電磁場課件：第二章_靜態(tài)電磁場I靜電場

1、第2章 靜電場 基本方程與場的特性 自由空間的電場 導體和電介質(zhì) 電介質(zhì)中的電場 邊值問題 電容 部分電容 電場能量 第2章 靜態(tài)電磁場I：靜電場 靜電場： 由相對于觀察者為靜止的、且量值不隨時間變化的電荷所激發(fā)的電場。 本章任務： 闡述靜電荷與電場之間的關(guān)系，建立靜電場基本方程并分析其物理意義，研究真空中、導體中及電介質(zhì)中的靜電場特性，在已知電荷或電位的情況下求解電場的各種計算方法，或者反之。 靜電場是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。 靜電場知識結(jié)構(gòu)框圖第2章 靜態(tài)電磁場I：靜電場 演繹法（補充）：演繹法是與歸納法相反的一種研究方

2、法，是從既有的普遍性結(jié)論或一般性事理，推導出個別性結(jié)論的一種方法，即由較大范圍，逐步縮小到所需的特定范圍。它是從一般到特殊，由定義、根本規(guī)律等出發(fā)一步步遞推，邏輯嚴密結(jié)論可靠，且能體現(xiàn)事物的特性。演繹法的基本形式是三段論式，它包括：（1）大前提，是已知的一般原理或一般性假設(shè)； （2）小前提，是關(guān)于所研究的特殊場合或個別事實的判斷，小前提應與大前提有關(guān)；（3）結(jié)論，是從一般已知的原理（或假設(shè)）推出的，對于特殊場合或個別事實作出的新判斷。由相對于觀察者為靜止的、且量值不隨時間變化的電荷所激發(fā)的電場。 本章先驗知識：整個這本書的脈絡是演繹法，采用第1章（以數(shù)學物理方法為研究手段）給出的電磁場矢量分析

3、、場論的數(shù)學基礎(chǔ)、麥克斯韋方程組等宏觀電磁場分析基本理論，對電磁場分類中的最簡單的一種類型-靜態(tài)電場進行分析。2.1.1 靜態(tài)電磁場2.1 靜電場的基本方程和場的特性 電磁場中的源量不隨時間而變化，這時場中的場量也將不隨著時間而變化，而僅僅是空間坐標的函數(shù)。（按源量和場量的性質(zhì)分類） 源量有哪些？場量有哪些？ 微分形式的麥克斯韋方程回顧：積分形式反映場量在某一大尺度空間的特性；微分形式能精確反映場量在空間任一點的特性，即反映細節(jié)。方程表明靜態(tài)電磁場的電場和磁場沒有相互耦合關(guān)系，因此可以在單一電場或磁場效應下分別進行分析和討論。 時不變 其媒質(zhì)的構(gòu)成方程為:D = E D = 微分形式:積分形式

4、:顯然，靜電場是有散(有源)、無旋場。 2.1.2 靜電場的基本方程在理想的真空狀態(tài)介電常數(shù)=0 亥姆霍茲定理（回顧）：無界空間矢量場唯一地由其散度和旋度所確定，因此場的散度和旋度是研究場特性的首要問題。（本書討論的總體脈絡就是分析場的散度和旋度特性！）2.1.3 真空中靜電場的高斯定理1. 靜電場的散度真空中靜電場高斯定律的微分形式其物理意義表示為 高斯定律說明了靜電場是一個有源場，電荷就是場的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負電荷。 靜電場是有散(有源)場若場中某點 E0，則 0 (正電荷)，該點電力線向外發(fā)散，且為“源”的所在處；若某點 E0，則 d的遠場情況） 。圖 電偶極子

5、現(xiàn)采用球坐標系，設(shè)原點在電偶極子的中心，z軸與d相重。應用疊加原理，任意點的電位為 當r很大時，r1、r2和r三者將近乎平行，此時r2 r1 dcos，r1r2 r2代入上式，得 E 線：曲線上每一點切線方向應與該點電場強度E的方向一致，若 是電力線的長度元，E 矢量將與 方向一致，故電力線微分方程在直角坐標系中：微分方程的解即為電力線 E 的方程。當取不同的 C 值時，可得到不同的等位線（面）。 在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:2.2.4 電場線與等位線（面） 電場線與等位線（面）的性質(zhì)： E線不能相交; E線起始于正電荷，終止于負電荷; E線愈密處，場強愈大;

6、E線與等位線（面）正交；圖1.2.3 電偶極子的等位線和電力線圖 點電荷與接地導體的電場圖 點電荷與不接地導體的電場例2-7 畫出電偶極子的等位線和電場線 。圖 均勻場中放進了介質(zhì)球的電場圖 均勻場中放進了導體球的電場圖 點電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場圖 點電荷位于一塊導平面上方的電場電場強度垂直于導體表面；導體是等位體，導體表面為等位面；導體內(nèi)電場強度E為零，靜電平衡；電荷分布在導體表面，且圖 靜電場中的導體2.3 導體和電介質(zhì)2.3.1靜電場中導體的性質(zhì) 電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩； 電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷； 極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。式中 為體積

7、元 內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子圖 電介質(zhì)的極化用極化強度P表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度2.3.2 靜電場中的電介質(zhì) 實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中 電介質(zhì)的極化率,無量綱量。均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標（x,y,z）而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化； 一個電偶極子產(chǎn)生的電位： 極化強度 P 是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：式中圖1.2.15 電偶極子產(chǎn)生的電位矢量恒等式： 圖1.2.16 體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位散度

8、定理 令極化電荷體密度極化電荷面密度 在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度 這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷 和體極化電荷 共同作用在真空 中產(chǎn)生的電位。 根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和 有電介質(zhì)存在的場域中，任一點的電位及電場強度表示為1、高斯定律的微分形式（真空中）（電介質(zhì)中）定義電位移矢量（ Displacement）則有電介質(zhì)中高斯定律的微分形式代入 ,得 D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負的自由電荷。2.4 電介質(zhì)的電場2.4.1 電介質(zhì)中的高斯定律( )( )( )qq D 的通量與介質(zhì)無關(guān)，但不能認為D 的分布與介質(zhì)無關(guān)。 D 通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的

9、 D 是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。2、 高斯定律的積分形式散度定理圖 點電荷q分別置于金屬球殼的內(nèi)外圖 點電荷的電場中置入任意一塊介質(zhì)例 求電荷線密度為 的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點： D 線皆垂直于導線，呈輻射狀態(tài)； 等 r 處D 值相等；取長為L，半徑為 r 的封閉圓柱面為高斯面。由 得圖1.2.20 電荷線密度為 的無限長均勻帶電體3. 高斯定律的應用計算技巧： a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當?shù)拈]合面作為高斯面，使 容易積分。 高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其

10、D 線、E 線和P 線的分布。 D 線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負的自由電荷； P 線由負的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。 E 線的起點與終點既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；D線E線P線圖1.2.17 D、E與 P 三者之間的關(guān)系2.4.2 介電常數(shù)其中相對介電常數(shù)；介電常數(shù)，單位（F/m） 在各向同性介質(zhì)中例2-9 同軸電纜其長度L遠大于截面半徑，已知內(nèi)、外導體半徑分別為a和b。其間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)，將該電纜的內(nèi)外導體與直流電壓源U0相聯(lián)接。試求：(1)介質(zhì)中的電場強度E；(2)介質(zhì)中Emax位于哪里？其值多大？ 圖 同軸電纜的電場圖 同軸電纜的電場解：（1）設(shè)內(nèi)、外導體沿軸

11、線方向線電荷密度分別為+ 和-。由應用高斯定理，得即 所以 (a b) 又因為 則得 (a b)(2)最大場強位于內(nèi)導體表面( = a)，其值為例2-8 一理想的平板電容器由直流電壓源U充電后又斷開電源，然后在兩極板間插入一厚度等于d的均勻介質(zhì)板，其相對介電常數(shù)r = 6 忽略極板的邊緣效應，試求：(1)插入介質(zhì)板前后平行板間各點的電場強度E、電位移矢量D和電位以及極板上的電荷分布；(2)介質(zhì)板表面和內(nèi)部的極化電荷分布解(1)此問題是典型的平行平面場問題，故在插入介質(zhì)板前的電場強度為：電位移矢量取負極板的電位為零，則板間任一點的電位為：根據(jù)高斯定理，做一圓柱形高斯面S，則：因而得插入介質(zhì)板后，

12、電容器的電荷保持不變，則：得而電場強度為：則板間任一點的電位為：(2)介質(zhì)極化，可得介質(zhì)中的極化強度為：故可得介質(zhì)板上下兩端面上極化電荷面密度為：而介質(zhì)板中極化電荷的體密度為：故合成電場是自由電荷與極化電荷共同在真空中產(chǎn)生效應的疊加，即 以分界面上點P作為觀察點，作一小扁圓柱高斯面（ ）。 2、電場強度E的銜接條件 以點P 作為觀察點，作一小矩形回路（ ）。 2.4.3 不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件1、 電位移矢量D的銜接條件分界面兩側(cè) E 的切向分量連續(xù)。 分界面兩側(cè)的 D 的法向分量不連續(xù)。當 時，D 的法向分量連續(xù)。圖 在電介質(zhì)分界面上應用環(huán)路定律則有 根據(jù) 根據(jù) 則有 圖 在電介質(zhì)分界面

13、上應用高斯定律 表明：（1）導體表面是一等位面，電力線與導體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導體表面上任一點的D 就等于該點的自由電荷密度 。 當分界面為導體與電介質(zhì)的交界面時，分界面上的銜接條件為： 圖1.3.3a 導體與電介質(zhì)分界面在交界面上不存在 時，E、D滿足折射定律。折射定律圖1.3.3 分界面上E線的折射 介質(zhì)分界面：由于介質(zhì)分界面上E1t = E2t，顯然可以得出 1=2即電位在介質(zhì)分界面上是連續(xù)的。又由于D2n-D1n= 和 最后可以得出，邊界條件的電位表示為1=2 ， 導體和電介質(zhì)表面上的邊界條件： = C ，式中，C是由所論靜電場導體系統(tǒng)決定的常數(shù)。 3、邊界條件的電位表

14、達圖 平板電容器例2-10 圖示平行板電容器，其極板間介質(zhì)由兩種絕緣材料組成，介質(zhì)的分界面與極板平行。設(shè)電容器外施電壓為U0，試求：(1)兩絕緣材料中的電場強度；(2)極板上的電荷面密度。 解：(1)在電壓U0下，并應用分界面的邊界條件，得 (2)極板A上的電荷面密度為 極板B上的電荷面密度為 = -D2n = -2E2 = - 2.5 靜電場邊值問題 唯一性定理2.5.1 泊松方程與拉普拉斯方程推導微分方程的基本出發(fā)點是靜電場的基本方程：泊松方程 泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。例 列出求解區(qū)域的微分方程 拉普拉斯方程拉普拉斯算子圖 三個不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場 為什么說

15、第二類邊界條件與導體上給定電荷分布是等價的？已知場域邊界上各點電位值圖1.4.2 邊值問題框圖自然邊界條件參考點電位 有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點電位的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，即2.5.2 靜電場的邊值問題邊值問題研究方法計算法實驗法作圖法解析法數(shù)值法實測法模擬法定性定量積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法數(shù)學模擬法物理模擬法圖1.4.3 邊值問題研究方法框圖2.5.3 直接積分法 對于一些具有對稱結(jié)構(gòu)的靜電場問題，電位函數(shù)僅是一個坐標變量

16、的函數(shù)。靜電場邊值問題可歸結(jié)為常微分方程的定解問題。這時可以直接積分求解電位函數(shù)。例2-11：圖示二塊半無限大導電平板構(gòu)成夾角為的電極系統(tǒng)。設(shè)板間電壓為U0，試求導電平板間電場。圖 角形電極系統(tǒng)解：本例為平行平面場問題，選極坐標系進行分析。顯然電位僅是變量的函數(shù)，可以寫出如下的第一類邊值問題：由給定的兩個邊界條件，得 將泛定方程直接積分二次，得通解為 = C1 + C2 ， C2 = 0所以 2. 唯一性定理的重要意義 可判斷靜電場問題的解的正確性： 唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。證明： （反證法）2.5.4 唯一性定理設(shè)在建立帶電系統(tǒng)電場的

17、某一瞬時，場中某一點的電位是(r)，引入增量電荷q需作功 W =(r)q式中q= v， q= S，對于電場建立的全過程，總電場能量可由上式積分得出。 2.6 電場能量 2.6.1 帶電體系統(tǒng)中的電場能量 對于系統(tǒng)中無空間電荷，只有帶電導體的情況： S1S2S圖 電場能量enenq2enenq1V 不失討論的一般性，現(xiàn)以兩個帶電導體在無界空間建立的靜電場為例。設(shè)兩導體攜帶的電量分別為q1和q2，其表面積對應為s1和s2，如圖所示。該系統(tǒng)的總電場能量為由于導體表面的電荷面密度為 = D en = - D en 式中en 為導體表面的外法線方向的單位矢量；en為導體表面的內(nèi)法線方向上的單位矢量。代入前式，得 2.7.2 電場能