平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答PPT

1、平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答要點(diǎn) 用逆解法、半逆解法求解平面彈性力學(xué)問(wèn)題。彈 性 力 學(xué)3-1 多項(xiàng)式解答3-2 位移分量的求出3-3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷3-4 楔形體受重力和液體壓力3-5 級(jí)數(shù)式解答3-6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷主 要 內(nèi) 容彈 性 力 學(xué)3-1 多項(xiàng)式解答適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)(x,y) ，能解決什么樣的力學(xué)問(wèn)題。逆解法其中： a、b、c 為待定系數(shù)。檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程：顯然(x,y) 滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）1. 一次多項(xiàng)式（2）（3）對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：若體力：X = Y =0，則有：彈 性 力

2、 學(xué)結(jié)論1：（1）（2）一次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；在該函數(shù)(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。2. 二次多項(xiàng)式（1）其中： a、b、c 為待定系數(shù)。(假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0)檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù) )（3）由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：xy2c2c2a2a結(jié)論2：二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。xy彈 性 力 學(xué)xy試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：xy3. 三次多項(xiàng)式（1）其中: a、b、c 、d 為待定系數(shù)。檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù) )(假定：X =Y = 0

3、)（3）由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：結(jié)論3：三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于線性應(yīng)力分布。彈 性 力 學(xué)討論：可算得：xy1ll圖示梁對(duì)應(yīng)的邊界條件：MM可見(jiàn)： 對(duì)應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問(wèn)題應(yīng)力分布。常數(shù) d 與彎矩 M 的關(guān)系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見(jiàn)：此結(jié)果與材力中結(jié)果同，說(shuō)明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。彈 性 力 學(xué)xy1llMM說(shuō)明：(1)組成梁端力偶 M 的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。(3)當(dāng) l 遠(yuǎn)大于 h 時(shí)，誤差較??；反之誤差較大。4. 四次多項(xiàng)式（

4、1）檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程（2）代入：得彈 性 力 學(xué)可見(jiàn)，對(duì)于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：（3）應(yīng)力分量： 應(yīng)力分量為 x、y 的二次函數(shù)。（4）特例：（須滿足：a + e =0）彈 性 力 學(xué)總結(jié)：（多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù) 的性質(zhì)） （1） 多項(xiàng)式次數(shù) n 4 時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足 。多項(xiàng)式次數(shù) n 4 時(shí)，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足 。多項(xiàng)式次數(shù) n 越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2） 一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。二次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式

5、，對(duì)應(yīng)于線性分布應(yīng)力。（3） （4） 用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)(x,y) 的方法 逆解法（只能解決簡(jiǎn)單直線應(yīng)力邊界問(wèn)題）。按應(yīng)力求解平面問(wèn)題，其基本未知量為： ，本節(jié)說(shuō)明如何由 求出形變分量、位移分量？問(wèn)題：彈 性 力 學(xué)3-2 位移分量的求出以純彎曲梁為例，說(shuō)明如何由 求出形變分量、位移分量？xyl1hMM1. 形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：平面應(yīng)力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)彈 性 力 學(xué)（2）位移分量(c)將式（c）前兩式積分，得：(d)將式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：式中：為待定函數(shù)。整

6、理得：（僅為 x 的函數(shù)）（僅為 y 的函數(shù)）要使上式成立，須有(e)式中：為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f)彈 性 力 學(xué)（1）(f)討論：式中：u0、v0、 由位移邊界條件確定。當(dāng) x = x0 =常數(shù)（2）位移分量xyl1hMM u 關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。說(shuō)明： 同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面 材力中“平面保持平面”的假設(shè)成立。彈 性 力 學(xué)（2）將下式中的第二式對(duì) x 求二階導(dǎo)數(shù)：說(shuō)明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即 材料力學(xué)中撓曲線微分方程彈 性 力 學(xué)2. 位移邊界條件的利用（1）兩端簡(jiǎn)支(f)其邊界條件：將其代入(f)式

7、，有將其代回(f)式，有(3-3)梁的撓曲線方程： 與材力中結(jié)果相同彈 性 力 學(xué)（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無(wú)法滿足。邊界條件改寫(xiě)為：（中點(diǎn)不動(dòng)）（軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)）代入式（f），有可求得：彈 性 力 學(xué)(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學(xué)中結(jié)果相同說(shuō)明：（1）求位移的過(guò)程：（a）將應(yīng)力分量代入物理方程（b）再將應(yīng)變分量代入幾何方程（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。彈 性 力 學(xué)（2）若為平面應(yīng)變問(wèn)題，則將材料常數(shù)E、作相應(yīng)替換。（3）若取固定端邊界條件為：h/2h/2（中點(diǎn)不動(dòng)）（中點(diǎn)處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）得到：求得：此結(jié)果與前面情形相同。（為什

8、么？）彈 性 力 學(xué)（1）(2-27)（2）然后將 代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓 滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問(wèn)題）。按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的基本步驟：按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的方法：逆解法（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出 （具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來(lái)考察這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問(wèn)題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求解什么問(wèn)題。彈 性 力 學(xué)（1）根據(jù)問(wèn)題

9、的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式 ；（2）根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及 ，求出(x,y) 的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出 并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）代入物理方程，求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達(dá)式；由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。彈 性 力 學(xué)3-3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷要點(diǎn) 用半逆解法求解梁、長(zhǎng)板類平面問(wèn)題。xyllqlql1yzh/2h/2q1. 應(yīng)力函數(shù)的確定(1)分析： 主要由彎矩引起

10、； 主要由剪力引起；由 q 引起（擠壓應(yīng)力）。又 q =常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱，不隨 x 變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù) 的形式：積分得：(a)(b) 任意的待定函數(shù)彈 性 力 學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b) 任意的待定函數(shù)(3)由 確定：代入相容方程：彈 性 力 學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點(diǎn)：關(guān)于 x 的二次方程，且要求 l x l 內(nèi)方程均成立。由“高等代數(shù)”理論，須有x 的一、二次的系數(shù)、自由項(xiàng)同時(shí)為零。即：對(duì)前兩個(gè)方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項(xiàng)對(duì)第三個(gè)方程得：積分得：(d)彈 性 力 學(xué)(c)(d)xyllql

11、ql1yzh/2h/2q(a)(b)將(c) (d) 代入 (b) ，有(e)此處略去了f2(y)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)式中含有9個(gè)待定常數(shù)。彈 性 力 學(xué)(e)2. 應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)3. 對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用彈 性 力 學(xué)(f)(g)(h)3. 對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用（1）對(duì)稱條件的應(yīng)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由 q 對(duì)稱、幾何對(duì)稱： x 的偶函數(shù) x 的奇函數(shù)由此得：要使上式對(duì)任意的 y 成立，須有：彈 性 力 學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q（2）邊界條件的應(yīng)用：(a) 上下邊界（主要邊界）：由此解得：代入應(yīng)力公式彈 性 力 學(xué)xyllqlql1yz

12、h/2h/2q( i )( j )( k )(b) 左右邊界（次要邊界）：（由于對(duì)稱，只考慮右邊界即可。） 難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：軸力 N = 0；彎矩 M = 0；剪力 Q = ql；彈 性 力 學(xué)( i )( j )( k )可見(jiàn)，這一條件自動(dòng)滿足。彈 性 力 學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的應(yīng)力分布：三次拋物線4. 與材料力學(xué)結(jié)果比較彈 性 力 學(xué)xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4. 與材料力學(xué)結(jié)果比較材力中幾個(gè)參數(shù)：截面寬：b=1 ,截面慣矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式 ( p ) ，有（3-6）彈 性 力 學(xué)xyllqlql1yz

13、h/2h/2q（3-6）比較，得：（1）第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng) h / l1，該項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng) h / l較大時(shí)，須修正。（2）為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：說(shuō)明式（3-6）在兩端不適用。彈 性 力 學(xué)解題步驟小結(jié)：（1）（2）（3）根據(jù)問(wèn)題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)（面力分布規(guī)律、對(duì)稱性等），估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量（ ）的變化形式。由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力函數(shù) 的具體形式（具有待定函數(shù)）。（4）（5）將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù) 代入相容方程： 確定 中的待定

14、函數(shù)形式。由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力分量 。由邊界條件確定 中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長(zhǎng)板類彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本步驟：彈 性 力 學(xué)應(yīng)力函數(shù)法求解平面問(wèn)題的基本步驟：（1）(2-27)（2）然后將 代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓 滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問(wèn)題）。求解方法：逆解法（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出 （具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來(lái)

15、考察這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問(wèn)題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求解什么問(wèn)題。彈 性 力 學(xué) 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式 ；（2）根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及 ，求出(x,y) 的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出 并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）代入物理方程，求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達(dá)式；由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。彈 性 力 學(xué)1. 應(yīng)力函數(shù)的

16、確定(1)分析： 主要由彎矩引起； 主要由剪力引起；由 q 引起（擠壓應(yīng)力）。又 q =常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱，不隨 x 變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù) 的形式：積分得：(a)(b) 任意的待定函數(shù)簡(jiǎn)支梁受均布載荷xyllqlql1yzh/2h/2q彈 性 力 學(xué)(e)xyllqlql1yzh/2h/2q彈 性 力 學(xué)2. 應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)3. 由邊界條件確定待定常數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q彈 性 力 學(xué)附：應(yīng)力函數(shù)確定的“材料力學(xué)方法”要點(diǎn)：利用材料力學(xué)中應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個(gè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。適用性：直梁、長(zhǎng)板條等受連續(xù)分布面力、桿端

17、集中力、桿端集中力偶等。應(yīng)力函數(shù)常可表示為：設(shè)法由邊界面力先確定 其中之一，然后將其代入 確定另外一個(gè)函數(shù)。材力中，應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系為：式中：M(x) 彎矩方程；Q(x) 剪力方程。彈 性 力 學(xué)當(dāng)有橫向分布力q(x)作用時(shí)，縱向纖維間存在擠壓應(yīng)力 ，同時(shí)，橫向分布力q(x)的擠壓作用時(shí)，對(duì)軸向應(yīng)力 也產(chǎn)生影響。應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：考慮擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致然后由：確定應(yīng)力函數(shù) 的具體形式。彈 性 力 學(xué)例：懸臂梁，厚度為單位1，=常數(shù)。求：應(yīng)力函數(shù) 及梁內(nèi)應(yīng)力。xyObl解：(1) 應(yīng)力函數(shù)的確定xQM取任意截面，其內(nèi)力如圖：取 作為分析對(duì)象，可假設(shè)：（a） f(y)為待定函數(shù)由

18、 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系，有：（b）對(duì) x 積分一次，有：對(duì) y 再積分一次，有：其中：（c）彈 性 力 學(xué)xyOblxQM（c）由 確定待定函數(shù)：（d）要使上式對(duì)任意的x，y成立，有（e）（f）由式（ e）求得（g）由式（ f）得（h）（i）積分式（ h）和（i）得（j）（k）彈 性 力 學(xué)xyOblxQM( l )包含9個(gè)待定常數(shù)，由邊界條件確定。(2) 應(yīng)力分量的確定( m )(3) 利用邊界條件確定常數(shù)彈 性 力 學(xué)xyOblxQM(3) 利用邊界條件確定常數(shù)( o )代入可確定常數(shù)為：代入式（m）得彈 性 力 學(xué)xyOblxQM注：也可利用 M（x）= 0，考慮進(jìn)行分析。此時(shí)有：為待定函

19、數(shù)，由相容方程確定。彈 性 力 學(xué)llqlql1yzh/2h/2q剪力：可假設(shè)剪應(yīng)力：彈 性 力 學(xué)3-4 楔形體受重力和液體壓力要點(diǎn)半逆解法（因次或量綱分析法）xyO問(wèn)題的提法：楔形體，下部可無(wú)限延伸。側(cè)面受水壓作用：（水的容重）；自重作用：（楔形體的容重）；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律 。 1. 應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量(1) 分析：(a) 的量綱為： 的形式應(yīng)為：的線性組合。 的量綱為：(b)由 推理得：應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：彈 性 力 學(xué)xyO(2) 應(yīng)力分量考慮到：X = 0，Y = （常體力）(a)顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。2. 邊界條件的利用(1) x=0 （應(yīng)力

20、邊界）：代入式（a），則應(yīng)力分量為：彈 性 力 學(xué)xyON(b)(2) （應(yīng)力邊界）： 其中：將(b)代入，有代入，可求得：彈 性 力 學(xué)xyO(b)代入式（b），有：(3-7) 李維（Levy）解答沿水平方向的應(yīng)力分布與材力結(jié)果比較： 沿水平方向不變，在材力中無(wú)法求得。 沿水平方向線性分布，與材力中偏心受壓公式算得結(jié)果相同。 沿水平方向線性分布，材力中為拋物線分布。彈 性 力 學(xué)(3-7) 李維（Levy）解答xyO沿水平方向的應(yīng)力分布結(jié)果的適用性：（1）當(dāng)壩的橫截面變化時(shí)，不再為平面應(yīng)變問(wèn)題，其結(jié)果誤差較大。（2）假定壩下端無(wú)限延伸，可自由變形。而實(shí)際壩高有限，底部與基礎(chǔ)相連，有地基約束，

21、故底部處結(jié)果誤差較大。（3）實(shí)際壩頂非尖頂，壩頂處有其它載荷，故壩頂處結(jié)果誤差較大。 三角形重力壩的精確分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。工程應(yīng)用： 求使壩穩(wěn)定時(shí)的角度 ，稱為安息角。彈 性 力 學(xué)因次分析法（量綱分析法）：xyO楔形體，下部可無(wú)限延伸。側(cè)面受水壓作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形體的溶重）；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律 。 分析思路：(a) 的量綱為： 的形式應(yīng)為：的線性組合。 的量綱為：(b)由 推理得：應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：彈 性 力 學(xué)平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答一、多項(xiàng)式解答逆解法二、梁、長(zhǎng)板類彈性體應(yīng)力函數(shù)方法應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：考慮擠壓應(yīng)力

22、影響導(dǎo)致然后由：確定應(yīng)力函數(shù) 的具體形式。彈 性 力 學(xué)三、三角形板、楔形體的求解方法因次分析法（量綱分析法）：xyO楔形體，下部可無(wú)限延伸。側(cè)面受水壓作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形體的溶重）；分析思路：(a) 的量綱為： 的形式應(yīng)為：的線性組合。 的量綱為：(b)由 推理得：應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：彈 性 力 學(xué)例：圖示矩形板，長(zhǎng)為 l ，高為 h ，體力不計(jì)，試證以下函數(shù)是應(yīng)力函數(shù)，并指出能解決什么問(wèn)題。式中k、q為常數(shù)。xyOlh解：(1)應(yīng)力分量：邊界條件：顯然，上下邊界無(wú)面力作用。上下邊界(2)彈 性 力 學(xué)xyOlh左邊界k右邊界kkl結(jié)論：可解決懸臂梁左

23、端受集中力問(wèn)題。彈 性 力 學(xué)例：圖示矩形截面簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)為 l ，高為 h ，受有三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試求其應(yīng)力分布。解：（1）應(yīng)力函數(shù)形式的確定梁截面上彎矩和剪力為：由材料力學(xué)方法可確定應(yīng)力分量的分離變量形式：取應(yīng)力分量 分析，取應(yīng)力分量 與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：對(duì)此式積分：彈 性 力 學(xué)對(duì)此式積分：為待定函數(shù)（2）由相容方程確定待定函數(shù)代入彈 性 力 學(xué)要使上述方程對(duì)任意的 x 成立，有(a)(b)(c)積分式（a），得將上式代入（b）積分，得積分式（c），得(d)(e)(f)將求得的代入應(yīng)力函數(shù)，有彈 性 力 學(xué)（3）計(jì)算應(yīng)力分量(g)(h)彈 性 力 學(xué)（3）利用邊界條件確定待定常

24、數(shù)上邊界：(i)(j)(k)彈 性 力 學(xué)下邊界：(l)(m)(n)彈 性 力 學(xué)左邊界：左邊界：(o)(p)(q)(r)(s)(t)聯(lián)立求解式（i）（t）,可得具體的應(yīng)力分量。注：位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件。彈 性 力 學(xué)（1）（2）試按材料力學(xué)中確定應(yīng)力的方法，寫(xiě)出圖示兩梁所有應(yīng)力分量形式。（含有待定函數(shù)）課堂練習(xí)：彈 性 力 學(xué)3-5 級(jí)數(shù)式解答問(wèn)題的提出多項(xiàng)式解答：只能求解載荷簡(jiǎn)單，且連續(xù)分布的問(wèn)題。不能求解載荷復(fù)雜，且間斷分布的問(wèn)題。級(jí)數(shù)式解答：其基本思路是將應(yīng)力函數(shù) 分解成關(guān)于 xy 的兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積。 分離變量法。（屬逆解法）1. 級(jí)數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù)假設(shè)：(a)式中：為

25、任意常數(shù)，其量綱為 ,為 y 的任意（待定）函數(shù)。將其代入 ：載荷復(fù)雜，且間斷分布的問(wèn)題，可由級(jí)數(shù)式解答解決。彈 性 力 學(xué)有：(b)解上述方程，得其中：A、B、C、D 都是任意常數(shù)，將其代入應(yīng)力函數(shù) ，得(c)再取如下應(yīng)力函數(shù)：式中：也為任意常數(shù) ,為 y 的任意（待定）函數(shù)。類似于上面的運(yùn)算，可得應(yīng)力函數(shù)的另一解：彈 性 力 學(xué)(d)顯然，將式(c) 與(d)相加，仍為可作為應(yīng)力函數(shù)：(e)取 和 的一系列值，即?。簩⒂纱藰?gòu)成的 加起來(lái)，有(3-8)顯然，式(3-8) 滿足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。且在其上再加若干個(gè)滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)，仍可作為應(yīng)力函數(shù)。彈 性 力 學(xué)2. 級(jí)數(shù)形式的應(yīng)

26、力分量將上述應(yīng)力函數(shù) 代入應(yīng)力分量表達(dá)式（2-26），有(3-9) 式（3-9）滿足相容方程、平衡方程，只要適當(dāng)選?。?使其滿足邊界條件，即為某問(wèn)題的解。彈 性 力 學(xué)3-6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷邊界條件1. 邊界條件的級(jí)數(shù)表示上下邊界：左右邊界：（a）（b）（c）（d）由邊界條件（c），得彈 性 力 學(xué)此時(shí)應(yīng)力分量式（3-9）簡(jiǎn)化為（3-10）彈 性 力 學(xué)將此應(yīng)力分量式（3-10）代入邊界條件（b），有（e）（f）（b）（i）（j）彈 性 力 學(xué)（g）（a）（h）將此應(yīng)力分量式（3-10）代入邊界條件（a），有將在區(qū)間（0，l）上展為和等式左邊相同的級(jí)數(shù)，即的級(jí)數(shù)，由Fourier級(jí)數(shù)的展

27、開(kāi)法則，有（3-11）彈 性 力 學(xué)比較式（3-11）與式（g）和（h）兩邊的系數(shù)，有（k）（l） 由式 (i)、(j)、(k)、(l) 可求得全部和系數(shù)： ，代入式（3-10）求得應(yīng)力分量。說(shuō)明：（1）邊界條件（d）在求解中沒(méi)有用到，但可以證明是自動(dòng)滿足的。（2）級(jí)數(shù)求解計(jì)算工作量很大，通常由有關(guān)計(jì)算軟件求解，如：MathCAD、Matlab、Mathematica等。（3）結(jié)果在梁的端部誤差較大；另外，當(dāng)梁的跨度與高度相當(dāng)時(shí)結(jié)果誤差也較大。彈 性 力 學(xué)彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本理論小結(jié)一、兩類平面問(wèn)題及其特征名 稱平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題未知量已知量未知量已知量位 移應(yīng) 變應(yīng) 力外 力幾何形狀體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不變化。體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不變化。z 方向的尺寸遠(yuǎn)小于板面內(nèi)的尺寸（等厚度薄平板）z 方向的尺寸遠(yuǎn)大于xoy平面內(nèi)的尺寸（等截面長(zhǎng)柱體）彈 性 力 學(xué)二、平面問(wèn)題的基本方程（1）平衡微分方程（2-2）（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）（2）幾何方程（2-9）（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）（3）物理方程(2-15)（平面應(yīng)力）(2-16)（平面應(yīng)變）（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性、線彈性、各向同性）彈 性 力 學(xué)三、平面問(wèn)題的基本求解方法及基本方程思路：（1）按位移求解以位移u、