第九課時平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（一）

1、- PAGE 3 -第九課時 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(一)教學(xué)目標(biāo)：掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.教學(xué)過程：.課題引入在物理課中，我們學(xué)過功的概念，即如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W可由下式計算：WFscos其中是F與s的夾角.從力所做的功出發(fā)，我們引入向量數(shù)量積的概念.講授新課1.兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與b，作 eq o(OA,sup6

2、()a， eq o(OB,sup6()b，則AOB (0)叫a與b的夾角.說明：(1)當(dāng)0時，a與b同向； (2)當(dāng)時，a與b反向；(3)當(dāng) eq f(,2) 時，a與b垂直，記ab；(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.2.數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是，則數(shù)量abcos叫a與b的數(shù)量積，記作ab，即有ababcos(0).說明：(1)零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0；(2)符號“”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替.3.數(shù)量積的幾何意義兩個向量的數(shù)量積等于其中一個向量的長度與另一個向量在其上的投影值的乘積.說明：這個投影值可正可負(fù)也可為

3、零，所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個實(shí)數(shù).4.數(shù)量積的重要性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量，e是單位向量，0是a與e夾角，是a與b夾角.eaaeacos0abab0當(dāng)a與b同向時，abab當(dāng)a與b反向時，abab特別地，aaa2或a eq r(a a) eq r(a 2) cos eq f(ab,ab) abab說明：上述性質(zhì)要求學(xué)生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證.5.數(shù)量積的運(yùn)算律已知a，b，c和實(shí)數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：abba (交換律)(a)b (ab)a(b) (數(shù)乘結(jié)合律)(ab)cacbc (分配律)說明：(1)一般地，(ab)ca(bc)(2)acbc，c0ab(3)有如下常

4、用性質(zhì)：a2a2，(ab)(cd)acadbcbd(ab)2a22abb2師為使大家進(jìn)一步熟悉數(shù)量積的性質(zhì)，加深對數(shù)量積定義的理解，我們來看下面的例題.例題判斷正誤，并簡要說明理由.a00；0a0；0 eq o(AB,sup6() eq o(BA,sup6()；abab；若a0，則對任一非零b有ab0；ab0，則a與b中至少有一個為0；對任意向量a，b，c都有(ab)ca(bc)；a與b是兩個單位向量，則a2b2.分析：根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律，逐一判斷.解：上述8個命題中只有正確；對于：兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，應(yīng)有0a0；對于：應(yīng)有0a0；對于：由數(shù)量積定義有ababcosab，這

5、里是a與b的夾角，只有0或時，才有abab； 對于：若非零向量a、b垂直，有ab0；對于：由ab0可知ab可以都非零；對于：若a與c共線，記ac.則ab(c)b (cb) (bc)，(ab)c (bc)c(bc) c(bc)a若a與c不共線，則(ab)c(bc)a.評述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.說明：1.概念辨析：正確理解向量夾角定義對于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯誤是一些易見的錯誤，如：例1已知ABC中，a5，b8，C60，求 eq o(BC,sup6() eq o(CA,s

6、up6().對此題，有同學(xué)求解如下：解：如圖， eq o(BC,sup6()a5， eq o(CA,sup6()b8，C60， eq o(BC,sup6() eq o(CA,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(CA,sup6()cosC58cos6020.分析：上述解答，乍看正確，但事實(shí)上確實(shí)有錯誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中 eq o(BC,sup6()與 eq o(CA,sup6()兩向量的起點(diǎn)并不同，因此，C并不是它們的夾角，而正確的夾角應(yīng)當(dāng)是C的補(bǔ)角120.2.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律分析：若有(ab)ca(bc)，設(shè)a、b夾角為，b、c夾角為，則

7、(ab)cabcosc，a(bc)abccos.若ac，則ac，進(jìn)而有：(ab)ca(bc)這是一種特殊情形，一般情況則不成立.舉反例如下：已知a1，b1，c eq r(2) ，a與b夾角是60，b與c夾角是45，則：(ab)c(abcos60)c eq f(1,2) c，a(bc)(bccos45)aa而 eq f(1,2) ca，故(ab)ca(bc)3.等式的性質(zhì)“實(shí)數(shù)a、b、c，且abac，a0推出bc”這一性質(zhì)在向量推理中不正確.例2舉例說明abac，且a0，推不出bc.解：取a1，b eq f(r(2),2)，a與b的夾角為45，c eq f(1,2) ，a與c的夾角為0，顯然abac eq f(1,2) ，但bc.4.“如果ab0，那么a，b中至少有一個為零”這一性質(zhì)在向量推理中不正確.例3已知a2，b3，a與b的夾角為90，求ab.解：ab23cos900，顯然a0，b0，由ab0可推出以下四種可能