幾何學(xué)的變革解析課件

1、9 幾何學(xué)的變革歐幾里得平行公設(shè)非歐幾何的誕生非歐幾何的發(fā)展與確認射影幾何的繁榮幾何學(xué)的統(tǒng)一9 幾何學(xué)的變革 歐氏幾何在公元前300年就已產(chǎn)生，其特征是建立了公理化方法：即從幾個概念和幾個命題，演繹出本學(xué)科其它所有概念和命題，從而構(gòu)成這一學(xué)科的全貌。運用這種方法的學(xué)科被認為是嚴謹?shù)暮统墒斓目茖W(xué)。 歐氏幾何的公理體系出現(xiàn)在歐幾里得的原本中，在其之后的2200后，希爾伯特在幾何基礎(chǔ)加以完善。其間，許多數(shù)學(xué)家作了許多公理體系的完備性工作。9 幾何學(xué)的變革 然而，令人放心不下的是該公理體系中的第五公設(shè)，即平行公設(shè)的問題。因為人們發(fā)現(xiàn)即使歐幾里得本人也盡量避免使用它。9 幾何學(xué)的變革9.1 歐幾里得平行

2、公設(shè)第五公設(shè)（即平行公設(shè)）尋求第五公設(shè)的證明非歐幾何的孕育9 幾何學(xué)的變革9.1 歐幾里得平行公設(shè)一 第五公設(shè)（即平行公設(shè)） 原本中五個公設(shè)：1 由任意一點到另外任意一點可以畫直線2 一條有限直線可以繼續(xù)延長3 以任意點為心及任意的距離可以畫圓4 凡直角都彼此相等5 同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于二直角的和，則這二直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交9.1 歐幾里得的平行公設(shè) 從古希臘時代開始，人們一直對第五公設(shè)有疑問，二千年來，數(shù)學(xué)家們一直在想消除這個疑問，其途徑有二：一是用更為自明的命題代替第五公設(shè)；二是證明它，使其成為一個定理。 兩千年來提出眾多的替代公設(shè)有：9

3、.1 歐幾里得的平行公設(shè)存在一對同平面的直線彼些處處等距離過己知直線外一點能且只能作一條直線與己知直線平行存在一對相似但不全等的三角形如果一個四邊形有一對對邊相等，并且它們與第三邊構(gòu)成的角均為直角，則余下的兩個角也是直角9.1 歐幾里得的平行公設(shè)如果四邊形有三個角是直角，則第四個角也是直角至少存在一個三角形，其三角和等于二直角過任何三個不在同一直線上的點可作一圓三角形的面積無上限 但所有這些替代公設(shè)，也不自明。9.1 歐幾里得的平行公設(shè)二 尋求第五公設(shè)的證明 多少世紀以來，試圖證明第五公設(shè)的人是如此之多，差不多夠一個軍團，但所有這些嘗試均告失敗。9.1 歐幾里得的平行公設(shè)三 非歐幾何的孕育 1

4、 薩凱里（Saccheri） 著歐幾里得無懈可擊（1733） 從著名的“薩凱里四邊形”出發(fā)證明平行公設(shè) 2 克呂格爾 1763年，克呂格爾指出薩凱里的工作并未導(dǎo)出矛盾，他懷疑能否證明平行公設(shè)9.1 歐幾里得的平行公設(shè) 3 蘭伯特 著平行線的理論（1766） 他認識到一組假設(shè)如果不引起矛盾的話，就提供了一種可能的幾何。 蘭伯特最先指出通過替換平行公設(shè)而展開新的無矛盾的幾何學(xué)的道路。 薩凱里、克呂格爾、蘭伯特是非歐幾何的先行者。平行公理的研究(公元前3世紀至1800年)A+B+C=2非歐幾何的孕育歐幾里得普萊菲爾(蘇格蘭, 1748-1819)勒讓德(法, 1752-1833) 若一直線落在兩直線

5、上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角, 那么把兩直線無限延長, 它們都在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交. 勒讓德(法, 1752-1833) 幾何學(xué)原理：這條關(guān)于三角形的三個內(nèi)角和的定理應(yīng)該認為是那些基本真理之一。這些真理是不容爭論的，它們是數(shù)學(xué)永恒真理的不朽的例子。(1832) 1733年薩凱里(意, 1667-1733)歐幾里得無懈可擊非歐幾何的孕育非歐幾何的孕育 1766年蘭伯特(法, 1728-1777)平行線理論不認為銳角假設(shè)矛盾, 認識到如果一組假設(shè)不引起矛盾, 就提供了一種可能的幾何 1763年，克呂格爾(德, 1739-1812)第一位對平行線公設(shè)是否能由其它公理加以證明表示懷疑的數(shù)

6、學(xué)家 1820年F鮑約(匈, 1775-1856): “我經(jīng)過了這個長夜的渺無希望的黑暗, 在這里埋沒了我一生的一切亮光和一切快樂,或許這個無底洞的黑暗將吞食掉一千個猶如燈塔般的牛頓, 而使大地永無光明?！?.2 非歐幾何的誕生高斯波約羅巴切夫斯基9.2 非歐幾何的誕生一 高斯（Gauss，17771855） 1799年，高斯意識到平行公設(shè)不能由其它歐氏公理推出來，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何學(xué)，稱之為反歐幾里得幾何學(xué)，但高斯生前未發(fā)表。9.2 非歐幾何的誕生二 波約（18021860） 1823年，波約開始理解平行公設(shè)問題的實質(zhì)，稱“我要白手起家創(chuàng)造一個奇怪的新世界

7、”。波約稱他的非歐幾何為“絕對幾何”。 著絕對空間的科學(xué)9.2 非歐幾何的誕生三 羅巴切夫斯基（17921856）1826 簡要論述平行線定理的一個嚴格證明1829 論幾何原理18351838 系列論文具有完備的平行線理論的新幾何學(xué)原理1840 平行理論的幾何研究9.2 非歐幾何的誕生 羅巴切夫斯基在否定第五公理的同時，假設(shè)其反面之一：“過已知直線外一點，可作多于一條的直線與已知直線平行”，得到了一系列定理，并且認為他得到了一門新的幾何學(xué)。 羅巴切夫斯基宣布自己建立了新的幾何學(xué)之后，遭到了許多數(shù)學(xué)大家的嘲笑、諷刺，德國詩人歌德也出來諷刺他。實際上，羅巴切夫斯基的理論得到世界的認可是在他去世幾十

8、年后的事了。()非歐幾何 1813年高斯(德, 1777-1855)：非歐幾里得幾何 1832年波約(匈, 1802-1860)絕對空間的科學(xué) 幾何學(xué)上的哥白尼 1826年羅巴切夫斯基(俄, 1792-1856)簡要論述平行線定理的一個嚴格證明羅巴切夫斯基(蘇聯(lián), 1951)非歐幾何羅巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大學(xué)教授、校長1815年著手研究平行線理論，試圖給出平行公設(shè)的證明1826年在物理數(shù)學(xué)系會議宣讀簡要論述平行線定理的一個嚴格證明1829年論文幾何學(xué)原理在喀山大學(xué)通報全文發(fā)表直至羅巴切夫斯基去世的30年內(nèi)，沒能贏得社會的承認和贊美鮑約(羅馬尼亞, 1960)非歐幾何鮑約

9、父子之墓9.3 非歐幾何的發(fā)展與確認黎曼幾何非歐幾何的相容性公理系統(tǒng)的相對相容性的證明非歐幾何的意義9.3 非歐幾何的發(fā)展與確認 非歐幾何從發(fā)現(xiàn)到獲得普遍接受經(jīng)歷了曲折的道路，要達到這一目標，需要確定非歐幾何自身的無矛盾性和現(xiàn)實意義。一 黎曼幾何 黎曼（Rieman，18261866）在1854年發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想，建立了現(xiàn)稱為“黎曼幾何”的一種更廣泛的幾何，歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼非歐幾何都只是其特例。9.3 非歐幾何的發(fā)展與確認 在羅氏幾何產(chǎn)生后的1854年，德國數(shù)學(xué)家黎曼把歐氏第五公設(shè)改為：“過已知直線外一點，沒有與其平行之直線”，得到的一種新的幾何學(xué)黎曼非歐幾何，為非歐幾何的

10、另一翼。9.3 非歐幾何的發(fā)展與確認在黎曼幾何中，最重要的一種對象是常曲率空間，對于三維空間，有下列情形：曲率為正常數(shù) 黎曼非歐幾何 橢圓幾何曲率為負常數(shù) 羅氏非歐幾何 雙曲幾何曲率恒為零 歐氏幾何內(nèi)蘊幾何，流形曲率1854年黎曼(德, 1826-1866)關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)非歐幾何非歐幾何 1846年進入哥廷根大學(xué)專修語言和神學(xué) 1847-1848年到柏林大學(xué), 進入數(shù)學(xué)領(lǐng)域 1849-1851年在哥廷根大學(xué), 取得博士學(xué)位, 學(xué)位論文“單復(fù)變函數(shù)一般理論基礎(chǔ)” 1854年講師職位講演: 關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè), 1857年副教授, 1859年教授 1862年得肺結(jié)核, 1866年在意大利逝世

11、1876年出版黎曼全集(發(fā)表論文18篇, 遺稿12篇) 偉大的分析學(xué)家：復(fù)變函數(shù)論、阿貝爾函數(shù)論、超幾何級數(shù)與常微分方程、解析數(shù)論、實分析、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)物理、物理學(xué)黎曼(德, 1826-1866) “ 黎曼是一個富有想象的天才, 他的想法即使沒有證明, 也鼓舞了整整一個世紀的數(shù)學(xué)家.”9.3 非歐幾何的發(fā)展與確認二 非歐幾何的相容性三 公理系統(tǒng)的相對相容性的證明模型與相容性 1868年貝爾特拉米(意, 1835-1899)非歐幾何曳物線偽球面 1871年克萊因(德, 1849-1925) 1882年龐加萊(法, 1854-1912)非歐幾何克萊因-龐加萊圓9.3 非歐幾何的發(fā)展與確認四 非歐幾

12、何的意義 1 解決了平行公理的獨立性問題。推動了一般公理體系的獨立性、相容性、完備性問題的研究，促進了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一更為深刻的數(shù)學(xué)分支的形成與發(fā)展。9.3 非歐幾何的發(fā)展與確認2 證明了對公理方法本身的研究能推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，理性思維和對嚴謹、邏輯和完美的追求，推動了科學(xué)，從而推動了社會的發(fā)展和進步。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，各分支紛紛建立了自己的公理體系，包括被公認為最困難的概率論也在20世紀30年代建立自己的公理體系。實際上公理化的研究又孕育了“元數(shù)學(xué)”的產(chǎn)生和發(fā)展。9.3 非歐幾何的發(fā)展與確認3 非歐幾何實際上預(yù)示了相對論的產(chǎn)生，就象微積分預(yù)示了人造衛(wèi)星一樣。非歐幾何與相對論和匯合是科學(xué)史上劃時代的事件。

13、人們都認為是愛因斯坦創(chuàng)立了相對論，但是，也許愛因斯坦更清楚，是他和一批數(shù)學(xué)家Poincare,Minkouski, Hilbert等共同的工作。出現(xiàn)動鐘延緩，動尺縮短，時空彎曲等現(xiàn)象。這些都是非歐幾何與相對論的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。9 幾何學(xué)的變革9.4 射影幾何的繁榮 蒙日(法國, 1953) 1803年卡爾諾(法, 1753-1823)的位置幾何學(xué)卡爾諾(法國, 1950) 1799年蒙日(法, 1746-1818)的畫法幾何學(xué)射影幾何 早期開拓者: 德沙格(法, 1591-1661), 帕斯卡(法, 1623-1662)綜合方法連續(xù)性原理對偶原理1822年龐斯列(法, 1788-1867)的論圖形的

14、射影性質(zhì)射影幾何代數(shù)方法默比烏斯(德, 1790-1868)1827年默比烏斯(德, 1790-1868)的重心計算1829年普呂克(德, 1801-1868)的三線坐標普呂克(德, 1801-1868)射影幾何射影幾何施陶特(德, 1798-1867) 1847年施陶特(德, 1798-1867)的位置幾何學(xué) 凱萊(英, 1821-1895)在射影幾何基礎(chǔ)上建立歐氏幾何和非歐幾何凱萊(英, 1821-1895)9 幾何學(xué)的變革9.5 幾何學(xué)的統(tǒng)一 愛爾朗根綱領(lǐng)（克萊因，1872年）： 所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問，或者說任何一種幾何只是研究與特定的變換群有關(guān)

15、的不變量。 克萊因以射影幾何為基礎(chǔ)、對幾何學(xué)做了分類。所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)科，或者說任何一種幾何學(xué)只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量。 1872年克萊因(德, 1849-1925)的愛爾朗根綱領(lǐng)統(tǒng)一的幾何學(xué)1865年進入波恩大學(xué)(建于1786年)學(xué)習(xí)生物 1866-1868年普呂克(德, 1801-1868)的博士 1869-1886年: 哥廷根大學(xué)、柏林大學(xué)、普法戰(zhàn)爭、埃爾朗根大學(xué)、慕尼黑工業(yè)大學(xué)、萊比錫大學(xué)、哥廷根大學(xué) 克萊因使哥廷根這座具有高斯、黎曼傳統(tǒng)的德國大學(xué)更富有科學(xué)魅力，吸引了一批有杰出才華的年青數(shù)學(xué)家，使之成為20世紀初世界數(shù)學(xué)的中心之一愛爾朗根綱領(lǐng)統(tǒng)一的幾何學(xué)克萊因：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給