專題講座空間中的垂直問題(傳統(tǒng)方法)(共7頁)

1、專題 空間的垂直問題 高中數(shù)學(xué)專題(zhunt)講座(jingzu) HYPERLINK l _top 垂直(chuzh)問題 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc416894204 1、空間的垂直關(guān)系總論 PAGEREF _Toc416894204 h 2 HYPERLINK l _Toc416894205 2、直線與直線垂直 PAGEREF _Toc416894205 h 2 HYPERLINK l _Toc416894206 3、直線與平面垂直 PAGEREF _Toc416894206 h 4 HYPERLINK l _Toc416894207 （1）直線與

2、平面垂直的定義 PAGEREF _Toc416894207 h 4 HYPERLINK l _Toc416894208 （2）直線與平面垂直的判定定理 PAGEREF _Toc416894208 h 4 HYPERLINK l _Toc416894209 3平面與平面垂直 PAGEREF _Toc416894209 h 6 HYPERLINK l _Toc416894210 （1）平面與平面垂直的判定定理 PAGEREF _Toc416894210 h 6 HYPERLINK l _Toc416894211 （2）平面與平面垂直的性質(zhì)定理 PAGEREF _Toc416894211 h 61、

3、空間的垂直關(guān)系總論空間(kngjin)的垂直關(guān)系：線線 線面 面面可見(kjin)垂直關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直(chuzh)2、直線與直線垂直空間兩條直線垂直包括兩種情況相交（共面）垂直和異面垂直,均可用表示.要證明空間兩條直線（線段）垂直，首先判斷兩直線是相交還是異面：1、若兩直線是相交的，往往借助平面幾何的一些性質(zhì)，如：（1）等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直；（2）直角三角形；法1：勾股定理，法2：若一個(gè)三角形一邊上的中線長等于該邊的一半則為直角三角形；（3）矩形，正方形，菱形自身的屬性；（4）直徑所對的圓周角為直角;（5）一些特殊平面圖形的幾何特征：模型1: 長寬比為的長方形例 矩形中，E是

4、DC的中點(diǎn)，下面證明AEBD:所以，故模型2：長寬比為1:2的長方形模型3:邊長為112的直角梯形模型4：內(nèi)角為60的菱形2、若兩條直線(zhxin)是異面的，則需要利用空間的一些特殊方法；（1），；（2）（所在的一個(gè)(y )平面）；兩個(gè)(lin )重要模型：三垂線定理直線b是平面的一條斜線，即與平面相交但不垂直，直線c在平面內(nèi)，因?yàn)閍平面，則ac；若mc，則因?yàn)閍，m是相交直線，則c平面，于是cb（這個(gè)定理最重要的應(yīng)用在于，證明平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線垂直，尤其是二者是異面直線時(shí)）應(yīng)用舉例：正方體中，求證：雙等腰模型已知： ，求證(qizhng)： 證明(zhngmng)：取MN的中

5、點(diǎn)為O，連接(linji)AO,BO，在因?yàn)椋瑒tAOMN，BOMN，又AOBO=O，則MN平面AOB，于是3、直線與平面垂直（1）直線與平面垂直的定義是指直線與平面任何一條(所有)直線垂直，知道下面兩個(gè)事實(shí)：過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直. （2）直線與平面垂直的判定定理法1：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即 簡記為“線線垂直線面垂直”法2：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.例1 已知PAO所在的平面，AB是O的直徑，C是O上任意一點(diǎn)（不同于），（1）求證：平面PAC.（2）過

6、A點(diǎn)作AEPC于點(diǎn)E，求證：AE平面PBC. 證明：（1）PA平面ABC，PABC.又AB是O的直徑(zhjng)，BCAC.而PAAC=，BC平面(pngmin)PAC.（2）在（1）中已證BC平面(pngmin)PAC.又AE在平面PAC內(nèi)，BCAE.PCAE，且PCBC=C，AE平面PBC.例 如圖, 矩形所在的平面，分別是、的中點(diǎn)求證：；證法1：證明所在的一個(gè)平面即可；連，取中點(diǎn)，連，則NEPA，PA平面ABCD， NE平面ABCD，NEAB，在ABC中，ME是中位線，故MEAB，MENE=E，所以AB平面MNE,MNAB證法2：取DC的中點(diǎn)E，去證明AB平面NME即可【思路2】：注意

7、到AB與MN是相交的，可以考慮利用平面幾何的方法，產(chǎn)生下面的解法證法3：因?yàn)榕c相交，是中點(diǎn)，所以可以考慮用“等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直”這個(gè)方法；連,平面，又,BC平面PAB;BCPB那么在直角PBC中，NB=PC，在直角PAC中，AN=PC;AN=NBMNAB4平面與平面垂直（1）平面(pngmin)與平面垂直的判定(pndng)定理若一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與另一個(gè)平面垂直(chuzh)，則這兩個(gè)平面互相垂直 可見，證明面面垂直的關(guān)鍵還是線面垂直，歸根結(jié)底是線線垂直！例如圖所示，ABC所在平面外一點(diǎn)，且，BA=BC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn).求證：平面SBD平面SAC；分析：在兩個(gè)三角形平面內(nèi)尋

8、找，哪條線垂直于另外的平面，逐個(gè)掃描，如果有現(xiàn)成的自然好，若沒有，則考慮做輔助線；證明：因?yàn)镾A=SC，D為AC的中點(diǎn)， 所以SDAC.連接BD.在ABC中，BA=BC，所以 BDAC.又SDBD=D， 所以AC平面ABC，又平面SAC;所以平面SBD平面SAC；例 （呼市2014屆一模） 四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，PD平面ABCD，PD=AB=2，角BAD=60，E,F分別為BC，PA的中點(diǎn)，求證：平面DEF平面PAD求平面PDE與平面PAB所成二面角的正弦值解：（1）連接BD，在BDC中，BD=DC=BC，又E為BC的中點(diǎn)，故DEBC，而ADBC，于是ADDE；又PD平面ABCD，于是PDDE；PDDA=D,所以DE平面PAD，則PDDE，PD=AD，F(xiàn)為PA的中點(diǎn)(zhn din)，則PAFD，于是(ysh)PA平面(pngmin)FDE，PA在平面PAD內(nèi)，所以平面PDE平面PAD【技巧總結(jié)】 要證明面面垂直，關(guān)鍵是在一個(gè)面內(nèi)找到另一個(gè)面的垂線，注意到此時(shí)兩個(gè)平面一定是相交的，所以，我們先找到交線，然后，先逐條掃描每個(gè)面內(nèi)的線是否可能垂直交線，我們遇到的問題中，平面多用三角形或四邊形表示，因此這個(gè)掃描的工作量是不大的，如果現(xiàn)成的線中沒有，就考慮做輔助線。（2）平面與平面垂直