桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算

1、第七章桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算退出了解桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算，進(jìn)行桿的剛度計(jì)算，也為以后靜不定問(wèn)題求解作準(zhǔn)備。目的：要求：記住求解結(jié)構(gòu)變形的基本公式并能正確地利用它來(lái)進(jìn)行計(jì)算。桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算退出桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算7-l 拉伸(壓縮)時(shí)的變形7-2 扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形7-3 彎曲時(shí)的變形7-4 求桿件變形的疊加法7-5 桿的剛度條件7-6 靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算桿件的變形能 7-7 單位荷載法7-8 圖形互乘法* 7-9 靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移和溫度變化所引起的位移計(jì)算*7-10 虛功原理 單位荷載法退出7-l 拉伸(壓縮)時(shí)的變形桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算單段等截面等軸力桿件多段等截面等軸力桿件多段變截面或變軸力桿件例

2、7-l 計(jì)算桿在自重作用下所引起的伸長(zhǎng)，設(shè)桿長(zhǎng)為l，橫截面面積為A，材料的比重為g，彈性模量為E。end7-2 扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形單段等截面等扭矩桿件多段等截面等扭矩桿件多段變截面或變扭矩桿件Mn扭矩G 剪切彈性模量Ip 極慣性矩桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算end7-3 彎曲時(shí)的變形1.撓曲線的近似微分方程撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用 y 表示。 與 y 同向?yàn)檎?，反之為?fù)。轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用 表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。PxyCyqC11) 度量梁變形的兩個(gè)基本位移量q 0順時(shí)針轉(zhuǎn)向桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算end3)轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：小變形y =f (x)xyFxyFFCx

3、yBAend2)撓曲線 變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算式(7-9)就是撓曲線近似微分方程。小變形xyM0yxM0(7-9)對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算2.用積分法求梁的變形對(duì)等截面梁，EI 為常數(shù)，有：end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算例7-2求懸臂梁在均布載荷作用下的轉(zhuǎn)角和撓度方程，并計(jì)算其最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。已知梁長(zhǎng)為 l ，粱的剛度為 EI。(a)(b)解：（1）求出固定端的反力Rm（2）列出彎矩方程（3）給出撓曲線微分方程end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算(a)(b)Rm（4）積分，得出轉(zhuǎn)角方程

4、和撓曲線方程（5）確定積分常數(shù)C、D (6) 轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，最大撓度和最大轉(zhuǎn)角end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算7-4 求桿件變形的疊加法 在假定桿的變形微小及材料服從虎克定律的前提下，桿的變形(一般指的就是截面形心的線位移和截面的角位移)都是外加載荷的線性齊次函數(shù)。因此，當(dāng)桿上有多個(gè)載荷共同作用時(shí)，特別是當(dāng)各載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形結(jié)果已知(如有表可查)時(shí)，用疊加法來(lái)計(jì)算桿的變形尤為方便，用式子表達(dá)，以撓度為例,即： 式中 y 為多個(gè)載荷共同作用時(shí)在某點(diǎn)處引起的撓度，yPi 為某載荷單獨(dú)作用時(shí)在該點(diǎn)處引起的撓度。end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算例7-5 外伸梁ABC受載如圖所示，設(shè)梁的剛度為，求C點(diǎn)的撓度

5、。解：采用分段剛化的步驟來(lái)解剛化AB，則BC段為懸臂梁，查表得：剛化BC，則ABC為外伸梁，分布力想B點(diǎn)簡(jiǎn)化；有則將引起梁的變形，使截面產(chǎn)生轉(zhuǎn)角qB，也引起C點(diǎn)的位移yC2圖(c)如下：m=qa2/ 2P=qa，C點(diǎn)的撓度為end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算例7-6 矩形截面的懸臂梁受荷載 P 的作用，如圖所示。設(shè) P 與垂直軸 y 的夾角 a=30o，截面的慣性矩 Iy、Iz已知，且Iy Iy，故b a，如圖(b)所示,即此時(shí)彎曲變形不發(fā)生在載荷作用的平面內(nèi)，這種彎曲工程上常稱為斜彎曲。end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算7-5 桿的剛度條件各種基變形情況下的剛度條件根據(jù)此種條件，可進(jìn)行類似于強(qiáng)度計(jì)算那樣的三類計(jì)

6、算：1)剛度校核； 2)按剛度條件設(shè)計(jì)截面； 3)按剛度條件確定許可載荷。扭轉(zhuǎn)的剛度條件精密機(jī)械軸一般傳動(dòng)軸要求不高的軸拉伸壓縮彎曲轉(zhuǎn)角彎曲撓度end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算例7-7 試確定圖中所示軸的直徑D，設(shè)材料的剪切彈性模量G=80GPa，t =40MPa， q =0.5o/m 巳知Mmax=1432(N-m)解：按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)直徑9551432N-mm2m1m3按剛度條件設(shè)計(jì)直徑故軸的直徑應(yīng)按剛度條件決定，可取為68mm。end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算7-6 靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算桿件的變形能 桿件的位移除了用前面的微分方程積分的方法進(jìn)行計(jì)算外，還可由能量守恒定理按能量法求解。這是研究變形體問(wèn)題的又一

7、普遍方法，特別適用于求解復(fù)雜體系的變形問(wèn)題。首先來(lái)研究桿件在各種變形形式下的變形能的計(jì)算。 end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算AlDlPPoDlADlDlB拉伸(壓縮)時(shí)的變形能的計(jì)算彎曲時(shí)的變形能的計(jì)算扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形能的計(jì)算end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算當(dāng)桿件承受組合變形時(shí) ：若變形能是內(nèi)力的非線性函數(shù)，力的獨(dú)立性原理不成立，故不能用疊加法NNTTMMend桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算例 7-8 求圖示簡(jiǎn)支梁在集中力P作用下的變形能 ，已知梁的剛度為EI。PAlabBCRARBx1x2解：(1) 求支反力(2) 列出彎矩方程(3) 計(jì)算變形能end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算例 7-9 求圖示曲桿的變形能，設(shè)曲桿的曲率半徑為R，

8、抗彎剛度為EIPARBONAqOQMend桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算7-7 單位荷載法 下面我們從功能互等定理出發(fā)導(dǎo)出計(jì)算線彈性結(jié)構(gòu)位移的一個(gè)普遍方法單位荷載法。今以剛架為例來(lái)說(shuō)明。 設(shè)剛架上受外荷載P1和P2作用，今欲求剛架上任一點(diǎn)、任一方向的位移，如圖中所示的 D 的大小。P1P2MiNiDP0M0iN0iD0 為此，我們可在該結(jié)構(gòu)的該點(diǎn)上加上一個(gè)沿該方向的微小荷載P0，再分別寫出此兩種受力情況下的功能關(guān)系式：P1P2Mi+M0iNi+N0iDP0D 0end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算 為了求得，我們尚需列出第三狀況下的功能關(guān)系式，該狀況是由結(jié)構(gòu)上先加P0荷載，再加已知荷載P1和P2而形成的。寫此時(shí)的功能

9、關(guān)系時(shí)應(yīng)注意：外力功除了P1、P2和P0在其自身引起的位移上作功A和A0外，P0 在P1、P2、所引起的位移上也要作功。 所以，此時(shí)的功能關(guān)系式應(yīng)是：用此式減去前兩式，可得：end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算 為了能直接得到D 的數(shù)值，可令P0=1，而對(duì)應(yīng)于此時(shí)的M0 i，N0 i 則寫成M0 i，N0 i。這樣，就得到用單位荷載法求結(jié)構(gòu)位移的一般公式： 上述公式也可計(jì)算角位移，只要將P0視為單位力偶就可以了。此時(shí)公式中的M0 i，N0 i 即為單位力偶作用在該結(jié)構(gòu)上所引起的相應(yīng)內(nèi)力。end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算 當(dāng)結(jié)構(gòu)在外力作用下，在桿件內(nèi)引起扭矩時(shí)，只要在公式(7-21)后面附加考慮扭轉(zhuǎn)所引起的位移項(xiàng)就

10、可以了，公式推導(dǎo)原理不變。所以當(dāng)不計(jì)桿件剪切內(nèi)力的影響(通常很小，工程上常忽略)時(shí)，計(jì)算結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的位移的普遍公式是： 需要指出的是：?jiǎn)挝缓奢d的方向開始時(shí)可以隨意假設(shè)，將來(lái)按公式算得的結(jié)果如果是正值時(shí)，則所發(fā)生的位移就是沿所加單位荷載方向，反之，則位移沿單位荷載的反方向發(fā)生end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算例 7-10 求 圖示曲桿在B點(diǎn)的垂直位移和水平位移AjO1B(b)AjO1B(c)AjO1B(d)(a)PARBOjend桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算7-8 圖形互乘法 對(duì)工程中常見的一些由等剛度桿所形成的梁或剛架等折線型結(jié)構(gòu)，用積分法計(jì)算常嫌其麻煩時(shí)，也可采用下面介紹的圖形互乘法來(lái)計(jì)算。如上節(jié)所說(shuō)在

11、計(jì)算梁或剛架位移時(shí)，都會(huì)遇到如下積分： 當(dāng)結(jié)構(gòu)各桿段的剛度EiIi=常數(shù)時(shí)，該積分中的EiIi就可提到積分號(hào)外面去而和積分變量無(wú)關(guān)。剩下的就只要計(jì)算型式的積分值。 end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算xdxxxcCMxM0 xM(x)M 0y C la據(jù)此，可將公式替換為下式式中 wi，wNi，wni 分別為該段上彎矩圖、軸力圖和扭矩圖的面積，而 分別為和上述面積的形心相對(duì)應(yīng)的 圖上的縱坐標(biāo)值。所有值和yC 值均取代數(shù)值，或遵循與yC 在基線的同側(cè)相乘為正，異側(cè)相乘為負(fù)的原則也可。abcdlw1w2 在具體計(jì)算wyC值時(shí)，還有一些技巧，如以下諸圖所示：桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算 比較(a),(b)兩式可見，只要將

12、(a)式中的a,b,c,d的值均看作代數(shù)值，由(a)式即可得到(b) (b)(a)endend桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算例 7-11 求圖 示剛架在缺口A 處的相對(duì)位移，設(shè)桿的抗彎剛度為EI。 aaP2lP(a)PaPaPaPa(b)2a2a2a2a11(c)l11lllllll(d)1111111111(e)end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算* 7-9 靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移和溫度變化所引起的位移計(jì)算1. 求結(jié)構(gòu)由于支座位移所引起的結(jié)構(gòu)位移 當(dāng)支座C由于沉陷而產(chǎn)生C1，C2，C3 的位移后，欲求端部A處沿D方向的位移D。為此，假設(shè)在此結(jié)構(gòu)的A處沿D方向加相應(yīng)的單位力，假設(shè)此時(shí)支座反力R10，R20，R30的方向

13、取得和支座位移的方向一致時(shí)，如圖(b)所示，則按剛體的虛位移原理可得下式：將上式移項(xiàng)后即得所求的位移為：1(b)CC1CBAC3C2DBAD(a)end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算例 7-12 求三鉸剛架由于支座A處位移Dx和Dy而引起的頂鉸C處的豎直位移DC。代入公式(7-27)得：DxDyCADC(a)hCBAl1(b) 首先在C處豎直方向加單位力；再求出此時(shí)單位力在沿巳知位移方向的反力；其值為正，即C的豎直位移方向和所加單位力方向相同。解：end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算2.求結(jié)構(gòu)由于溫度變化所引起的位移 首先我們來(lái)討論微段兩側(cè)由于溫度的不同所造成的變形。設(shè)微段長(zhǎng)ds，形心軸距兩側(cè)的距離為h1和h2，截面

14、的高度為h，而溫度t2 t1，材料的線膨脹系數(shù)為a 。hdsh2h1dja t2dsa t1dst1t2形心軸 微段的軸線伸長(zhǎng)量du和截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角dj為： end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算 知道了 du，dj 的表達(dá)式后，欲求圖示結(jié)構(gòu)由于溫度變化而引起的任一點(diǎn)C 的位移 Dt 時(shí)，直接利用虛功原理得下面的公式： 或 應(yīng)用上述兩公式時(shí)，應(yīng)注意正負(fù)號(hào)。若溫度引起的軸向變形及彎曲變形與單位荷載所引起的軸向變形和彎曲變形的方向一致時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。t1t2t2At1CB1end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算例7-13 求圖示剛架C處所產(chǎn)生的豎直位移，若剛架外側(cè)溫度為0oC時(shí)，內(nèi)側(cè)溫度為10oC。各桿截面相同且和形心

15、軸對(duì)稱，材料的線膨脹系數(shù)為a，截面高度為h。解：作出單位力下的內(nèi)力圖Ni0和Mi0，并用虛線示出其變形方向；同時(shí)也用虛線示出結(jié)構(gòu)由于溫度變化所引起的變形方向。由圖可見，兩者正相反，故公式中的乘積項(xiàng)均取負(fù)號(hào)。由于代入公式(7-28b)后即得：10oACBll(a)1(b)1ll(c)end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算*7-10 虛功原理 單位荷載法 虛功原理是固體力學(xué)的一個(gè)普遍性原理，它適用于剛體和可變形體。今以直桿在拉伸時(shí)的受力和變形狀態(tài)為例來(lái)說(shuō)明此原理。圖(a)為其受力狀態(tài)，圖(b)為其假想的位移狀態(tài)，此位移是桿約束條件許可的、滿足變形連續(xù)條件的任一微小位移，簡(jiǎn)稱其為許可位移或虛位移。dxxpPdxx

16、pPluu+dupPN+dNN 設(shè)u是該桿內(nèi)某微段dx左截面的位移，則其右截面的位移可寫為u+du；所以，u可以稱為此微段的剛性位移，而du則是該微段的變形位移。當(dāng)該微段平衡時(shí)，可得：end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算dxxpPdxxpPluu+dupPN+dNN將上式兩邊乘以該微段的剛性位移u，積分后得：若將此式展開后積分，則有：分部積分,得將桿的邊界條件；代入上式，則得：變形體虛功原理end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算 當(dāng)變形體處于平衡狀態(tài)時(shí)，外力在變形體虛位移上所作的功必等于變形體內(nèi)力在其虛變形上所儲(chǔ)存的變形能。推廣到桿件更一般的受力情況，則有Ni，Qi，Mi，Mni分別為在力狀態(tài)下各段桿的內(nèi)力；式中：Pi 為廣義力(力、力偶)；dui，dvi，dqi，dji 為廣義位移(線位移、角位移);Di 則是桿在位移狀態(tài)下和上述內(nèi)力相對(duì)應(yīng)的變形位移。end桿及結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算 若桿件為剛體，