浙江省春暉2022年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶（1202-1261）在數(shù)書(shū)九章（1247）一書(shū)中提出“三斜求積術(shù)”，即：

2、以少?gòu)V求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積. 其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng)，求三角形面積，即. 若的面積，則等于（ ）ABC或D或2設(shè)非零向量，滿(mǎn)足，且與的夾角為，則“”是“”的（ ）A充分非必要條件B必要非充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件3如圖，已知三棱錐中，平面平面，記二面角的平面角為，直線(xiàn)與平面所成角為，直線(xiàn)與平面所成角為，則（ ）ABCD4已知復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD5 “紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶，“火紋”是常見(jiàn)的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測(cè)算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在

3、內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，己知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影部分據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是（ ）ABC10D6已知雙曲線(xiàn)：的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)C漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，均位于第一象限，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）ABCD7三棱錐中，側(cè)棱底面，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD8某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（ ）AB6CD9已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）ABCD10如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，.若分別是棱上的點(diǎn)，且，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（ ）ABCD11要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的（ ）A

4、橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度12數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫(huà)面.一些優(yōu)美的曲線(xiàn)是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線(xiàn)恰好是四葉玫瑰線(xiàn).給出下列結(jié)論：曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過(guò)2；曲線(xiàn)C圍成區(qū)域的面積大于；方程表示的曲線(xiàn)C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號(hào)是( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，

5、共20分。13正四面體的各個(gè)點(diǎn)在平面同側(cè)，各點(diǎn)到平面的距離分別為1，2，3，4，則正四面體的棱長(zhǎng)為_(kāi)14在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1024，則展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的值等于_15已知向量，且向量與的夾角為_(kāi).16已知，若，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)（）的圖象在處的切線(xiàn)為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求的值；（2）若，且對(duì)任意恒成立，求的最大值.18（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是，射線(xiàn)與圓的交點(diǎn)為、，與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，求線(xiàn)段的長(zhǎng)

6、.19（12分）已知函數(shù).（1）若曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD平面PAD，E是PD的中點(diǎn)證明：；設(shè)，點(diǎn)M在線(xiàn)段PC上且異面直線(xiàn)BM與CE所成角的余弦值為，求二面角的余弦值21（12分）隨著時(shí)代的發(fā)展，A城市的競(jìng)爭(zhēng)力、影響力日益卓著，這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無(wú)不吸引著無(wú)數(shù)懷揣夢(mèng)想的年輕人前來(lái)發(fā)展，目前A城市的常住人口大約為1300萬(wàn).近日，某報(bào)社記者作了有關(guān)“你來(lái)A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問(wèn)卷，參與調(diào)查的對(duì)象年齡層次在2544歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)

7、據(jù)如下：來(lái)A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計(jì)自然環(huán)境1.森林城市，空氣清新2003002.降水充足，氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開(kāi)放且包容250合計(jì)10001000（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)400萬(wàn)2544歲年齡的人中，選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來(lái)A城市發(fā)展的有多少人；（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”的概率；（3）在選擇“自然環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性；在選擇“人文環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的70

8、0人中有400名男性；請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)？自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)男女合計(jì)附：，.P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822（10分）在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，求的面積的值（或最大值）已知的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，三邊，與面積滿(mǎn)足關(guān)系式：，且 ，求的面積的值（或最大值）參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】將，代入，解得，再分類(lèi)討論，利用余弦弦定理求，再用平方關(guān)系求解.【詳解】已知，代入，得，即 ，解得，

9、當(dāng)時(shí)，由余弦弦定理得： ，.當(dāng)時(shí)，由余弦弦定理得： ， .故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和平方關(guān)系，還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.2C【解析】利用數(shù)量積的定義可得，即可判斷出結(jié)論【詳解】解：，解得，解得， “”是“”的充分必要條件故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3A【解析】作于,于,分析可得,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線(xiàn)面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因?yàn)槠矫嫫矫?平面.故,故平面.故二面角為.又直線(xiàn)與平面所成角為,因?yàn)?故.故,當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取等號(hào).又直線(xiàn)與平面所成角為,且為直線(xiàn)與平面內(nèi)的直線(xiàn)所成角,故,

10、當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)取等號(hào).故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面角與線(xiàn)線(xiàn)角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時(shí)運(yùn)用線(xiàn)面角的最小性進(jìn)行判定.屬于中檔題.4B【解析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時(shí)乘以 ，化簡(jiǎn)整理得 詳解： ，故選B點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)中的?？紗?wèn)題，屬于得分題，主要考查的方面有：復(fù)數(shù)的分類(lèi)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)注意符號(hào)的正、負(fù)問(wèn)題.5D【解析】直接根據(jù)幾何概型公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.6D【解析】 由雙曲線(xiàn)的方程的左右焦點(diǎn)

11、分別為，為雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上的一點(diǎn)，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點(diǎn)，且,點(diǎn)在直線(xiàn)上，并且，則，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線(xiàn)的方程可得，解得，故選D點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線(xiàn)的離心率是雙曲線(xiàn)最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線(xiàn)的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：求出，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)7B【解析】由題，側(cè)棱底面，則根據(jù)余弦定理可得 ，的外接圓圓心 三棱錐的外接球的球心到面的距離 則外接球的半徑 ，則該三

12、棱錐的外接球的表面積為 點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑 公式是解答的關(guān)鍵8D【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.9D【解析】與中間值1比較，可用換底公式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)，再比較大小【詳解】，又，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查冪和對(duì)數(shù)的大小比較，解題時(shí)能化為同底的化為同底數(shù)冪比較，或化為同底數(shù)對(duì)數(shù)比較，若是不同類(lèi)型的數(shù)，可借助中間值如0，1等比較10B【解

13、析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點(diǎn)為，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線(xiàn)所成的角的求法，屬于中檔題.11C【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），故可得；再將 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.12B【解析】利用基本不等式得，可判斷；和聯(lián)立解得可判斷；由圖可判斷.【詳解】，解得（當(dāng)

14、且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線(xiàn)C相切于點(diǎn)，則和都錯(cuò)誤；由，得正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查曲線(xiàn)與方程的應(yīng)用，根據(jù)方程，判斷曲線(xiàn)的性質(zhì)及結(jié)論，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】不妨設(shè)點(diǎn)A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個(gè)單位，與正四面體相交，過(guò)點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，根據(jù)題意F為中點(diǎn)，E為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A），設(shè)棱長(zhǎng)為a， 求得，再用余弦定理求得：，從而求得，再根據(jù)頂點(diǎn)A到面EDF的距離為，得到，然后利用等體積法求解，【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A，D，C，B到面的距離

15、分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個(gè)單位，與正四面體相交，過(guò)點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖所示：由題意得：F為中點(diǎn)，E為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A），設(shè)棱長(zhǎng)為a， ，頂點(diǎn)D到面ABC的距離為所以，由余弦定理得：，所以，所以，又頂點(diǎn)A到面EDF的距離為，所以，因?yàn)椋?，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的切割問(wèn)題以及等體積法的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象，運(yùn)算求解的能力，屬于難題，14【解析】利用展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)的和得n=5,再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為4n=1024, n=5,故的展開(kāi)式的通項(xiàng)

16、公式為T(mén)r+1=C35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項(xiàng)為T(mén)5=C3=15,故填15.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.151【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可【詳解】解：向量，且向量與的夾角為，|；所以：（）2cos221，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題161【解析】由題意先求得的值，可得，再令，可得結(jié)論【詳解】已知，令，可得，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的賦值，求展開(kāi)式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70

17、分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17 (1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)為，列出方程組，即可求出的值；（2）由（1）可得，根據(jù)對(duì)任意恒成立，等價(jià)于對(duì)任意恒成立，構(gòu)造，求出的單調(diào)性，由，可得存在唯一的零點(diǎn)，使得，利用單調(diào)性可求出，即可求出的最大值.（1），.由題意知. （2）由（1）知：，對(duì)任意恒成立對(duì)任意恒成立對(duì)任意恒成立. 令，則.由于，所以在上單調(diào)遞增. 又，所以存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，時(shí)，. 即在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.又，即，. . ， . 又因?yàn)閷?duì)任意恒成立，又， . 點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題，首

18、先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.18（1）（2）【解析】（1）首先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再根據(jù)公式化為極坐標(biāo)方程即可；（2）設(shè)，由，即可求出，則計(jì)算可得；【詳解】解：（1）圓的參數(shù)方程（為參數(shù)）可化為，即圓的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，由，解得.設(shè)，由，解得.，.【點(diǎn)睛】本題考查了利用極坐標(biāo)方程求曲線(xiàn)的交點(diǎn)弦長(zhǎng)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題19（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由導(dǎo)函數(shù)求得

19、有最小值，進(jìn)而可知由唯一零點(diǎn)，即可代入求得的值；（2）將解析式代入，結(jié)合零點(diǎn)定義化簡(jiǎn)并分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)；求得并令求得極值點(diǎn)，列出表格判斷的單調(diào)性與極值，即可確定與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍.【詳解】（1）依題意，設(shè)切點(diǎn)為，故，故，則；令，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，由于，故有唯一實(shí)數(shù)根0，即，則；（2）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線(xiàn)與曲線(xiàn)在有兩個(gè)交點(diǎn)”；由于.由，解得，.當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：30+0極小值極大值所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，故?dāng)或時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，由切線(xiàn)方程求參數(shù)值，構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)零點(diǎn)的意義及綜合應(yīng)用，屬于難題.20（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由平面平面的性質(zhì)定理得平面，.在中，由勾股定理得，平面，即可得；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法和異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出二面角的余弦值.【詳解】（1）平面平面，平面平面= ，所以 .由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，在中，由正弦定理可得：，即，平面，.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè) ，則， , 得，而，設(shè)平面的法向量為，由可得：，令，則，取平面的法向量，則，故二面