第三章連續(xù)型隨機(jī)變量

1、第三章連續(xù)型隨機(jī)變量1.設(shè)隨機(jī)變量上在區(qū)間卩丄習(xí)上取值，且對每個(gè) 心心，概率與/成正比。(1)求的分布函數(shù)(3)計(jì)算 主落在區(qū)間的概率。(例題、一維、連續(xù)型、分布函數(shù))解：(1)根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，m_m，當(dāng)0二時(shí)，當(dāng) 時(shí)，。由連續(xù)型隨機(jī)變量分布=1函數(shù)的連續(xù)性，有八-丨-宀；，得到故Q x 0,F(x) = P(X x) = i xJ,0 2.Li,0 x 2,/(x) = F() = JsI其它(0Xl)-P(X 1)-P(X 0) = 7(1) -F(0)=-jf(X)= 2.已知隨機(jī)變量上的密度函數(shù)為，- u- . .T +-U，求上的分布函數(shù)廣I門。(例題、一維、連續(xù)型、分布函數(shù))解：當(dāng)

2、T (I時(shí),險(xiǎn))F(兀)=,()由=匚/業(yè)+加當(dāng)工-0時(shí),伯&+爲(wèi)&A所以戈二）。（例題、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、計(jì)算）戈二）。（例題、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、計(jì)算）F(x) =2/、x 0,2!1 r1一 一&23. 設(shè)的密度函數(shù)為 題、分布函數(shù)）ex. - x +c.20 x 1,2x1-,1 X 2.求上的分布函數(shù)。（例解：當(dāng)工0時(shí),x x 1 1F(x)= /卩)也=于加=尹戈當(dāng)0 - .Y 時(shí),F讓問=中成喘曲+f Q -訥當(dāng)1_丄2時(shí),F（x） = 彳 卜滋+f詁 +f （1 冷）婦fQdt當(dāng)工2時(shí)，1 所以,ex. x 1.5) = 1 - ?(| y -L51 1.5) =1-/?(-1.51.5

3、)=1 - 7(0 i X 3) “-(3) + (0)= 1 -0.9987 + 0.5 -0.5031.(2)P(2|X| 5) = P(T51X 15) (23) - 4(-15) = 2$(2.5)-1 = 0.9876.5.設(shè) ，計(jì)算下列概率：（1）皿2.44）；（2）紀(jì) 川 （例題、正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、計(jì)算）解：（ 1）PX 2,8) = 1 - ?(| X | 2.8) = 1- P(-2B X 96） = l dF亡悶皿邛，但是96 - 72 11廠山9山，于是，得到 廠12。所以0.023097 冗，即，但P(60 84)= 84 - 721-12(1)-蟲一 1) =

4、20(1) 1 = 0.6826設(shè)成年男子身高服從正態(tài)分布（單位：厘米），（1）求成年男子身高大于160cm的概率；（2）公共汽車應(yīng)設(shè)計(jì)多高，才能使成年男子上車時(shí)碰頭的概率不大于 5%; （3）在這個(gè)設(shè)計(jì)之下，求100個(gè)成年男 子上車時(shí)，至少有2個(gè)人發(fā)生碰頭的概率。（例題、正態(tài)分布）解：（1）160-1701lo-= 1-1)=(1) =0.8413,P（X 160） = 1 - PX 160） = 1 -（2）設(shè)應(yīng)設(shè)計(jì)為&厘米高，則應(yīng)有川一山匕，但是A-17010A-1701，從而有h-no查表得到萌I.W 山島，于是有，即A _ St,4? 0i A) = 1 - PX 2)= 1 -?(

5、y 2)=1-(7 =o)-= i) 1 -C*l(l0.05*0.95100 -=0.96.設(shè)二維隨機(jī)變量 （X） 的密度函數(shù)為= f/p（3x3 + xf）,0 x 1,13。（1）確定常數(shù)k ； （ 2）求P（X-,Y2）P（X -）耐；（3）求；（4）求 O 丄 -。解：（ 1）由I有1 =f（張十驢）血氐=Arfv =6a? +4xdc = 4k(2)2=lry2）訕：1 2 /Jr, f 十歲)妙P(X y 0,*叫其它所以,f3-2 i f 妙Jl44 J3) = f f/ , y)dxdy 1戰(zhàn)3（1）確定常數(shù)；求徵.門的分布函數(shù)；（3）計(jì)算概率 mi 3） 以及.；（4）問上

6、與丁是否獨(dú)立？（例題、二維、連續(xù)型、分布函數(shù)、密度函數(shù)、待定系數(shù)、獨(dú)立性）解：（ 1）1=匸匸臨血 7訂依edy T扣巧陀所以，F(xiàn)。（2）設(shè) 丁 Lr U，有-2產(chǎn)町3嚴(yán)創(chuàng)=（-嚴(yán)）|；（-嚴(yán)）|；=（七）（1-嚴(yán)）.當(dāng)門）落入2, 3, 4象限時(shí)，顯然有F(x,y) = P(Xx,Y0,J03（3）小衛(wèi)一加1而Fix 0,“丿易見當(dāng)!0,0,J0,時(shí)，從而八I ”從而對任意F有 /（*） = AWA（/） ，即_i與i相互獨(dú)立。仃 5扎W! ”同理，有10.設(shè)二維隨機(jī)變量 （X）分布，（1）寫出 （XD的聯(lián)合密度及邊緣密度函數(shù)；（2）求出的分布函數(shù)。（例題、二維均勻分布、聯(lián)合密度、邊緣密度、

7、分布函數(shù)）解：（1）矩形域 山 2154 的面積為1 2 -1，故子（兀，刃1 JC 2,24,其它.，故有,254h其它.（2）當(dāng)工1或丿：時(shí),F(x3)j) = P(X ixjY Ly)= T f /(it.vjducb = f f OtfeiJ- JkoJ J-E當(dāng) 1 - v _ 2.2 _ | _ 4 時(shí),F(x,y) = P(Xix,Yy) = 當(dāng) v 2：2r _4 時(shí),F(jc)=P(X x,F /) =fu)diidv = f f dudv = F(xy) = P(X KXjF ) = j/(,v)dirrfr =丄血rfr = x -1，F(xiàn)(jc)=P(X x)y ) =

8、/(%卩)血出2 f 扌血lx 4x 2,y 42 J -2 丁, x -1,于是有11.設(shè)二是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，已知上 川！，丁的密度函數(shù)為AW = p9（i）求去與y的聯(lián)合密度函數(shù)；（2設(shè)含有W的二次方程，求H有實(shí)根的概率。（例題、獨(dú)立性、聯(lián)合密度）A（x）_解：（1）上有密度函數(shù)/(x1y)=/(x)fy(y) = 密度函數(shù)為1, 02!，則戈與丁的聯(lián)合1丄丫e 2 , 0 x 0,、 其它-（2） ii有實(shí)根 匚汀?。↖，即F ，于是JF仇刃曲審三f” -ps有實(shí)根)=p(y x2)-=f (1 -凰 2 )dz 三.-f 莊 2= 1J_=1-伍-(0) = 01445.12.

9、設(shè)匕門的聯(lián)合密度為f(y)=3x60 xlj0 xJ其它.邊緣密度并判斷 丄與丁是否獨(dú)立；（2）丄的條件密度；（3） i 的密度函數(shù)。（例題、聯(lián)合密度、條件密度、獨(dú)立性）解：（ 1）由丿小J八”，知當(dāng)1時(shí)，有x2，而丄取其它值時(shí)，門為0。從而顯然有fy（y）=7（兀丿）必卜世!3x2 ,0 r 1,故當(dāng)U r I時(shí)，有5一刖；.，同理，fy(y)=o,其它注意到，當(dāng)口 1丄工時(shí),所以上與丁不獨(dú)立（2）/（兀 I j）0 X 1,0 X其它.f（y I 兀），(工切0Xl,0J7X其它.耳M(Z)訂(X-F)= |卩(3磁砂二，當(dāng)門工I.i)時(shí)，即當(dāng)i. 打.t時(shí)，有U工r 1。所以當(dāng)：H 時(shí)，

10、有丿m ,當(dāng)I時(shí)，廠1，而當(dāng)H】丨時(shí)，積分區(qū) 域如下圖的陰影部分：“31 3）于是有扌（”） 1,0,其它.”f（HJ）必妙= 蟲鬧bf + j3xafc = ;/(x,j) =3x 3x2 -(l-j;2) = /y(x)/y(j7)J. + （1設(shè)二維隨機(jī)變量 Q) 的密度函數(shù)為-(3xJ +xf),0 x 1,1 j 3，并計(jì)算概率2 J*。(例題、條件概率)解：當(dāng)II - V - 1時(shí)，人口仗如f扣宀勒嗆二討+兀扌兀* +x,0 x i 111 HE ，而當(dāng)1-丿二3時(shí)， 、 Jl/r, 2 、丄 1 yfr(y) = 士:+恥丁卩I1 + 21 0v 348(),11吒，從而當(dāng)I.J

11、 - V 一 時(shí),/y (少)Ix)/仗J)川工)n H 當(dāng)丨j $時(shí),F 2*血F,心“2 +J0, 其它. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark84 o Current Document t1 撿 + 7r1013 了 5av = + = ?0又注意到仍16 ，從而 HYPERLINK l bookmark88 o Current Document P(xd,Y2) P(X-Y2)-3有(根據(jù)條件概率公式)-p(x22) = fi(f(xiy)dyJ JA135但A28-5-64716P(XY 12) =故P(X-Y2)P(X-|F=2)注意在本題中2和：的

12、不同解法1 JC +w 一J?兀 if（x.y） =i 2xryx設(shè) （扎） 的聯(lián)合密度為h 其它-求（ 1）乂及Pf_ F 4|7 =-） 鞏八小處的條件密度；（4）計(jì)算概率及 兒- 4 J V （例題、二維、聯(lián)合密度、條件密度、條件概率）解：（1） /（y）0 的區(qū)域如下圖的陰影部分:a/Uy 二故當(dāng)T 1時(shí),厶(龍)三.占一妙=-(In 龍一H-) = rE*h2x j 2xx x當(dāng) T_1 時(shí)，AInx5忑人 兀于是0, x i 1.而當(dāng)i r I時(shí),2xy i當(dāng)丁丨時(shí),當(dāng)r丨時(shí),fl2r10,0于是(2)Fin兀P(1 X ) = f 嘩矗=In xd(- -) = -hx 丄 I；

13、 +f -1-A = 02642P(扌 F 2) =py)婦百砂+ f 妙(3)當(dāng)J1 -時(shí),AW-ix +,x y yO3 其它.當(dāng)1.1 I丄時(shí),/（* j）厶（工）J? X 1 + 2 1 p(m”*處i嚴(yán)尹和乜, 41 y = 3)=藏33。4UD設(shè)隨機(jī)變量上 宀丨）且當(dāng)已知 上一工時(shí)，山，其中T （I ,求（扎門 的聯(lián)合密度。（例題、條件概率、聯(lián)合密度）解：由叮?！保?人ex 0,U. .1 _0L ,frx(y I x)e 尹 0,0 p 斗f (勒 J)= XQ 其它設(shè) X2），求y -e的密度函數(shù)。（例題、隨機(jī)變量函數(shù)的分布、單調(diào)）1X 2,廿忙，而丿一嚴(yán)格單調(diào)，故1 _丄_

14、?知，丿，從而得到fy 0,，且丿一 1-/x 單調(diào)，反函數(shù)丫 = （i-y）317.設(shè)A-lC.-Ll，求Y 1-:：，A的密度函數(shù)。（例題、隨機(jī)變量函數(shù)的分布、 單調(diào)）A（x） 解：且r 1,于是當(dāng)r 1時(shí)，A U尸川（17）汗|（1-卅）卜3卅/rO) “3(1-刃怙3尸50, 1-2 218.設(shè)隨機(jī)點(diǎn)在上半單位圓 *上均勻分布，其向徑M （原點(diǎn)為U點(diǎn)）與丄軸正向的夾角設(shè)為9，記F 朋，求丁的 密度函數(shù)并計(jì)算概率門?。?。（例題、隨機(jī)變量函數(shù)的分布）解：（1）注意到 e-UM，于是0由密度函數(shù)1，從而斤（刃胡北卅胡嗣3）JT%其它.當(dāng)時(shí)，心小I,當(dāng)丿U時(shí),F7 (尹)=Parctgy 6

15、arcty = f dQ = arcty0, 1) = 1 - F(l) = 1 arctgl = 1-=- (2)19.設(shè)上與丁獨(dú)立，且有密度函數(shù)上（i.li ,，求-上j的密度函數(shù)。（例題、兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布）解:(1)1,0：1,。其它fy(y)由卷積公式,由_，當(dāng)被積函數(shù)大于0時(shí)，應(yīng)有I工1，且：I （I,所以積分區(qū)域如下圖的陰影部分:當(dāng)“時(shí)，門；vu*當(dāng)zl時(shí)，/火）=怡臨=水3-1）=八（1）于是有20.設(shè)衛(wèi)與獨(dú)立，上與均服從均勻分布 山叮），求工-戈J的密度函 數(shù)。（例題、兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布）解:1,0 x 1,0其它,由卷積公式,有八門L八W皿，當(dāng)被積函數(shù)大于0時(shí)，即FW比

16、！:工！一1時(shí)，應(yīng)有工.且|丄丨，即下圖中的陰影 部分：z=/ IZ故，當(dāng)丨時(shí)，N :， 當(dāng)I : ?時(shí)，人仆1。2,0于是有b其它21.設(shè)上與丁獨(dú)立，且述!，廠小 ,求-上的密度函數(shù)。（例題、兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布）fx（x） ejXE R“苴D解：/2jra0具匕由.uj：m 仆,并注意到u，門：竹大于0時(shí)，有、丄R，且一 1 1 一龍，即：尺 t 二號，于是22.設(shè)上與丁獨(dú)立，且上 H，在1|上服從辛普生分布，即/y（j）=2-jl J 2,卩其氐，求z&比十y的密度函數(shù)。（例題、兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布）fY(y) = 2-y. j (-0.4564)故 2-llU.4?C-4i 1Li.5

17、44.1小、片、-（l + xA|x| 1|1,設(shè)（扎）有聯(lián)合密度其它-證明：去與y不獨(dú)立，但上與獨(dú)立。（例題、二維隨機(jī)變量、獨(dú)立性）證:厶仗妙世扌（1+勒妙冷龍K1Zr何二口 （工佶（1 +咖那嚇1時(shí),AO) =a其它顯然當(dāng)f(y) = -(1 + )- = A(X)A (丿)44所以上與丁不獨(dú)立又，令I(lǐng)一廠，由比門的值域知0 I 1.0-1 .10于是“）的二維分布函數(shù)為FM，卩琨護(hù) S uj2 v)=p(-&,x,1久-& y ),oi,ov lf（s），從而知 （鄧） 的聯(lián)合密度為:26.du dr / 1,0 vg 其圧0,o,其它扎(y)0複它.且的值域?yàn)?（i ,有AU） f I

18、厶（嚴(yán)）齊（刃血=2嚴(yán)如洛2(3設(shè)兩個(gè)電子元件聯(lián)接方式為（1）串聯(lián)；（2）并聯(lián)；（3）備用（即第一個(gè) 損壞時(shí)換上第二個(gè)），又設(shè)兩元件壽命丄匚分別服從及c!，（*，且/），求上述三種系統(tǒng)的壽命的密度函數(shù)。（例題、指數(shù)分布、極大、極小）解：設(shè)第一個(gè)元件壽命為 A，第二個(gè)元件的壽命為J，則其密度 函數(shù)和分布函數(shù)分別為fxM仁1 - ,x 0, a xo并設(shè)系統(tǒng)壽命為/，注意到兩元件的壽命當(dāng)然是互相獨(dú)立的，于是有（1）皿，于是fo,割嚴(yán)叫g(shù)從而有(2)是有FAd二町防町Z=max（X），冷啦+6 -（乂 +樂如）/。.(1-X1-) o.于,由卷積公式，有仆 ，要使（3）大于0,應(yīng)有T （I ,且：I

19、 （，故當(dāng)：fl時(shí)，有Zf（z）三仇七*叫=兄穩(wěn)wf占W舐=0Z-1)產(chǎn)b,； o,fz(= xe-嚴(yán)W27.三個(gè)火車站每天上午各獨(dú)立地發(fā)一列火車去同一煤礦拉煤，設(shè)每列火車到 達(dá)時(shí)間從上午8時(shí)到下午8時(shí)內(nèi)均勻分布，求（1）第一列火車到達(dá)時(shí)間的 概率密度；（2）某天第一列火車在上午9時(shí)后到達(dá)的概率。（例題、極?。┙猓涸O(shè)丄：是第:火車到達(dá)的時(shí)間，貝則 卅列），汁23，且相互獨(dú)立，并且0工 83x 8Fx_ (x) = ,8 x 20.（1）設(shè)了是第一列火車達(dá)到時(shí)間，則 LmudOi，,8x0）-i-p（r 10）-1-=0.7703.公共汽車站每隔5分鐘有一輛公共汽車通過，乘客到汽車站的任一時(shí)刻是

20、 等可能的，求乘客候車不超過3分鐘的概率（假設(shè)公共汽車一來，乘客必能 上車）（例題、幾何模型、均勻分布）解：解決這類問題通常需要建立正確的模型， 不同的模型有不同的解法。解法1用幾何模型，設(shè)想公共汽車在區(qū)間I（單位：分）中到達(dá)， 這就是基本事件區(qū)域，事件發(fā)生的區(qū)域就是區(qū)間,后者區(qū)間長度與前者區(qū)間長度的比為3 5 0.，這便是所求的概率。解法2:用隨機(jī)變量。設(shè)剛開走的汽車是在-I：時(shí)刻，于是下一部汽車將 衛(wèi)（兀）=上均勻分布的，于是有，從而“候車不超過3分鐘”的事件可表示為乘客在區(qū)間中的時(shí)刻到達(dá)，即L :-叭 ?，根據(jù)概率密度的性質(zhì),這個(gè)事件的概率為在（分）到達(dá)。又設(shè)乘客到達(dá)汽車站的時(shí)刻為 匚，

21、則在J呂xE （珀石+5, a其它.k.八、門是不是二維隨機(jī)變量的分設(shè)函數(shù)布函數(shù)？（二維、連續(xù)型、分布函數(shù)）解：不是。因?yàn)橐粋€(gè)二元函數(shù)要能成為分布函數(shù)，它必須滿足分布函數(shù) 的一切性質(zhì)，在二維分布函數(shù)的性質(zhì)中有如下的一條：而題中給出的函數(shù)不滿足這一條性質(zhì)，比如，特別地取moi，兒,)-匚1)，從而門川，笛小 m，把這四點(diǎn)代入表達(dá)式中得到 F(2J)F1)-F(20) + FO)-1HO _。因此F(吋) 不是二維分布函數(shù)?！?童(點(diǎn)0,其它-給定非負(fù)函數(shù) W，它滿足。又設(shè)/()=+ y2 )/(“？ +宀0 兀0,，并假定各周的需要量是相互獨(dú)立的，求（1）兩周；（2）三周的需要量的概率密度。（例

22、題、連續(xù)型、聯(lián)合密度函數(shù)、聯(lián)合分布函數(shù)）解：假定某種商品一周的需要量用：（單位商品）表示，那末匸是隨機(jī)變量，它的概率密度便是 川門，其圖形如下:從圖中可以看出，在一周中需要/. I （單位商品）左右這個(gè)數(shù)量的可能性最大，需要很大數(shù)量商品的可能性趨于零。而需要很少數(shù)量的紅色那個(gè)品 的可能性也極小，因此這條概率密度曲線就是一周中的需求量曲線。有了這 條曲線，有關(guān)人員就可以根據(jù)它準(zhǔn)備適當(dāng)數(shù)量的貨源，避免組織過多商品造 成積壓和組織過少商品造成供不應(yīng)求的兩種極端現(xiàn)象。例如：如果組織4單位商品，就有，的可能性，即90%以 上的可能性保證供應(yīng)。假定用匸，r，表示第：周需要量，J 表示第丿個(gè)周的總需要量，那末丁 兒*，I _ LI 兒。注意：是獨(dú)立=（/）同分布的隨機(jī)變量，即它們的概率密度為 現(xiàn)在來求 Q，再的概率密度。由于 匚匚的獨(dú)立性，得 兒匚的聯(lián)合 密度為卯淖Y劃Uh 0,0,其它.同理的聯(lián)合密度為6A03!0062012024/r/j （bi氐居）=布函數(shù)為片曲宕厲呢,r2）? 0,U于是，兩周需要量卩的分殍） = P旳 z） = P（7；+7i ）=卩y尼）g 三護(hù)用w”1”2 非吐陽f 1密弋碼其中積分區(qū)域G如下圖:類似地，對于三周需要量廠的分布函數(shù)為Fg=P（B Q