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文檔簡介
1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1已知等差數(shù)列的公差不為零,且,構(gòu)成新的等差數(shù)列,為的前項和,若存在使得,則( )A10B11C12D132我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想
2、內(nèi)容是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”( 注:如果一個大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù),則稱這個整數(shù)為素數(shù)),在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,則的概率是( )ABCD3若函數(shù)在時取得最小值,則( )ABCD4如圖所示的程序框圖輸出的是126,則應(yīng)為( )ABCD5集合的真子集的個數(shù)是( )ABCD6下列命題是真命題的是( )A若平面,滿足,則;B命題:,則:,;C“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;D命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”.7已知,則( )ABCD8若,則下列關(guān)系式正確的個數(shù)是( ) A1B2C3D49已知集合,則( )ABC或D10已知集合,則全集
3、則下列結(jié)論正確的是( )ABCD11如圖,點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動,則( )A在點(diǎn)F的運(yùn)動過程中,存在EF/BC1B在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中,不存在B1MAEC四面體EMAC的體積為定值D四面體FA1C1B的體積不為定值12定義在R上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,已知是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則的大小關(guān)系是( )ABCD以上情況均有可能二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,如圖是過且垂直于長軸的弦,則的內(nèi)切圓方程是_.14若變量,滿足約束條件則的最大值為_.15已知數(shù)列是等
4、比數(shù)列,則_.16下圖是一個算法流程圖,則輸出的的值為_三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)已知函數(shù)(,)滿足下列3個條件中的2個條件:函數(shù)的周期為;是函數(shù)的對稱軸;且在區(qū)間上單調(diào).()請指出這二個條件,并求出函數(shù)的解析式;()若,求函數(shù)的值域.18(12分)已知函數(shù).()求在點(diǎn)處的切線方程;()已知在上恒成立,求的值.()若方程有兩個實數(shù)根,且,證明:.19(12分)如圖,在長方體中,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),為線段上一點(diǎn),且滿足,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.20(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸
5、的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為(1)求和的直角坐標(biāo)方程;(2)已知為曲線上的一個動點(diǎn),求線段的中點(diǎn)到直線的最大距離21(12分)已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交直線于,兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若是,寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.22(10分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線C的方程為(),直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且,求r的值.參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目
6、要求的。1D【解析】利用等差數(shù)列的通項公式可得,再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由,構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得:又所以時,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】先列舉出不超過的素數(shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素數(shù)有:、,在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù),所有的基本事件有:、,共種情況,其中,事件“在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,且”包含的基本事件有:、,共種情況,因此,所
7、求事件的概率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3D【解析】利用輔助角公式化簡的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的最值,求得在函數(shù)取得最小值時的值【詳解】解:,其中,故當(dāng),即時,函數(shù)取最小值,所以,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題4B【解析】試題分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加S=2+22+2n的值,并輸出滿足循環(huán)的條件解:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加S=2+22+2n的值,并輸出滿足循環(huán)的
8、條件S=2+22+21=121,故中應(yīng)填n1故選B點(diǎn)評:算法是新課程中的新增加的內(nèi)容,也必然是新高考中的一個熱點(diǎn),應(yīng)高度重視程序填空也是重要的考試題型,這種題考試的重點(diǎn)有:分支的條件循環(huán)的條件變量的賦值變量的輸出其中前兩點(diǎn)考試的概率更大此種題型的易忽略點(diǎn)是:不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯誤5C【解析】根據(jù)含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,計算可得;【詳解】解:集合含有個元素,則集合的真子集有(個),故選:C【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義,集合元素的概念,以及真子集的概念,對于含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,屬于基礎(chǔ)題6D【解析】根據(jù)面面關(guān)系判斷A;根據(jù)否定的定義判斷B;根據(jù)充分條件,
9、必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面,滿足,則可能相交,故A錯誤;命題“:,”的否定為:,故B錯誤;為真,說明至少一個為真命題,則不能推出為真;為真,說明都為真命題,則為真,所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件,故C錯誤;命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”,故D正確;故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件,寫出命題的逆否命題等,屬于中檔題.7C【解析】利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡可得,即可求得結(jié)果.【詳解】,所以,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.8D【解析】a,b可看
10、成是與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo),畫出圖象,數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令,作出圖象如圖,由,的圖象可知,正確;,有,正確;,有,正確;,有,正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.9D【解析】首先求出集合,再根據(jù)補(bǔ)集的定義計算可得;【詳解】解:,解得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.10D【解析】化簡集合,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡集合,按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義,逐項判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,因此,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11C【
11、解析】采用逐一驗證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯誤由平面,/而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF/BC1B錯誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由/,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離,由/,平面,平面所以/平面,則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯誤由/,平面,平面所以/平面,則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點(diǎn)睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直
12、與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.12B【解析】由已知可求得函數(shù)的周期,根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調(diào)性,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較【詳解】由可得,即函數(shù)的周期,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知,在上單調(diào)遞增,因為,是銳角三角形的兩個內(nèi)角,所以且即,所以即,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13【解析】利用公式計算出,其中為的周長,為內(nèi)切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標(biāo).【詳解】由已知,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,半徑為,則,故
13、有,解得,由,或(舍),所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問題,涉及到橢圓焦點(diǎn)三角形、橢圓的定義等知識,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.147【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合,即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖陰影部分所示.觀察可知,當(dāng)直線過點(diǎn)時,有最大值,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃,主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬基礎(chǔ)題.15【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式,首先求得,然后求得.【詳解】設(shè)的公比為,由,得,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基
14、本量計算,屬于基礎(chǔ)題.163【解析】分析程序中各變量、各語句的作用,根據(jù)流程圖所示的順序,即可得出結(jié)論.【詳解】解:初始,第一次循環(huán): ;第二次循環(huán): ;第三次循環(huán): ;經(jīng)判斷,此時跳出循環(huán),輸出.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,解題的關(guān)鍵是對算法語句的理解,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17()只有成立,;().【解析】()依次討論成立,成立,成立,計算得到只有成立,得到答案.()得到,得到函數(shù)值域.【詳解】()由可得,;由得:,;由得,;若成立,則,若成立,則,不合題意,若成立,則,與中的矛盾,所以不成立,所以只有成立,.()由題意
15、得,所以函數(shù)的值域為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期,對稱軸,單調(diào)性,值域,表達(dá)式,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.18();();()證明見解析【解析】()根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.()求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,并構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性分析可得只能在處取得最小值求解即可.()根據(jù)()()的結(jié)論可知,在上恒成立,再分別設(shè) 的解為、.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.【詳解】()由題,故.且.故在點(diǎn)處的切線方程為.()設(shè)恒成立,故.設(shè)函數(shù)則,故在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當(dāng)時,此時,且在上,單調(diào)遞減.在上,單調(diào)遞增.故,滿足題意;當(dāng)時,此時有解,且在上單調(diào)遞減,
16、與矛盾;當(dāng)時,此時有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾;故().由(),在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增,故最多一根.又因為,故設(shè)的解為,因為,故.所以在遞減,在遞增.因為方程有兩個實數(shù)根,故 .結(jié)合()()有,在上恒成立.設(shè) 的解為,則;設(shè)的解為,則.故,.故,得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問題.同時也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問的結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.19(1)證明見解析(2)【解析】(1)解法一: 作的中點(diǎn),連接,.利用三角形的中位線證得,利用梯形中位線證得,由此證得平面平面,進(jìn)而證得平面.解法二:建立空間直角坐標(biāo)系,通過證明直線的方向向量和平
17、面的法向量垂直,證得平面.(2)利用平面和平面法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)法一:作的中點(diǎn),連接,.又為的中點(diǎn),為的中位線,又為的中點(diǎn),為梯形的中位線,在平面中,在平面中,平面平面,又平面,平面.另解:(法二)在長方體中,兩兩互相垂直,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,.(1)設(shè)平面的一個法向量為,則,令,則,.,又,又平面,平面.(2)設(shè)平面的一個法向量為,則,令,則,.同理可算得平面的一個法向量為,又由圖可知二面角的平面角為一個鈍角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題考查線面的位置關(guān)系,空間向量與線面角,二面角等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力,推理論證能力,運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思
18、想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.20(1)(2)最大距離為【解析】(1)直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的公式計算得到答案.(2)曲線的參數(shù)方程為,設(shè),計算點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】(1)由,得,則曲線的直角坐標(biāo)方程為,即直線的直角坐標(biāo)方程為(2)可知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),則到直線的距離為,所以線段的中點(diǎn)到直線的最大距離為【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程,距離的最值問題,意在考查學(xué)生的計算能力.21(1);(2)是,定點(diǎn)坐標(biāo)為或【解析】(1)根據(jù)相切得到,根據(jù)離心率得到,得到橢圓方程.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,聯(lián)立方程得到,計算點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的方程可化為,得到答案.【詳解】(1)根據(jù)題意:,因為,所以,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,把直線的方程代入橢圓方程化簡得到,所以,所以,因為直線的斜率,所以直線的方程,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,
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