多元函數極限和連續(xù)課件課件

1、關于多元函數的極限與連續(xù)課件第一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第8章 多元函數微分法及其應用上冊已經討論了一元函數微積分.但在自然科學、工程技術和經濟生活的眾多領域中,往往涉及到多個因素之間關系的問題.這在數學上就表現為一個變量依賴于多個變量的情形,因而導出了多元函數的概念及其研究與應用.本章在一元函數微分學的基礎上,數的微分方法及其應用.討論多元函以二元函數為主,但所得到的概念、性質與結論都可以很自然地推廣到二元以上的多元函數.同時, 還須特別注意一些與一元函數微分學顯著不同的性質和特點.第二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月28.1 多元函數的極限與連續(xù)平面點集多元函數

2、的概念多元函數的極限多元函數的連續(xù)性小結 思考題 作業(yè) function of many variables第三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月3一、平面點集實數組(x, y)的全體,即建立了坐標系的平面稱為坐標面. xOy坐標面坐標平面上具有某種性質P的點的集合,稱為平面點集,記作二元有序第四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4鄰域 (Neighborhood) 設P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一個點,幾何表示Oxy. P0令有時簡記為(“開”意味著 將鄰域去掉中心,稱之為去心鄰域.它是以P0為中心、為半徑的開圓也稱為不包括邊界),注幾何表示一元函數中鄰域的概念

3、: 也可將以P0為中心的某個矩形內(不算周界)的全體點稱之為點P0鄰域.第五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月5 (1) 內點顯然, E的內點屬于E. (2) 外點如果存在點P的某個鄰域則稱P為E的外點.(3) 邊界點如點P的任一鄰域內既有屬于E的點,也有不屬于E的點,稱P為E的邊界點.任意一點與任意一點集之間必有以下四種關系中的一種:設E為一平面點集,若存在稱P為E的內點.E的邊界點的全體稱為E的邊界,記作使U(P)E = ,下面利用鄰域來描述點和點集之間的關系.第六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月6(4) 聚點如果對于任意給定的P的去心鄰域內總有E中的點則稱P是E的聚點.

4、(P本身可屬于E, 也可不屬于E ),聚點從直觀上講: 這點附近有無窮多個E的點.例如, 若則P為E的邊界點,E的邊界則P為E的內點;也是E的聚點;若或也是E的聚點;或設點集第七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月7 開集若點集E的任意一點都是E的內點,例稱E為E1為開集.下面再定義一些重要 閉集若點集E的邊界稱E為閉集.例E2為閉集.例E3既非開集,也非閉集.根據點集所屬點的特征,的平面點集的概念. 開集.第八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月8區(qū)域(或開區(qū)域)連通的開集稱為連通集.如果點集E內任何兩點,都可用折線連且該折線上的點都屬于E,稱E是區(qū)域或開區(qū)域.連通集結起來,閉區(qū)

5、域開區(qū)域連同其邊界一起所構成的點集,稱為閉區(qū)域.都是閉區(qū)域.如第九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月9是區(qū)域嗎?不是區(qū)域.因為不連通.連結兩點的任何折線都與相交點不屬于E.y軸相交,練習連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.是區(qū)域.第十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月10有界集否則稱為總可以被包圍在一個以原點為中心、大的圓內的區(qū)域,稱此區(qū)域為半徑適當 (可伸展到無限遠處的區(qū)域 ).有界集.集例無界是有界閉區(qū)域;是無界開區(qū)域;是無界閉區(qū)域.第十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月11OxyOxyOxy Oxy有界開區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界閉區(qū)域無界閉區(qū)域第十二張，PPT共五十一頁

6、，創(chuàng)作于2022年6月12二、多元函數的概念1. 二元函數的定義例有如下的關系為正的常數).在西方經濟學中稱此函數關系為 Cobb-Douglas在生產中, 產量Y與投入資金K和勞動力L 之間, 生產函數.當投入資金K和勞動力L的值分別給定時, 產量Y就有一個確定的值與它們對應.上述關系式,按照第十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月13例它們之間具有如下的關系設R是電阻R1, R2并聯(lián)后的總電阻. 由電學當電阻R1, R2取定后, 知識知道, R的值就唯一確定了.第十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月14點集D稱為該函數的定義8.1稱映射為定義在D上的二元(點)函數,設D是

7、R2的一個非空子集,記為稱x, y為數集稱z為自變量,因變量.定義域,的值域,稱為該函數記為或第十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月15二元及二元以上的函數統(tǒng)稱為多元函數定義域:定義域為符合實際意義的自變量取值的全體.記為f (x0, y0)函數 z = f (x, y) 在點P0(x0, y0)處的函數值或f (P0).類似,可定義n元函數.多元函數.實際問題中的函數:的自變量取值的全體.純數學問題的函數:定義域為使運算有意義多元函數的自然定義域.第十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月16例1 求下面函數的定義域解Oxy無界閉區(qū)域即定義域為第十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作

8、于2022年6月17解Oxy定義域是有界半開半閉區(qū)域練習第十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月182. 二元函數的幾何意義 研究單值函數二元函數的圖形通常是一張曲面.第十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月19如,由空間解析幾何知,函數的圖形是以原點為中心, R為半徑的上它在xOy平面上的投影是圓域:D就是函數的定義域.半球面.第二十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月20 的圖形是雙曲拋物面(馬鞍面).又如,它在xOy平面上的投影是全平面.第二十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月21從一元函數到二元函數,在內容和方法上都會出現一些實質性的差別,而多元函數之間

9、差異不大.因此研究多元函數時,將以二元函數為主.第二十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月22三、多元函數的極限 討論二元函數z = f (x, y), 怎樣描述呢? Oxy (1) P (x, y)趨向于P0(x0, y0)的回憶: 一元函數的極限 路徑又是多種多樣的.注方向有任意Oxy多個,恒有第二十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月23(2) 變點P (x, y) 這樣, 可以在一元函數的基礎上得出二元函數極限的一般定義.總可以用來表示極限過程:與定點P0(x0, y0)之間的距離不論P(x, y)趨向于P0(x0, y0)的過程多復雜,記為第二十四張，PPT共五十一頁

10、，創(chuàng)作于2022年6月24記作定義8.2有成立.的極限. 設二元函數 f (P ) = f (x, y)的P0(x0, y0)是D的聚點.定義域為D, 如果存在常數 A,也記作如果對于任意給定的P的去心鄰域內總有E中的點(P本身可屬于E, 也可不屬于E ), 則稱P是E的聚點.恒有第二十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月25 說明(1) 定義中(2) 二元函數的極限也叫(double limit)的方式是任意的;二重極限. 關于二元函數的極限概念可相應地推廣到n元函數上去.第二十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月26 相同點 多元函數的極限與一元函數的極限的一元函數在某點的

11、極限存在的?定義相同.差異數必需是點 P 在定義域內以任何方式和途徑而多元函趨于P0時,相同點和差異是什么充要條件是左右極限都存在且相等; f (P)都有極限,且相等.第二十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月27多元函數的極限的基本問題有三類:(1) 研究二元函數極限的存在性.常研究若其依賴于k ,則欲證明極限存在,*特別對于*不存在.常用定義或夾逼定理.欲證明極限不存在(通過觀察、猜測).常選擇兩條不同路徑,求出不同的極限值. 找一條特殊路徑, 使函數沿此路徑的極限不存在.第二十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月28多元函數的極限的基本問題有三類:(2) 求極限值.常按一

12、元函數極限的求法求之.(3) 研究二重極限與累次極限(二次極限)間的(洛必達法則除外)關系.如極限的保號性、無窮小與有界量的乘積仍極限的四則運算、夾逼定理、等價無窮小替換乘除因子定理.兩個重要是無窮小、極限、第二十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月29則當例2證取有證畢.用定義.用P與O分別表示點(x, y)與(0,0),定義8.2有因為第三十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月30則當例3證取有證畢.用P與O分別表示點(x, y)與(0,0),因為用定義.定義8.2有第三十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月31例4 求極限 解其中用夾逼定理.所以第三十二張，PPT共

13、五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月32解故原式 =練習第三十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月33設函數證明:當P(x, y)沿x軸的方向當P(x, y)沿y軸的方向也有證函數的極限不存在.無限接近點(0,0)時,同樣,無限接近點(0,0)時,例4第三十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月34函數的極限存在且相等.當P (x, y) 沿直線 y = kx 的方向其值隨 k 的不同而變化.所以, 極限不存在.說明函數取上面兩個無限接近于點(0,0)時,另一方面,無限接近點(0,0)時,設函數證明:函數的極限不存在.特殊方向第三十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月35極限

14、是否存在?練習取解當P(x, y)沿x軸的方向無限接近點(0,0)時, 當P(x, y)沿y軸的方向無限接近點(0,0)時,錯!所以第三十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月36 極限不存在.取極限 是否存在?此時可斷言 f (x, y)在點P0(x0, y0)找兩種不同趨近方式,但兩者不相等,處極限不存在.當P(x, y)沿y軸的方向無限接近點(0,0)時,思考:還有別的方法?第三十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月37求極限 解將分母有理化, 得 練習第三十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月38求答: 0答:不存在.答:不存在.二次極限都不存在時, 注練習存在.

15、二次極限與二重極限有本質的區(qū)別,但二重極限也可能二次極限與二重極限是兩個不同的概念.第三十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月39四、多元函數的連續(xù)性 設二元函數 f (P ) = f (x, y)的定義域為D, 則稱函數f (x, y)在點P0(x0, y0)連續(xù).定義8.3如果如果函數 f (x, y)在D的每一點處都連續(xù),連續(xù)函數.P0 (x0, y0)是D的聚點, 例如, 函數 在(x, y)平面上處處連續(xù).如果對于任意給定的P的去心鄰域內總有E中的點(P本身可屬于E, 也可不屬于E ), 則稱P是E的聚點.則稱函數 f (x, y)在D上連續(xù),或者稱函數 f (x, y)是D

16、上的第四十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月40例 5 證令 證明: f ( x, y)在點(0,0)連續(xù).顯然有于是 所以f ( x, y)在點(0,0)連續(xù).第四十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月41設函數 f (x, y)的定義域為D, 則稱點P0(x0, y0)為函數f (x, y)的間斷點.定義8.4是D的聚點, P0 (x0, y0)如果函數 f (x, y)在點P0 (x0, y0)不連續(xù), 的間斷線.(0,0)是函數 的(0,0)點是該函數的間斷點. 函數函數的極限不存在,前面已證)例如,的間斷點;是函數例如, 第四十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年

17、6月42在空間直角坐標系下,平面區(qū)域E上的二元連續(xù)函數 z = f (x, y)的圖形是在E上的一張“無孔無縫”的連續(xù)曲面.(分母不為零)及復合仍是連續(xù)的.同一元函數一樣,多元函數的和、差、積、商每個自變量的基本式子表達的函數稱為初等函數經有限次四則運算和有限次復合,由一個指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域.一切多元初等函數在其定義區(qū)域內是結論連續(xù)的.多元初等函數.第四十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月43例6 求極限 解是初等函數,而(1,0)在其定義域內,故 f (x, y)在(1,0)點處連續(xù),所以由多元初等函數的連續(xù)性,代入法如果要求它在點P0 處的極限, 而該點又在此函數的定

18、義區(qū)域內, 則極限值就是函數在該點的函數值, 即第四十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月44想一想 如何證明 f (x, y)在? 證xOy面上處處連續(xù) ?是初等函數,f (x, y)處處連續(xù).下面證明也連續(xù).第四十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月45又于是即證明了f (x, y)在 由于xOy面上處處連續(xù).證明 f ( x, y)在xOy面上處處連續(xù)?從而 f (x, y)也連續(xù),夾逼準則第四十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月46有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數的性質:最大值和最小值. 性質8.1(有界性與最大值最小值存在性)性質8.2(介值存在性)在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數必有界,且有在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數必能取到介于最