天津市十二重點2021-2022學(xué)年高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡

2、一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1定義在R上的函數(shù)，若在區(qū)間上為增函數(shù)，且存在，使得.則下列不等式不一定成立的是（ ）ABCD2已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則的解集是ABCD3設(shè)函數(shù)，若在上有且僅有5個零點，則的取值范圍為（ ）ABCD4已知復(fù)數(shù)滿足：，則的共軛復(fù)數(shù)為（ ）ABCD5設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項和為，已知，則（ ）A9B27C81D6設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（ ）ABC7D27已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（ ）ABC2D48已知點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）

3、ABCD9已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（ ）ABCD10已知集合，則集合真子集的個數(shù)為（ ）A3B4C7D811已知函數(shù)fx=sinx+6+cosx0在0,上的值域為32,3，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A16,13B13,23C16,+D12,2312如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)為橢圓在第一象限上的點，則的最小值為_.14設(shè)函數(shù)，則_.15已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，若，則_.16已知雙曲線的左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點，則雙曲線C

4、的離心率為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線，的交點分別為、（、異于原點），當(dāng)斜率時，求的最小值.18（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，點、分別為，的中點，且平面平面.（1）求證：平面.（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.19（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且（1）求；（2）若，且面積的最大值為，求周長的取值范圍.20（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，面.（1）在線段上是否存在

5、點，使面，說明理由；（2）求二面角的余弦值.21（12分）己知函數(shù).（1）當(dāng)時，求證：；（2）若函數(shù)，求證：函數(shù)存在極小值.22（10分）已知數(shù)列和，前項和為，且，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性對選項逐個判斷即可【詳解】由條件可得函數(shù)關(guān)于直線對稱；在，上單調(diào)遞增，且在時使得；又，所以選項成立；，比離對稱軸遠(yuǎn)，可得，選項成立；，可知比離對稱軸遠(yuǎn)，選項成立；，符號不定，無法比較大小，不一定成

6、立故選：【點睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.2D【解析】先由是偶函數(shù)，得到關(guān)于直線對稱；進(jìn)而得出單調(diào)性，再分別討論和，即可求出結(jié)果.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以關(guān)于直線對稱；因此，由得；又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)即時，由得，所以，解得；當(dāng)即時，由得，所以，解得；因此，的解集是.【點睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對應(yīng)不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.3A【解析】由求出范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點特征，建立不等量關(guān)系，即可求解.【詳解】當(dāng)時，在上有且僅有5個零點，.故選:A.【點睛】本題考查正弦型

7、函數(shù)的性質(zhì)，整體代換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4B【解析】轉(zhuǎn)化，為，利用復(fù)數(shù)的除法化簡，即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足：所以 故選：B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5A【解析】根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項，即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因為.且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.6B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可求出結(jié)果【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B【點睛】本題主要考查

8、等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式，屬于基礎(chǔ)題7A【解析】由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.【詳解】解：設(shè)雙曲線的半個焦距為，由題意又，則，所以離心率，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題8C【解析】將點A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實軸長和虛軸長，進(jìn)而求得離心率.【詳解】將,代入方程得，而雙曲線的半實軸，所以，得離心率,故選C.【點睛】此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.9A【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù)，求得的值，由此化簡不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數(shù)

9、，所以當(dāng)時，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【點睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10C【解析】解出集合，再由含有個元素的集合，其真子集的個數(shù)為個可得答案.【詳解】解：由，得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選：C【點睛】此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應(yīng)用，含有個元素的集合，其真子集的個數(shù)為個，屬于基礎(chǔ)題.11A【解析】將fx整理為3sinx+3，根據(jù)x的范圍可求得x+33,+3；根據(jù)f0=32，結(jié)合fx的值域和sinx的圖象，可知2+323，解不等式求得結(jié)果.【詳解】fx=sinx+6+cos

10、x=sinxcos6+cosxsin6+cosx=32sinx+32cosx=3sinx+3當(dāng)x0,時，x+33,+3又f0=3sin3=32，3sin23=32，3sin2=3由fx在0,上的值域為32,3 2+323解得：16,13本題正確選項：A【點睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限，從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.12C【解析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可【詳解】解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，PABC，正方體的棱長為2，該幾何體的表面積：故選C【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖

11、的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】利用橢圓的參數(shù)方程，將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題，利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值，即可得到所求最小值【詳解】解：設(shè)點，其中，由，可設(shè)，導(dǎo)數(shù)為，由，可得，可得或，由，可得，即，可得，由可得函數(shù)遞減；由，可得函數(shù)遞增，可得時，函數(shù)取得最小值，且為，則的最小值為1故答案為：1【點睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法，考查化簡變形能力和運算能力，屬于難題14【解析】由自變量所在定義域范圍，代入對應(yīng)解析式，再由對數(shù)加

12、減法運算法則與對數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加，即為答案.【詳解】因為函數(shù)，則因為，則故故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡單題.15【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，且，可得，解得，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】設(shè)公差為，因為，所以，所以，所以 故答案為：【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.16【解析】由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知或,進(jìn)而利用兩點間距離公式求解即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為,因為左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,當(dāng)時,由可得,等式兩邊同除可得,解得（舍）；當(dāng)時,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點睛】本題考查求雙

13、曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）的極坐標(biāo)方程為；曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）【解析】(1)消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，即可求解. (2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，求得，再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，分別代入曲線，的極坐標(biāo)方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1) 由題曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為

14、，即，則曲線的極坐標(biāo)方程為，即，又因為曲線的極坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)，代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為.解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為），代入曲線的極坐標(biāo)方程，得，把直線的參數(shù)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程得：，即，曲線的參，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程點互化，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式

15、，合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.18（1）見解析（2）【解析】（1）首先可得，再面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，再由，即可得到線面垂直；（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角；【詳解】解：（1），點為的中點，又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，又，分別為，的中點，又平面，平面，平面.（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，利用

16、空間向量法求線面角，屬于中檔題.19（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式及三角形內(nèi)角和定理，將化簡為，求出的值，結(jié)合，求出A的值；（2）寫出三角形的面積公式，由其最大值為求出.由余弦定理，結(jié)合，求出的范圍，注意.進(jìn)而求出周長的范圍.【詳解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由題意知，又，又周長的取值范圍是【點睛】本題考查了二倍角余弦公式，三角形面積公式，余弦定理的應(yīng)用，求三角形的周長的范圍問題.屬于中檔題.20（1）存在；詳見解析（2）【解析】（1）利用面面平行的性質(zhì)定理可得，為上靠近點的三等分點，中點，證明平面平面即得；（2）過作交于，可得兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求

17、出長，寫出各點坐標(biāo)，用向量法求二面角【詳解】解：（1）當(dāng)為上靠近點的三等分點時，滿足面.證明如下，取中點，連結(jié).即易得所以面面，即面（2）過作交于面，兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)面法向量，則，即取同理可得面的法向量綜上可知銳二面角的余弦值為【點睛】本題考查立體幾何中的存探索性命題，考查用空間向量法求二面角線面平行問題可通過面面平行解決，一定要掌握：立體幾何中線線平行、線面平行、面面平行是相互轉(zhuǎn)化、相互依存的求空間角一般是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求空間角21（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)得，由，且，得到，再利用函數(shù)在上單調(diào)遞減論證.（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)，令，易知； ，易知當(dāng)時，；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，而，又，由零點存在定理得，使得，使得，有從而得證.【詳解】（1）依題意，因為，且，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故.（2）依題意，令，則；而，可知當(dāng)時，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，而，又，故，使得，故，使得，即函數(shù)單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增；故當(dāng)時，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)有極小值.【點睛】本題考