(diǎn)a的極坐標(biāo)為（