微積分(上冊(cè))第一章課件

1、微 積 分（上冊(cè)）第一章 函數(shù)函數(shù)的概念第一節(jié)函數(shù)的幾種特性第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)第三節(jié)行車(chē)工作認(rèn)知第四節(jié)函數(shù)的概念第 一節(jié)一、集合、區(qū)間和鄰域集合1.集合概念是數(shù)學(xué)中的一個(gè)最基本的概念，一般可以把集合(簡(jiǎn)稱集)理解為具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.例如，某學(xué)校全體師生組成的一個(gè)集合；某學(xué)校某個(gè)班級(jí)的全體同學(xué)組成的一個(gè)集合；全體實(shí)數(shù)組成的一個(gè)集合；全體正整數(shù)組成的一個(gè)集合；等等.集合中的每個(gè)事物稱為集合的元素(簡(jiǎn)稱元).習(xí)慣上用大寫(xiě)字母A，B，C，表示集合，用小寫(xiě)字母a，b，c，表示集合的元素.如果元素a是集合A中的元素，記作aA(讀作a屬于A)；如果元素a不是集合A中的元素，記作aA(讀作a不

2、屬于A).一、集合、區(qū)間和鄰域如果一個(gè)集合只含有有限個(gè)元素，那么稱這個(gè)集合為有限集；不是有限集的集合稱為無(wú)限集.例如，全體英文字母組成的一個(gè)集合是有限集，全體整數(shù)組成的集合是無(wú)限集.給定一個(gè)集合，就是給出這個(gè)集合由哪些元素組成.給出集合的方法通常有兩種：列舉法和描述法.一、集合、區(qū)間和鄰域列舉法就是把集合中的所有元素都列舉出來(lái)寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi).例如，由1，2，3，4，5，6，7，8八個(gè)數(shù)組成的集合A可記作A=1，2，3，4，5，6，7，8.描述法就是把集合中所有元素的公共屬性描述出來(lái)，記作 A=x|x 具有性質(zhì)P.例如，A=x|0 x6表示滿足不等式0 x6的實(shí)數(shù).B=(x，y)|x2y24表示在

3、xOy平面上以原點(diǎn)O為中心，半徑為2的圓周及其內(nèi)部所有點(diǎn)所組成的集合.一、集合、區(qū)間和鄰域習(xí)慣上，全體實(shí)數(shù)組成的集合記作R，即R=x|x 為實(shí)數(shù)；全體有理數(shù)組成的集合記作Q，即Q=x|x 為有理數(shù)；全體整數(shù)組成的集合記作Z，即Z=x|x 為整數(shù)；全體自然數(shù)組成的集合記作N，即N=x|x 為自然數(shù).設(shè)A，B是兩個(gè)集合，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集，記作AB(讀作A包含于B)或BA(讀作B包含A).如果集合B與集合A互為子集，即AB且BA，則稱集合B與集合A相等，記作 A=B.一、集合、區(qū)間和鄰域例如，集合A=2，3，集合B=x|x2-5x6=0，則A=B.特別地

4、，不包含任何元素的集合稱為空集，記作，并規(guī)定空集是任何集合的子集.例如，x|x21=0 且xR是空集，因?yàn)闈M足條件x21=0的實(shí)數(shù)是不存在的.一、集合、區(qū)間和鄰域以后用到的集合主要指數(shù)集，即元素都是數(shù)的集合.如果沒(méi)有特別聲明，以后提到的數(shù)都是指實(shí)數(shù).注一、集合、區(qū)間和鄰域集合的基本運(yùn)算有以下幾種：并、交、差.設(shè)A，B是兩個(gè)集合，由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的并集(簡(jiǎn)稱并)，記作AB，即 AB=x|xA 或xB；由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的交集(簡(jiǎn)稱交)，記作AB，即AB=x|xA 且xB；一、集合、區(qū)間和鄰域由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合，

5、稱為A與B的差集(簡(jiǎn)稱差)，記作AB，即 AB=x|xA 且x B.特別地,若集合B包含于集合A(即BA),則稱AB為B關(guān)于A的余集,或稱為補(bǔ)集,記作 CAB.通常我們所討論的問(wèn)題是在一個(gè)大集合I中進(jìn)行的,所研究的其他集合A都是I的子集,此時(shí)稱IA為A的余集,記作 CIA或AC.例如，在實(shí)數(shù)集R中，集合A=x|-3x5的余集為 AC=x|x5.一、集合、區(qū)間和鄰域集合的并、交、差運(yùn)算滿足下面的基本法則.設(shè)A，B，C為三個(gè)任意集合，則下列法則成立：(1)交換律AB=BA，AB=BA;(2)結(jié)合律(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(3)分配律(AB)C=(AC)(BC),(AB)C=

6、(AC)(BC),(AB)C=(AC)(BC);(4)冪等律AA=A，AA=A;一、集合、區(qū)間和鄰域(5)吸收律A=A，A=,AB=B，AB=A，其中AB,A(AB)=A，A(AB)=A;(6)對(duì)偶律(AB)C=ACBC,(AB)C=ACBC.以上法則都可以利用集合的定義來(lái)驗(yàn)證.一、集合、區(qū)間和鄰域在許多問(wèn)題中還經(jīng)常用到乘積集合的概念.設(shè)A，B是任意兩個(gè)非空集合，在集合A中任意取一個(gè)元素x，在集合B中任意取一個(gè)元素y，把有序?qū)?x，y)作為新的元素，它們的全體組成的集合稱為集合A與集合B的直積，記作AB，即AB=(x，y)|xA ，yB.例如，設(shè)A=x|axb，B=y|cyd，則AB=(x，y

7、)|axb，cyd，它表示xOy平面上以(a，c)，(b，c)，(b，d)，(a，d)為頂點(diǎn)的矩形內(nèi)部的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，而RR=(x，y)|xR，yR就表示整個(gè)坐標(biāo)平面，記作R2.一、集合、區(qū)間和鄰域區(qū)間2.在很多情況下，集合可以用區(qū)間來(lái)表示.設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)，且ab，集合x(chóng)|axb稱為開(kāi)區(qū)間，記作(a，b)，即(a，b)x|axb，它在數(shù)軸上表示點(diǎn)a與點(diǎn)b之間的線段，但不包括端點(diǎn)a及端點(diǎn)b,如圖1-1所示.圖 1-1一、集合、區(qū)間和鄰域集合x(chóng)|axb稱為閉區(qū)間，記作a，b，即a，bx|axb，它在數(shù)軸上表示點(diǎn)a與點(diǎn)b之間的線段，包括兩個(gè)端點(diǎn),如圖1-2所示.圖 1-2一、集合、區(qū)間和鄰域還

8、有其他類(lèi)似的區(qū)間：集合x(chóng)|axb記作(a，b，稱為左開(kāi)右閉區(qū)間,如圖1-3所示.圖 1-3一、集合、區(qū)間和鄰域集合x(chóng)|axa，如圖1-5所示.圖 1-5一、集合、區(qū)間和鄰域a，)=x|xa，如圖1-6所示.圖 1-6一、集合、區(qū)間和鄰域(-，b)=x|x0，則稱數(shù)集x|x-a|或x|a-xa為點(diǎn)a的鄰域，記作 U(a，)，并稱點(diǎn)a為該鄰域的中心，為該鄰域的半徑，如圖1-9所示.圖 1-9一、集合、區(qū)間和鄰域因?yàn)閨x-a|表示點(diǎn)x與點(diǎn)a間的距離，所以U(a，)表示與點(diǎn)a距離小于的一切點(diǎn)x的全體.實(shí)際上，鄰域就表示以點(diǎn)a為中心的任何開(kāi)區(qū)間.點(diǎn)a的鄰域去掉中心點(diǎn)a后的集合，稱為點(diǎn)a的去心鄰域，記作

9、U(a，)，并且 U(a，)x|0|x-a|，其中，0|x-a|就表示xa.一、集合、區(qū)間和鄰域二、 函數(shù)的基本概念在對(duì)自然現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象的觀察與研究過(guò)程中，人們會(huì)碰到許多用來(lái)表示不同事物的量，通?？蓪⑺鼈兎譃閮深?lèi)：一類(lèi)是在某個(gè)問(wèn)題的研究過(guò)程中保持不變的量，稱之為常量；另一類(lèi)是在某個(gè)問(wèn)題的研究過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)變化，即可以取不同的值的量，稱之為變量.例如，學(xué)校的體育館的面積是保持不變的，是常量；而每天來(lái)體育館打球的人數(shù)是不同的，因而是變量.二、 函數(shù)的基本概念又如，將一密閉的容器中的氣體進(jìn)行加熱，在加熱過(guò)程中，容器中的氣體的體積、分子數(shù)保持不變，是常量；而氣體的溫度、容器內(nèi)的氣壓在不斷變化，是變量.

10、在研究實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，常常發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)變量同時(shí)變化，它們并不是孤立的，它們不僅是相互聯(lián)系的，而且還是遵循一定變化規(guī)律聯(lián)系的，下面先舉例說(shuō)明兩個(gè)變量的情形.二、 函數(shù)的基本概念【例1】二、 函數(shù)的基本概念【例2】二、 函數(shù)的基本概念【例3】二、 函數(shù)的基本概念上面三個(gè)例子的實(shí)際意義雖然不同，但卻有共同之處，每個(gè)例子所描述的變化過(guò)程都有兩個(gè)變量，當(dāng)其中一個(gè)變量在一定變化范圍內(nèi)取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，按照某一確定的法則，另一個(gè)變量有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng).兩個(gè)變量之間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的概念.二、 函數(shù)的基本概念定義1設(shè)D為一個(gè)給定的實(shí)數(shù)集，對(duì)于每個(gè)xD，按照某種對(duì)應(yīng)法則f，總存在唯一確定的實(shí)

11、數(shù)值y與之對(duì)應(yīng)，則稱f為定義在D上的一個(gè)函數(shù)，習(xí)慣上也稱y是x的函數(shù)，并記作 y=f(x)，xD，其中，x稱為自變量，y稱為因變量，實(shí)數(shù)集D稱為這個(gè)函數(shù)f的定義域.函數(shù)定義中，對(duì)于每個(gè)xD，按照某種對(duì)應(yīng)法則f，總存在唯一確定的實(shí)數(shù)值y與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)實(shí)數(shù)值y稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值，記作f(x)，即y=f(x).當(dāng)x遍取實(shí)數(shù)集D的每個(gè)數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的全體組成的數(shù)集 W=y|y=f(x)，xD稱為函數(shù)f的值域.二、 函數(shù)的基本概念值得注意的是記號(hào)f和f(x)的含義是有區(qū)別的，f表示自變量x和因變量y之間的對(duì)應(yīng)法則，而f(x)表示與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.如果x0D，則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0處有定義或

12、有意義；如果x0 D，則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0處無(wú)定義或無(wú)意義.當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)f的值為y0，記為y0=f(x0).如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間I上每一點(diǎn)都有定義，就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間I上有定義.二、 函數(shù)的基本概念如果y是x的函數(shù)，有時(shí)也可記為y=g(x)，y=F(x)，y=(x)或y=y(x)等.當(dāng)討論到幾個(gè)不同的函數(shù)時(shí)，為了區(qū)別起見(jiàn)，需要用不同的記號(hào)來(lái)表示它們.由于函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則被確定后，其值域就隨之而定，因此定義域和對(duì)應(yīng)法則就成了函數(shù)的兩個(gè)要素.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，則稱這兩個(gè)函數(shù)相同，否則就不同.二、 函數(shù)的基本概念【例4】二、 函數(shù)的基本概念通常情況下，求函數(shù)定義域時(shí)要注

13、意以下幾點(diǎn)：(1)分式中分母不能為零.(2)偶次根式中，被開(kāi)方式的值非負(fù).(3)對(duì)數(shù)式中的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1.二、 函數(shù)的基本概念【例5】二、 函數(shù)的基本概念【例6】圖 1-10二、 函數(shù)的基本概念若自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是唯一的，這種函數(shù)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù).例如，方程x2+y2=a2在閉區(qū)間a,a上確定了一個(gè)以x為自變量、y為因變量的函數(shù).對(duì)每一個(gè)x(a,a)，都有兩個(gè)y值(a2x2)與之對(duì)應(yīng)，因而y是多值函數(shù).二、 函數(shù)的基本概念若無(wú)特別聲明，函數(shù)均指單值函數(shù).注二、 函數(shù)的基本概念函數(shù)的常用表示法有以下三種：(1)表格法將自變量的值與對(duì)應(yīng)的

14、函數(shù)值列成表格的方法.(2)圖形法在坐標(biāo)系中用圖形來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法.(3)公式法(解析法)將自變量和因變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式(又稱為解析表達(dá)式)來(lái)表示的方法.二、 函數(shù)的基本概念【例7】絕對(duì)值函數(shù)y=x=x,x0 x,x0，其定義域D=(,+),值域Rf=0,+),它的圖形如圖1-11所示.圖 1-11二、 函數(shù)的基本概念【例8】符號(hào)函數(shù) 其定義域D=(,+),值域Rf=1,0,1.對(duì)任一實(shí)數(shù)x,總有x=sgnxx，它的圖形如圖1-12所示.圖 1-12二、 函數(shù)的基本概念有些函數(shù),對(duì)于自變量的不同取值范圍，有不同的對(duì)應(yīng)法則,這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，如例7和例8中的兩個(gè)函數(shù).二、 函數(shù)的

15、基本概念【例9】圖 1-13函數(shù)的幾種特性第 二 節(jié)一、 函數(shù)的單調(diào)性定義2設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID，如果對(duì)于任意x1，x2I，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有 f(x1)0，使得對(duì)于任意xD，恒有f(x)K，則稱函數(shù)f(x)在D上有界.如果這樣的K不存在，就稱函數(shù)f(x)在D上無(wú)界.換句話說(shuō)，如果對(duì)于任何正數(shù)K，總存在一個(gè)x1D，使得f(x1)K，則函數(shù)f(x)在D上無(wú)界.例13y=cos x在區(qū)間(-，)上就是有界函數(shù).因?yàn)閷?duì)于任意x(-，)，恒有cosx1.三、 函數(shù)的奇偶性定義4設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)于任意xD，恒有f(-x)=f(x)成立，則稱f(x)為偶函數(shù).如

16、果對(duì)于任意xD，恒有f(-x)=-f(x)成立，則稱f(x)為奇函數(shù).偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸是對(duì)稱的，如圖1-17所示；圖 1-17三、 函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)是對(duì)稱的，如圖1-18所示.圖 1-18三、 函數(shù)的奇偶性【例15】函數(shù)f(x)=cos x，g(x)=x2在(-，)都是偶函數(shù)，因?yàn)閏os(-x)=cosx，(-x)2=x2.三、 函數(shù)的奇偶性【例16】函數(shù)f(x)=sinx，g(x)=x3在(-，)都是奇函數(shù)，因?yàn)閟in(-x)=-sin x，(-x)3=-x3.不能說(shuō)函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)就一定是偶函數(shù),或者說(shuō)不是偶函數(shù)就一定是奇函數(shù).注三、 函數(shù)的奇偶性【例17】函數(shù)f

17、(x)=x1在區(qū)間(-，)上既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).因?yàn)閒(-1)=0，f(1)=2，既無(wú)f(-1)=-f(1)，也無(wú)f(-1)=f(1).【例18】函數(shù)f(x)=sin xcosx，g(x)=x2x3在區(qū)間(-，)上既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).因?yàn)閒(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcosx-f(x)=-sinx-cos x，g(-x)=(-x)2(-x)3=x2-x3-g(x)=-x2-x3.三、 函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性，除用定義判斷外，還可以利用奇函數(shù)和偶函數(shù)之間的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)判別.例如，兩個(gè)奇函數(shù)的代數(shù)和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的代數(shù)和仍是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的

18、乘積是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積或兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)等.注四、 函數(shù)的周期性定義5設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)正數(shù)T，使得對(duì)于任何xD，都有f(xT)=f(x)且(xT)D，則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T稱為函數(shù)f(x)的周期.通常情況下，我們說(shuō)的周期是指最小正周期，但并非每個(gè)周期函數(shù)都存在最小正周期.四、 函數(shù)的周期性【例21】四、 函數(shù)的周期性通常情況下，判斷一個(gè)函數(shù)是否是周期函數(shù)的步驟如下：(1)將函數(shù)分解成已知其周期的函數(shù)(比如三角函數(shù)等)的代數(shù)和，再求這些周期函數(shù)的周期的最小公倍數(shù).例如，函數(shù)y=2sin2x，因?yàn)?sin2x=1-cos2x，且cos 2x是以為

19、周期的函數(shù)，所以y=2sin2x是以為周期的函數(shù).(2)列出方程f(xT)-f(x)=0，以T為未知量解此方程.若解出的T是與x無(wú)關(guān)的正數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；反之，如果利用一些已知的運(yùn)算法則推出矛盾的結(jié)果，就可斷定函數(shù)是非周期函數(shù).四、 函數(shù)的周期性【例22】四、 函數(shù)的周期性反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)第 三 節(jié)一、 反函數(shù)在函數(shù)定義中，規(guī)定了對(duì)于每一個(gè)x，都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，這樣定義的函數(shù)又稱為單值函數(shù)；如果有兩個(gè)或更多的數(shù)值y與之對(duì)應(yīng)，就稱y是x的多值函數(shù).本書(shū)主要討論單值函數(shù).在函數(shù)中，自變量與因變量的地位是相對(duì)的，任意一個(gè)變量都可根據(jù)需要作為自變量.例如，在函數(shù)y=x5中，x是自變量，y是

20、因變量，根據(jù)這個(gè)式子，可以解出x=y-5，這里y是自變量，x是因變量.上面兩個(gè)式子反映了同一個(gè)過(guò)程中兩個(gè)變量之間地位的相對(duì)性，稱它們互為反函數(shù).下面給出反函數(shù)的具體定義：一、 反函數(shù)定義6設(shè)函數(shù)y=f(x)，其定義域?yàn)镈，值域?yàn)镸，如果對(duì)于任意yM，由函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)恰好唯一確定出一個(gè)xD與之對(duì)應(yīng)，那么認(rèn)為x是y的函數(shù)，記作x=g(y)，我們稱上述的y=f(x)與x=g(y)互為反函數(shù)，習(xí)慣上將x=g(y)記作x=f-1(y).習(xí)慣上常用x表示自變量，y表示因變量，故常把y=f(x)的反函數(shù)寫(xiě)作 y=f-1(x).由反函數(shù)的定義知，在定義區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)必有反函數(shù).一、 反函數(shù)【例24】

21、一、 反函數(shù)【例25】函數(shù)y=x3和函數(shù)y=x13的圖形如圖1-19所示.一般地，要求y=f(x)的反函數(shù)，只需先從y=f(x)中解出x的表達(dá)式，當(dāng)該表達(dá)式也是一個(gè)函數(shù)時(shí)，再將其中的字母x，y進(jìn)行交換即可.圖 1-19一、 反函數(shù)【例26】一、 反函數(shù)定理設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃.若f(x)在D上是單調(diào)增加或單調(diào)減少的，則在W上f(x)的反函數(shù)f-1(x)存在，且f-1(x)在W上也是單調(diào)增加或單調(diào)減少的.值得注意的是，由于對(duì)于y的某些值，滿足y=f(x)的x有時(shí)不止一個(gè)，所以并非任何函數(shù)在其定義域內(nèi)都存在反函數(shù).但是，當(dāng)我們對(duì)x的取值范圍加以限制時(shí)，也有可能存在反函數(shù).例如，函數(shù)y=x2在(-，)內(nèi)不存在反函數(shù)，但在(-，0)及0，)內(nèi)卻分別存在反函數(shù)y=-x，0 x及y=x，0 x0， 且a1)；(3)對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logax(a0， 且a1)；(4)三角函數(shù)：y=sin x，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=sec x，y=csc x等；(5)反三角函數(shù)：y=arcsinx，y