平面高階單元PPT

1、3.1 四結(jié)點(diǎn)矩形單元(1) 位移模式選擇：兩個，每個四項(xiàng)，上述的階數(shù)為二次型，比三角形單元高，故可以更好地反映物體的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)，得到更高的精度。它反映了單元的剛體位移和常應(yīng)變，在單元的邊界上位移是按線性分布的，因此，相鄰單元在公共邊上的位移是連續(xù)的。這樣，位移模式滿足了解答收斂性的充分必要條件。第三章 平面高階單元(2) 形函數(shù)計算 在式（3-1）中代入結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)后，可解出待定系數(shù)。將這些系數(shù)再代入式（3-1），可得形函數(shù)：(3) 單元應(yīng)變B是、的函數(shù)，即是x,y的函數(shù)。因此單元中的應(yīng)變不再是常數(shù)。(4) 單元應(yīng)力：(5) 單元剛度矩陣 把B、D代入上式，整理后可得：(6)等效結(jié)

2、點(diǎn)荷載單元的體積力和表面力引起的結(jié)點(diǎn)力仍可用式（1-36）和（1-37）進(jìn)行計算。由于位移分量在x為常數(shù)及y為常數(shù)的直線上是線性變化的，因此，載荷向結(jié)點(diǎn)的分配也符合靜力等效的原則。 (7) 整體平衡方程根據(jù)各單元的剛度矩陣k、等效結(jié)點(diǎn)力列陣，按對號入座的方式疊加組裝整體剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)荷載列陣，從而得到整體平衡方程： 引入位移約束條件，解上述線性方程組可得結(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而可求各單元應(yīng)力。四結(jié)點(diǎn)矩陣單元采用較高階的位移模式，具有比三結(jié)點(diǎn)三角形單元較高的計算精度。但矩形單元也有缺點(diǎn)，一是不能適應(yīng)斜線及曲線邊界，二是不便于采用大小不同的單元。3.2 六結(jié)點(diǎn)三角形單元 1、位移模式在三角形單元i、j、m的

3、各邊中點(diǎn)上，各增設(shè)一個結(jié)點(diǎn)，使每個單元具有6個結(jié)點(diǎn)，則得到圖示的六結(jié)點(diǎn)三角形單元。這種單元具有12個自由度，可以采用完全二次多項(xiàng)式的位移模式：收斂條件：所取位移模式反映了單元的剛體位移和常應(yīng)變。另外，在單元邊界上位移分量是按拋物線變化的，而每條公共邊界上有3個公共結(jié)點(diǎn)，正好可以保證相鄰兩單元位移的連續(xù)性。因此，上述位移模式滿足收斂的完備協(xié)調(diào)性條件。根據(jù)假定的位移模式，按照前面的方法和過程，可以確定形函數(shù)N、應(yīng)變矩陣B、應(yīng)力矩陣S、單元剛度矩陣k、等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣f，然后組裝總剛和荷載列陣。但是，過程非常復(fù)雜。采用采用面積坐標(biāo)可以大大簡化計算。 2、面積坐標(biāo)三角形單元ijm中，任一點(diǎn)P（x,y）

4、的位置，可以用如下的三個比值來確定：（1）面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系 三角形Pjm的面積為 面積坐標(biāo)為 將上式中的3個式子分別乘以xi、xj、xm 并利用ai、bi、ci得 同理 （2）面積坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)公式根據(jù)面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有（3）面積坐標(biāo)的積分公式在三角形單元上進(jìn)行積分時，有在三角形某一邊（設(shè)邊ij，邊長l 為）上進(jìn)行積分時，有3. 六結(jié)點(diǎn)三角形單元計算公式對于六結(jié)點(diǎn)三角形單元，形函數(shù)可用面積坐標(biāo)表示為可以利用形函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)式（3-29）的正確性 。（在i點(diǎn)等于1，在其他結(jié)點(diǎn)等于0 ，見下）形函數(shù)檢驗(yàn) 單元位移、應(yīng)變單元應(yīng)力、單元剛度、等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載：由于位移模式是非線性的，因此體積力和表面力引起的結(jié)點(diǎn)力向量不能采用靜力等效原理進(jìn)行分配，而應(yīng)采用相應(yīng)公式進(jìn)行計算。 單元體積力引起的結(jié)點(diǎn)力： 單元重力引起的等效結(jié)點(diǎn)力：它表示各邊中點(diǎn)承擔(dān)單元重力的1/3。單元表面力引起的結(jié)點(diǎn)力 設(shè)在ij邊上受有x方向的均勻分布力ps，則 它表示邊中點(diǎn)分擔(dān)4/6，兩角點(diǎn)各承擔(dān)載荷的1/6。它表示邊中點(diǎn)承擔(dān)2/3，載荷集度大的角結(jié)點(diǎn)承擔(dān)1/3。六結(jié)點(diǎn)三角形單元中的應(yīng)變、應(yīng)力不