分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(同名840)課件

1、1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 問題1、用AZ或09給教室的座位編號有多少不同的號碼?分析: 給座位編號有2類方法,思考第一類方法, 用英文字母，有26種號碼; 第二類方法, 用阿拉伯數(shù)字，有10種號碼; 所以有26 + 10 = 36種不同號碼.問題、 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有4 班，汽車有2班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析: 從甲地到乙地有2類方法,第一類方法, 乘火車，有4種方法;第二類方法, 乘汽車，有2種方法;所以從甲地到乙地共有4 + 2 = 6種方法.你能說出這兩個問題的共同特征嗎?1、分類加法計數(shù)原理完

2、成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有 N=m+n種不同的方法注意：兩類中的方法不相同例1、在填寫高考志愿表時,一名高中畢業(yè)生了解到,A,B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè),具體如下:A大學生物學化學醫(yī)學物理學工程學B大學數(shù)學會計學信息技術學法學分析:兩大學只能選一所一專業(yè),且沒有共同的強項專業(yè)54+=9這名同學可能的專業(yè)選擇共有9種這名同學可能的專業(yè)選擇共有多少種? 完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法。那么完成這件事共有 種方法.

3、做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有種不同的方法N=m1+m2+mn 引申m1+m2+m3用前6個大寫英文字母和19個阿拉伯數(shù)字,以A1,A2,B1,B2的方式給教室的座位編號.總共能編出多少個不同的號碼?A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99種B1234567899種6 9 =54B1B2B3B4B5B6B7B8B9探究分析：你能說出這個問題的特征嗎?問題 無論第1步采用哪種方法，都不影響第2步方法的選取2、分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要兩個步驟,做第1

4、步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=mn種不同的方法.注意例2、設某班有男生30名,女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女各一名代表班級參加比賽,共有多少種不同的選法?分析：分兩步進行選取男女3024=720再根據(jù)分步乘法原理若再要從語,數(shù),英三科科任老師中選出一名代表參加比賽,那又共有多少種選法?老師3=2160 如果完成一件事需要三個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,做第3步有m3種不同的方法,那么完成這件事共有_種不同的方法.N=m1m2m3做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第

5、n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有_種不同的方法.N=m1m2mn 引申例3、書架第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架中取1本書,有多少種不同取法?有3類方法,根據(jù)分類加法計數(shù)原理N=4+3+2=9(2)從書架第1,2,3層各取1本書,有多少種不同取法?分3步完成,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理N=432=24解題關鍵：從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”.再根據(jù)其對應的計數(shù)原理計算.例4、 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置,問共有多少種不同的掛法?分兩步完成左邊右邊甲乙丙乙丙甲丙甲

6、乙32第一步第二步=6分析：根據(jù)分步計數(shù)原理，最多可以有13991053種不同的選法例5、給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首個字符要求用字母AG或UZ，后兩個要求用數(shù)字19，問最多可以給多少個程序命名？分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第一步，選首字符；第二步，選中間字符；第三步，選末位字符。解：首字符共有7+613種不同的選法，答：最多可以給1053個程序命名。中間字符和末位字符各有9種不同的選法例6、核糖核酸（RNA）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學成分，一個RNA分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學成分所占據(jù)，總共有個不同的堿基，分

7、別用A，C，G，U表示，在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關。假設有一類RNA分子由100個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？UUUAAACCCGGG解：100個堿基組成的長鏈共有100個位置，在每個位置中，從A、C、G、U中任選一個來填入，每個位置有4種填充方法。根據(jù)分步計數(shù)原理，共有分析:用100個位置表示由100個堿基組成的長鏈，每個位置都可以從A、C、G、U中任選一個來占據(jù)。種不同的RNA分子.第1位第2位第3位第100位 4種 4種 4種 4種 例7、電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最

8、容易控制的兩種狀態(tài)。因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的計數(shù)法，即二進制，為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由個二進制位構成，問：（1）一個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機漢字國標碼（GB碼）包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？第1位第2位第3位第8位2種2種2種2種解：（1）（2）由（1）可知，用一個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個， 所以要表示這些漢字，每個漢字至少要用2個字節(jié)表示。 我們就考慮用

9、2個字節(jié)能夠表示多少個字符。前一個字節(jié)有256種不同的表示方法，后一個字節(jié)也有256種表示方法。 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，兩個字節(jié)可以表示256256=65536個不同的字符， 這已經(jīng)大于漢字國標碼包含的漢字個數(shù)6763，例8、計算機編程人員在編寫好程序以后要對程序進行測試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)。一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成，它是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設計一個測試方式，以減少測試次數(shù)嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路

10、徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結束A開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結束A分析：整個模塊的任意一條路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結束。而第一步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第二步可由子模塊4或子模塊5來完成。因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理。開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結束A這樣，測試整個模塊的次數(shù)就

11、變?yōu)?172+6=178（次）2）在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊。這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常。總共需要的測試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172。再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為： 。如果每個子模塊都正常工作，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就正常。例9、隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有個不重復的英文字母和個不重復的阿拉伯數(shù)字

12、，并且個字母必須合成一組出現(xiàn)，個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照?同理,字母組合在右的牌照也有11232000個.于是,根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得共能給11232000+11232000=22464000（輛）汽車上牌照. 字母組合在左時，分6個步驟確定一個牌照的字母和數(shù)字：第一步,從26個字母中選一個,放在首位,有26 種選法；第二步,從剩下的25個字母中選1個,放在第2位,有25種選法第三步,從剩下的24個字母中選1個,放在第3位,有24種選法第四步,從10個數(shù)字中選1個,放在第4位,有10種選法；第五步,從剩下的9個數(shù)字中選1個,放在第5位,有9種選法；第六步,從

13、剩下的8個數(shù)字中選1個,放在第6位,有8種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有2625241098=11232000（個）.解： 將汽車牌照分為2類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右. 在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？ 分析1: 按個位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是: 1個,2個,3個,4個,5個,6個,7 個,8 個.根據(jù)加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (個).分析2: 按十位數(shù)字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是: 8個,7個,6個

14、,5個,4個,3個,2個,1個.根據(jù)加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (個)練習 一個三位密碼鎖,各位上數(shù)字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數(shù)字組成,可以設置多少種三位數(shù)的密碼(各位上的數(shù)字允許重復)?首位數(shù)字不為0的密碼數(shù)是多少?首位數(shù)字是0的密碼數(shù)又是多少? 分析: 按密碼位數(shù),從左到右依次設置第一位、第二位、第三位, 需分為三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根據(jù)乘法原理, 共可以設置 N = 101010 = 103 種三位數(shù)的密碼。練習 答:首位數(shù)字不為0的密碼數(shù)是 N =91010 = 9102 種, 首位數(shù)字是0的密碼數(shù)是 N = 11010 = 102 種。 由此可以看出, 首位數(shù)字不為0的密碼數(shù)與首位數(shù)字是0的密碼數(shù)之和等于密碼總數(shù)。問: 若設置四位、五位、六位、等密碼,密碼數(shù)分別有多少種？答:它們的密碼種數(shù)依次是 104 , 105, 106, 種。分類計數(shù)原理 分步計數(shù)原理完成一件事，共有n類辦法，關鍵詞“分類”區(qū)別1完成一件事，共分n個步驟，關鍵詞“分步”