2.1多邊形的概念及內角和 (5)

1、2.1 多邊形第2章 四邊形 導入新課講授新課當堂練習課堂小結第1課時 多邊形的內角情境引入學習目標1.了解并掌握多邊形及有關概念;2.對角線條數(shù)與多邊形的邊數(shù)的關系;（重點）3.理解正多邊形及其有關概念;（重點）4.會用分割法探索多邊形的內角和計算公式.（難點）導入新課情景引入在實際生活當中，除了三角形，還有許多由線段圍成的圖形.觀察圖片，你能找到一些由線段圍成的圖形嗎？ 中國第一奇村諸葛八卦村美國國防部大樓五角大樓講授新課多邊形的定義及相關概念一問題2 觀察畫某多邊形的過程，類比三角形的概念，你能說出什么是多邊形嗎？在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.問題1 什么是三

2、角形？由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.思考：比較多邊形的定義與三角形的定義，為什么要強調“在平面內”呢？怎樣命名多邊形呢？這是因為三角形中的三個頂點肯定都在同一個平面內，而四點，五點，甚至更多的點就有可能不在同一個平面內.多邊形用圖形名稱以及它的各個頂點的字母表示.字母要按照頂點的順序書寫，可以按順時針或逆時針的順序.內角：多邊形相鄰兩邊組成的角問題3 根據(jù)圖示，類比三角形的有關概念，說明什么是多邊形的邊、頂點、內角、外角頂點邊外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角.n邊形有n個頂點，n條邊，n個內角，2n個外角多邊形按它的邊數(shù)可分為：三角形，四邊形，五邊形

3、等等.其中三角形是最簡單的多邊形.例1 六邊形紙片剪去一個角后，得到的多邊形的邊數(shù)可能是多少？畫出圖形說明解：六邊形截去一個角的邊數(shù)有增加1、減少1、不變三種情況，新多邊形的邊數(shù)為7、5、6三種情況，如圖所示. 一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條.總結典例精析多邊形的對角線二ABCDE定義：多邊形中連接不相鄰兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線. 線段AC是五邊形ABCDE的一條對角線，多邊形的對角線通常用虛線表示.注意三角形六邊形四邊形八邊形五邊形 探究：請畫出下列圖形從某一頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)：多邊形三角形四邊形五邊形六邊形八邊形n邊形從同一頂點引出

4、的對角線的條數(shù)分割出的三角形的個數(shù)01235n-312346n-2從n(n3)邊形的一個頂點可以作出(n-3)條對角線.將多邊形分成(n-2)個三角形.n(n3)邊形共有對角線 條.歸納總結畫一畫：畫出下列多邊形的全部對角線.正多邊形三定義：在平面內，邊相等、角也都相等的多邊形叫作正多邊形.正三角形正方形正五邊形正六邊形想一想：下列多邊形是正多邊形嗎？如不是，請說明為什么？（四條邊都相等）（四個角都相等）答：都不是，第一個圖形不符合四個角都相等；第二個圖形不符合各邊都相等. 判斷一個多邊形是不是正多邊形，各邊都相等，各角都相等，兩個條件必須同時具備.注意問題2 你知道長方形和正方形的內角和是多

5、少度嗎？ 問題1 三角形內角和是多少度？三角形內角和是180.都是360.問題3 猜想任意四邊形的內角和是多少度？ 多邊形的內角和四猜想：四邊形ABCD的內角和是360.問題4 你能用以前學過的知識證明一下你的結論嗎？猜想與證明方法1：如圖，連接AC,所以四邊形被分為兩個三角形，所以四邊形ABCD內角和為1802=360.ABCDABCDE方法2：如圖，在BC邊上任取一點E，連接AE,DE，所以該四邊形被分成三個三角形，所以四邊形ABCD的內角和為1803-(AEB+AED+CED)=1803-180=360.方法3：如圖，在四邊形ABCD內部取一點E，連接AE,BE,CE,DE，把四邊形分成

6、四個三角形：ABE,ADE,CDE,CBE.所以四邊形ABCD內角和為：1804-(AEB+AED+CED+CEB)=1804-360=360.ABCDEABCDP方法4：如圖，在四邊形外任取一點P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個公共頂點的四個三角形.所以四邊形ABCD內角和為180 3 180 = 360.這四種方法都運用了轉化思想，把四邊形分割成三角形，轉化到已學的三角形內角和求解.結論： 四邊形的內角和為360.例2：如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？試說明理由.解： 如圖，四邊形ABCD中，A+ C =180.A+B+C+D= 360 ，因為 BD=

7、 360（AC） = 360 180 =180.所以 ABCD如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角互補.【變式題】如圖，在四邊形ABCD中，A與C互補，BE平分ABC，DF平分ADC，若BEDF，求證：DCF為直角三角形證明：在四邊形ABCD中，A與C互補，ABC+ADC=180，BE平分ABC，DF平分ADC，CDF+EBF=90，BEDF，EBF=CFD，CDF+CFD=90，故DCF為直角三角形運用了整體思想ACDEBABCDEF問題5 你能仿照求四邊形內角和的方法，選一種方法求五邊形和六邊形內角和嗎? 內角和為180 3 = 540.內角和為180 4 = 720.n 邊形六邊

8、形五邊形四邊形三角形多邊形內角和分割出三角形的個數(shù)從多邊形的一頂點引出的對角線條數(shù)圖形邊數(shù)0n -3 1231234 n -2 （ n -2 ）1801180=1802180=360 3180=5404180=720由特殊到一般 分割多邊形三角形分割點與多邊形的位置關系頂點邊上內部外部轉化思想總結歸納多邊形的內角和公式n邊形內角和等于(n-2)180 . 正多邊 形邊數(shù)內角34568n60 90 120 練一練完成下面的表格：108 135 例3 一個多邊形的內角和比四邊形的內角和多720，并且這個多邊形的各內角都相等，這個多邊形的每個內角是多少度？解：設這個多邊形邊數(shù)為n，則 （n-2）18

9、0=360+720， 解得n=8， 這個多邊形的每個內角都相等， （8-2）180=1080， 它每一個內角的度數(shù)為10808=135例4 如圖，在五邊形ABCDE中，C=100，D=75，E=135，AP平分EAB，BP平分ABC，求P的度數(shù)解析：根據(jù)五邊形的內角和等于540，由C,D,E的度數(shù)可求EAB+ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得PAB與PBA的角度和，進一步求得P的度數(shù) 可運用整體思想解：EAB+ABC+C+D+E=540，C=100，D=75，E=135，EAB+ABC=540-100-75-135=230.AP平分EAB,PAB EAB，同理可得ABP ABC，P+PAB

10、+PBA=180，P=180-PAB-PBA=180 (EAB+ABC)=180 230=651.九邊形的對角線有（ ）A.25條 B.31條 C.27條 D.30條C2.若從一個多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引10條對角線，則這是 邊形.十三3.過八邊形的一個頂點畫對角線，把這個八邊形分割成 個三角形.六當堂練習4.一個多邊形的內角和不可能是（ ）A.1800 B.540 C.720 D.810 D5.一個多邊形從一個頂點可引對角線3條，這個多邊形 內角和等于（ ）A.360 B.540 C.720 D.900 C6. 一個多邊形的內角和為1800，截去一個角后，求得到的多邊形的內角和.解：180018010，原多邊形邊數(shù)為10212.一個多邊形截去一個內角后，邊數(shù)可能減1，可能不變，也可能加1，新