三角函數的概念課件

1、5.2.1三角函數的概念三角函數一二三一、三角函數的定義1.在直角坐標系中,稱以原點O為圓心,以單位長度為半徑的圓為單位圓.如圖,如果一個銳角的終邊與單位圓的交點是P(x,y),根據初中所學在直角三角形中正弦、余弦、正切的定義,你能否用點P的坐標表示sin ,cos ,tan ?這一結論能否推廣到是任意角時的情形呢?一二三提示:sin =y,cos =x,tan = .這一結論可以推廣到是任意角. 一二三2.填空如圖,是任意角,以的頂點O為坐標原點,以的始邊為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系.設P(x,y)是的終邊與單位圓的交點.(1)把點P的縱坐標y叫做的正弦函數,記作sin ,即y=sin

2、 ;(2)把點P的橫坐標x叫做的余弦函數,記作cos ,即x=cos ;(3)把點P的縱坐標與橫坐標的比值 叫做的正切,記作tan ,即 =tan (x0).正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數,我們將它們統(tǒng)稱為三角函數.3.填空一二三答案:B (2)如果在角的終邊上有一點M(3,4),那么如何求角的三個三角函數值?一二三5.如果角的終邊落在y軸上,這時其終邊與單位圓的交點坐標是什么?sin ,cos ,tan 的值是否還存在?提示:終邊與單位圓的交點坐標是(0,1)或(0,-1),這時tan 的值不存在,因為分母不能為零,但sin ,cos 的值仍然

3、存在.6.填空三角函數的定義域如下表所示.一二三二、三角函數值的符號1.根據三角函數的定義,各個三角函數值是用單位圓上點的坐標表示的,當角在不同象限時,其與單位圓的交點坐標的符號就不同,因此其各個三角函數值的正負就不同,你能推導出sin ,cos ,tan 在不同象限內的符號嗎?提示:當在第一象限時,sin 0,cos 0,tan 0;當在第二象限時,sin 0,cos 0,tan 0;當在第三象限時,sin 0,cos 0;當在第四象限時,sin 0,tan 0.2.sin ,cos ,tan 在各個象限的符號如下:記憶口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.一二三3.做一做判斷下列各三角

4、函數值的符號:一二三三、誘導公式一1.30,390,-330三個角的終邊有什么關系?它們與單位圓的交點坐標相同嗎?這三個角的正弦值、余弦值、正切值相等嗎?提示:終邊相同,與單位圓的交點坐標相同,三個角的正弦值、余弦值、正切值相等.2.填空誘導公式一(1)語言表示:終邊相同的角的同一三角函數的值相等.一二三探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用三角函數的定義求三角函數值例1求解下列各題:(3)已知角的始邊與x軸的非負半軸重合,終邊在射線4x-3y=0(x0)上,則cos -sin =.分析:(1)先求出x的值,再計算;(2)利用三角函數的定義的推廣求解;(3)先在終邊上取點,再利用定義求解.探究

5、一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 利用三角函數的定義求一個角的三角函數值有以下幾種情況:(1)若已知角,則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點坐標,即可求出各三角函數值.(4)若已知角終邊上點的坐標含參數,則需進行分類討論.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練判斷三角函數值的符號A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)判斷下列各式的符號:分析:(1)由已知條件確定出sin ,cos 的符號即可確定角的象限;(2)先判斷每個因式的符號,再確定積的符號.探究一探究二探究三思

6、維辨析隨堂演練(1)解析:由sin tan 0,cos 2300.于是sin 105cos 2300,tan 0,則實數a的取值范圍是()A.(-2,3B.(-2,3)C.-2,3)D.-2,3解析:由cos 0,sin 0可知,角的終邊在第二象限或y軸的正半軸上,所以有答案:A探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練誘導公式一的應用例3求下列各式的值:(1)a2sin(-1 350)+b2tan 405-(a-b)2tan 765-2abcos(-1 080);分析:將角轉化為k360+(kZ)或2k+(kZ)的形式,利用公式一求值,注意熟記特殊角的三角函數值.解:(1)原式=a2sin(-436

7、0+90)+b2tan(360+45)-(a-b)2tan(2360+45)-2abcos(-3360)=a2sin 90+b2tan 45-(a-b)2tan 45-2abcos 0=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 誘導公式一的應用策略:(1)誘導公式一可以統(tǒng)一寫成f(k360+)=f()或f(k2+)=f()(kZ)的形式,它的實質是終邊相同的角的同一三角函數值相等;(2)利用它可把任意角的三角函數值轉化為02角的三角函數值,即可把負角的三角函數轉化為0到2間角的三角函數,亦可把大于2的角的三角函數轉化為0到2間角的三角函數,即把角實現大化

8、小,負化正的轉化.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練忽視對參數的分類討論致誤典例 角的終邊過點P(-3a,4a),a0,則cos =.錯解錯在什么地方?你能發(fā)現嗎?怎樣避免這類錯誤呢?提示:錯解中,誤以為a0,沒有對a的正負進行分類討論,導致r求錯,從而結果錯誤.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練防范措施 在利用三角函數的定義解決問題時,如果終邊上一點的坐標中含有參數,那么要注意對其進行分類討論,以免丟解.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練已知角的終邊在直線y=x上,則sin =_.解析:易知角的終邊在第一象限或第三象限,當角的終邊在第一象限時,在角的終邊上取一點P(1,1),探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:D 探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案: